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第1章 集合
单元复习
▍教学目标
理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能够掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合．
理解并掌握集合交、并、补的运算法则，能够运用集合语言与集合思想解决有关问题．
注意数形结合，分类讨论，等价转化等思想方法的运用．
数学抽象：理解集合、子集、真子集、交集、并集、补集的概念，理解集合的三种表示方法，形成交、并、补集的性质，发现并提出集合中元素的三个特征、集合的分类． 逻辑推理：理清子集与真子集的关系，探索和表述集合相关的思路与过程． 数学运算：理解元素与集合、集合与集合之间的关系，掌握交、并、补集的运算规律，灵活使用数轴、Venn图解决相关运算问题．
▍复习回顾
[教师引导] 集合的含义及其关系： 集合中的元素具有的三个性质：确定性、无序性和互异性． 集合的3种表示方法：列举法、描述法、Venn图． 集合中元素与集合的关系： 文字语言属于不属于符号语言
常见集合的符号表示 数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号或
集合间的基本关系： 关系文字语言符号语言相等集合与集合中的所有元素都相同且 子集中任意一元素均为中的元素或真子集中任意一元素均为中的元素， 且中至少有一元素不是的元素补集全集是，集合，全集中不属于集合的所有元素组成的集合空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，（）
若集合中有（）个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是． 集合的基本运算： 两个集合的交集：． 两个集合的并集：． 常用结论： ． ；；． ；；． ；；． 方法指导： 对于集合问题，要首先确定属于哪类集合（数集、点集或某类图形），然后确定处理此类问题的方法． 关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进行运算． 含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理． 集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通．解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想． 强化数形结合、分类讨论的数学思想．
[处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式． 教师可以采用提问方式：本章节，我们学习了集合的相关内容，请你谈谈对相关知识点的理解． 让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图．
▍典例精讲
题型一：集合的概念及表示
【例题1】 下列表示同一集合的是（　　） A．， B．， C．， D．，
[答案] B
[解析] A选项中，两集合的元素个数不同，故不可能相同； B选项中，均为含有1，2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得； C选项中，均为数集，显然有； D选项中为点集，即抛物线上所有点的集合，而为数集，即抛物线的的取值，故选B．
【例题1】 若，则________．
[解析] 由题意知，或． ①当时，．把代入，得集合的三个元素为，，，不满足集合中元素的互异性； ②当时，或（舍去），当时，集合的三个元素为，，，满足集合中元素的互异性， 由①②知．
方法归纳 解决集合的概念问题应关注的两点： 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么； 对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
题型二：集合的基本关系
【例题2】 设集合，集合，若，，求，的值．
[提示] 由讨论的各种情况，分别求解．
[解析] 由知，中的所有元素都属于集合，又，故集合有三种情形： 或或． 当时，，故，； 当时，，故； 当时，，故，． 综上所述，，的值为或或
【例题3】 已知集合，，若，则实数的取值范围为________．
[解析] 因为，所以，所以．画数轴如图所示： 由知，或． 即或． 由已知，所以或， 即所求的取值范围是或．
【变式1】 已知集合，，则与的关系为 ．
[答案]
[解析] 表示所有奇数组成的集合．当时，表示被除余的数，表示被4除余3的数，故表示被4除余1或3的数，即被2除时余数为1，∴也表示奇数集，故．
方法归纳 判断集合与集合之间的关系的基本方法：根据定义归纳为判断元素与集合间的关系，或利用数轴表示、Venn图表示，进行直观地判断． 求解集合间的基本关系问题的要点： 合理运用Venn图或数轴帮助分析和求解； 在解含参数的不等式（或方程）时，一般要对参数进行讨论，分类时要“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答．
题型三：集合的交、并、补运算 角度一：用符号语言表示的集合运算
【例题4】 设全集为，，，求及．
[解析] 把全集和集合、在数轴上表示如下： 由图知，， ∴， ∵，∴．
方法归纳 求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．
角度二：用图形语言表示的集合运算
【例题5】 设全集，，．则图中阴影部分表示的集合为________．
[答案]
[解析] 图中阴影部分表示的集合为，因为，画出数轴，如图所示，所以．
【变式2】 学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
[解析] 设{为参加排球赛的同学}，{为参加田径赛的同学}，则{为参加两项比赛的同学}． 画出Venn图（如图），则没有参加过比赛的同学有： （名）． 答：这个班共有19名同学没有参加过比赛．
方法归纳 解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．
角度三：补集思想及其应用
【例题6】 设集合，，若，求实数的取值范围．
[提示] 在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想．具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，则的补集即为所求．
[解析] 当时，解得． 即时，实数的取值范围为． 而时，实数的取值范围显然是集合在中的补集， 故实数的取值范围为．
【变式3】 已知集合，，若，求实数的取值范围．
[解析] 若，则． 又，， 所以解得． 又，所以当时， 实数的取值范围为集合的补集， 即．
方法归纳 补集的性质为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路．
题型四：关于集合的新定义题
【例题7】 设为非空实数集，若对任意的，都有，，且，则称为封闭集． ①集合为封闭集； ②集合为封闭集； ③若集合，为封闭集，则为封闭集； ④若为封闭集，则一定有．其中正确结论的序号是________．
[提示] 新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．
[解析] ①集合中，不在集合中，所以不是封闭集； ②设，则，，，故，，，故②正确； ③反例是：集合，为封闭集，但不是封闭集，故③不正确； ④若为封闭集，则取，得．故填②④．
【变式4】 设数集，，且，都是集合的子集，如果叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（　　）
A． B． C． D．
[答案] C
▍课堂反馈
已知全集，，，则集合等于（　　）
A． B． C． D．
[答案] B
[解析] ∵，∴．
已知集合，均为集合的子集，若，，则集合等于（　　）
A． B． C． D．
[答案] D
[解析] 画出满足题意的Venn图，由图可知．
设全集，已知集合，．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
[答案] A
[解析] 因为，所以，又，则．
设全集，若集合，，则________．
答案
[解析] ∵，∴．
已知集合，，那么集合________．
[答案]
[解析] 、中的元素是平面上的点，是集合，并且其中元素也是点，解方程组得∴．
已知集合，，若，则的取值范围是________．
[答案]　
[解析] ①若，则，此时，即． ②若，如图，由可得， 解得． 综上所述，的取值范围是．
已知集合，． 若，求实数的取值范围； 当时，求的非空真子集的个数； 当时，若，求实数的取值范围．
[答案] 因为，所以，当时，，则，符合；当时，根据题意，可得解得． 综上可得，实数的取值范围是． 当时，，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为． 当时，由（1）知； 当时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得或解得． 综上可得，实数的取值范围是或．
▍课堂总结
【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[教师引导] 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化． 本节在设计过程中注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．
[学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结．

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