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15.3.1 等腰三角形(第2课时) 教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法。
2. 内容分析
本节课的内容是探索等腰三角形的判定方法，其知识基础源于学生已掌握的轴对称知识和等腰三角形的性质，形成了 “性质→判定” 的逆向思维链条，共同完善了等腰三角形的知识体系。等腰三角形的判定为证明两条线段相等提供了新途径。等腰三角形的轴对称性，不仅是性质推导的依据，也是判定定理发现的直观支撑，体现了轴对称在几何研究中的价值。此外，内容还包含尺规作图的实践环节，将三线合一的应用与作图操作结合，强化了理论与实践的联系。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并理解等腰三角形的判定定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
（2）能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形。
（3）在探索和证明的过程中，培养逻辑推理能力，提高有条理地思考和表达的能力；在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）学生通过轴对称直观感知 “等角对等边” 的规律，理解环节则要明确定理的题设（两个角相等）与结论（这两个角所对的边相等），避免与性质定理混淆；运用判定定理进行简单证明是能力落脚点，需掌握定理的规范表述和推理格式，能在具体几何情境中识别 “角等” 条件，进而推导 “边等” 结论。
（2）尺规作图 “已知底边及底边上的高线作等腰三角形”，本质是三线合一的应用实践，培养学生运用几何知识解决作图问题的能力。
（3）在探究过程中，学生需经历观察、猜想、验证、证明的完整思维流程，锻炼逻辑推理能力；在表述证明思路或与他人交流时，需清晰、有条理地运用几何语言，从而提高数学表达能力，养成严谨的思维习惯。
三、教学问题诊断分析
判定定理与性质定理的混淆
学生易因二者均涉及 “边等” 与 “角等” 的关系，出现性质与判定的颠倒使用，尤其在复杂几何题中，难以准确区分 “由边推角” 和 “由角推边” 的逻辑方向。在教学中可采取如下措施：明确列出性质定理（等边→等角）和判定定理（等角→等边）的条件、结论、用途，并结合具体例题标注 “已知什么，要证什么，用哪个定理”。开展 “反向提问” 训练：给出 “若一个三角形是等腰三角形，则______”（性质）和 “若一个三角形有两个角相等，则______”（判定），让学生填充结论并说明依据，强化逻辑方向的区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能准确区分等腰三角形的性质定理和判定定理。
四、教学过程设计
（一）研究对象的确立
（二）研究路径的规划
如何判断一个三角形是等腰三角形？
设计意图：展示角的平分线和线段垂直平分线“性质” 与 “判定” 的互逆关系。通过类比得到等腰三角形的判定方法，进而提问引导学生主动回忆等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一 ）和判定方法（定义），唤醒学生已有的知识储备，为后续知识的深入探究或应用做好铺垫。
（三）研究过程的展开
思考：
1.等腰三角形有哪些特殊的性质？
2 .我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系
猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等.
符号语言 如图 ，在△ABC中，∠B=∠C.求证：AB=AC.
证明：作△ABC的角平分线AD.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
追问 你还有其他证法吗？
证明 作BC边上的高AD.
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(AAS).
∴AB=AC.
等腰三角形的判定:
有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”.
符号语言 ∵在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB =AC．
总结证明线段相等的方法
设计意图：引导学生从 “边→角” 的正向认知，过渡到 “角→边” 的逆向探究，促使学生主动探索等腰三角形判定定理。使学生经历完整的判定定理的生成过程，深化对几何定理科学性、严谨性的认知。鼓励学生尝试不同的辅助线添加方式，培养学生思维的灵活性与开放性。引导学生及时梳理证明线段相等的方法，既巩固本节课的知识，也将所学知识进行及时总结。
跟踪训练：
如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.图中有哪些等腰三角形.
解 ∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°.
∴∠2=∠ABC-∠DBC=72°-36°=36°.
∴∠1=∠A+∠2=36°+36°=72°.
∵∠ABC=∠C，∠1=∠C，∠A=∠2，
∴△ABC，△BCD，△ABD都是等腰三角形.
（四）研究成果的运用
例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD//BC.
求证：AB=AC.
分析 要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2.所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系.
证明 ∵AD//BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C.
又 AD平分∠CAE.
∴∠1=∠2.
∴∠B=∠C.
∴AB=AC.
跟踪训练：
如图，∠ AOP ＝∠ BOP ， CP ∥ OB ， CP ＝4，
则OC ＝
.
例3 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形.
分析 根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上.由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形.
作法 如图.
(1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点 D.
(3)在MN上取一点C，使DC=h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.
设计意图：例 2 将平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定定理联系起来，构建 “平行线 + 角平分线 → 等腰三角形” 的逻辑链条，完善知识体系。例 3 衔接等腰三角形的性质（三线合一 ）与尺规作图，将理论知识转化为实践操作 。通过 “分析性质 → 设计步骤 → 规范作图” 的流程，强化 “性质指导作图，作图验证性质” 的双向联系，提升知识的综合应用能力。
研究成果的总结
1.今天我们探究了哪些内容？
2.在探究等腰三角形判定的过程中，我们是怎样获得这些内容的？
3.我们掌握了哪些思想方法？
4.沿着我们的研究路径，接下来我们要研究哪些内容
设计意图：用思维导图帮助学生梳理轴对称的相关知识及联系，将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对图形的轴对称相关知识的整体认知。
（六）研究活动的评价
1.如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ＝15°，点 D 是 AC 上一点，连接 BD ，∠ DBC ＝60°， BD ＝4，则 AD 的长是__________ .（☆）
2.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA=OB.求证OC=OD.
解 ∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B，
∴∠C=∠D，
∴OC=OD.
走进中考：
(浙江衢州)在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，
先沿正东方向走了 200 m到达B地，再沿北偏东 30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距_________m.（☆☆☆）
（七）分层作业，延续学习
1. 基础性作业：课本84页习题15.3 第2，6，9题；
2. 综合性作业：建构本单元结构框架图；
3. 拓展性作业：等腰三角形的性质2“等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合”的逆命题是真命题吗？请探索讨论，下节课分享交流。

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