资源简介

第2章 常用逻辑用语
2.1 命题、定理、定义
▍教学目标
通过已有经验，分析命题的条件和结论，能够判断命题的真假．
熟悉命题的结构，能够用“如果，那么”或“若，则”的形式对命题进行改写．
能够判断命题的真假，并将一些作为推理依据而直接使用的真命题称之为定理．
了解定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
数学抽象：正确理解定理、定义，发展数学抽象素养． 逻辑推理：分析命题条件和结论间的推理关系，探索命题成立的过程，培养辩证思维能力与严谨治学的良好品质，发展逻辑推理素养．
▍情境设置
[教师引导] 通过一些有趣的悖论，我们发现数学语言表达的重要性．本章我们将学习常用逻辑用语，通过学习有关逻辑知识，帮助学生完善表述方式，学会用逻辑用语表达数学内容，进而形成逻辑地表达自己的思想、判断、推理的能力．
【问题导引1】 “等角的余角相等．”与“等角的余角相等吗？”这两句话一样吗？如不一样，它们有什么不同？ “经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点作已知直线的垂线”有什么不同？ “四边形不是多边形”与“四边形不一定是多边形”又有什么不同？
▍概念的探究与建构
一、命题的概念
【问题1】 【问题导引1】中的六句话是否都是命题？
[学生活动] “等角的余角相等吗？”不是命题． “经过一点作已知直线的垂线”不是命题，它是几何的作法． “四边形不一定是多边形”不是命题． 它们都不能判断真假． 其余的都是命题．其中，“四边形不是多边形”这个句子的判断是错误的，但它依然是命题，是假命题．
形成知识 在数学中，能够判断真假的陈述句叫作命题． 判断一个语句是否为命题的两个要素： 是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言． 可以判断真假，即对某种事情作出判断．
【问题导引2】 试判断下列语句是否正确，并归纳这些语句表达形式的特点． 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等； 有一个内角是的等腰三角形是正三角形； 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等； 对顶角相等； 若，则； 若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余． 答：以上语句的特点是它们都是陈述句，可以判断真假，因而它们都是命题．其中，(1)(2)(4)(6)为真命题，(3)(5)为假命题．
【问题2】 观察【问题导引2】中的(1)(3)(5)(6)，这些命题有怎样的表示形式
[教师引导] 这些命题都表述成了“若，则”（也可表述成“如果，那么”）的形式．例如命题(1)：是“两条平行直线被第三条直线所截”，是“同位角相等”．
[学生活动] 命题(3)中：是“两个三角形的面积相等”，是“这两个三角形全等”． 命题(5)中：是“”，是“”． 命题(6)中：是“一个三角形是直角三角形”，是“这个三角形的两个锐角互余”．
形成知识 数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则”的形式，其中叫作命题的条件，叫作命题的结论．
【例题1】 指出下列命题中的条件和结论： 若，则； 若，则； 如果二次函数的图象经过坐标原点，那么； 如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形全等．
[解析] ，． ，． ：二次函数的图象经过坐标原点，：． ：两个三角形的三边分别对应相等，：这两个三角形全等．
【例题2】 将下列命题改写成“若，则”（或“如果，那么”）的形式． 有一个内角是的等腰三角形是正三角形； 对顶角相等； 平行四边形的对角线互相平分． 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
[解析] 若一个等腰三角形有一个内角是，则这个三角形是正三角形． 若两个角是对顶角，则这两个角相等． 若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分． 如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
【问题3】 判断命题为真，需要进行证明，判断命题为假，又该怎么做呢？
【例题3】 判断下列命题的真假： 若，则； 若，则； 全等三角形的面积相等； 面积相等的三角形全等．
[解析] 当时，显然有．所以，命题为真． 当，时，，即由，不能推出．所以，命题为假． 由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等．所以命题为真． 可以通过举反例：两个三角形同底等高，面积相等，但是并不一定全等．所以，命题为假．
形成知识 判断命题为真，需要进行证明，判断命题为假，只需举出一个反例即可．
【问题4】 【问题导引2】中(5)这个命题为什么是假命题？
[学生活动] 可以举反例：还可以等于．
[解析] 当时，显然有．所以，命题为真． 当，时，，即由，不能推出．所以，命题为假． 由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三角形的面积一定相等．所以命题为真． 可以通过举反例：两个三角形同底等高，面积相等，但是并不一定全等．所以，命题为假．
二、定理的概念
[教师引导] 举一些定理的例子．
形成知识 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理．
三、定义的概念
[教师引导] 例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．
形成知识 定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．
【问题5】 你能举出所学过的一些定理和定义吗？
▍课堂反馈
(多选)下列语句是命题的有（　　）
A． B． C．这是一棵大树 D．平行四边形不是梯形
[答案] AD
[解析] A，D都是可以判断真假的陈述句，所以是命题； B，C无法判断真假，故不是命题．
方法归纳 判断一个语句是不是命题，先看其是否是陈述句，再看其是否作出判断且能判断真假．一般地，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．
指出下列命题的条件和结论，并将其改写成“若，则”的形式． 菱形的对角线互相垂直且平分； 两条直线相交有且只有一个交点； 能被5整除的整数的个位数字为5．
[提示] 改写过程中要适当增加词语，切勿生搬硬套．
[解析] ：一个四边形是菱形；：这个四边形的对角线互相垂直且平分． 若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直且平分． ：两条直线相交；：这两条直线有且只有一个交点． 若两条直线相交，则这两条直线有且只有一个交点． ：一个整数能被5整除；：这个整数的个位数字为5． 若一个整数能被5整除，则这个整数的个位数字为5．
方法归纳 添加“若”“则”（或“如果”“那么”）后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整、通顺，这样可使命题的条件和结论更明朗，更易于分辨．
判断下列命题的真假． 当时，且且; 若，则; 一次函数的图象经过点．
[解析] (1)假命题．(2)假命题．(3)真命题．
方法归纳 一个命题为假，只需举一个反例；一个命题为真，一般要给出严谨的证明过程．
▍课堂总结
【问题6】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？
[教师引导] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
知识框图 命题的概念，命题的形式与命题的条件和结论． 判断命题真假的方法． 定理、定义的概念．

展开更多......

收起↑