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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
1.圆的动态定义：在一个平面内，线段 OA绕它固定的一个端点 O旋转一周，另一个端点 A
所形成的图形叫做圆.
2.有关概念：圆固定的端点 O叫做圆心，线段 OA叫做半径.以点 O为圆心的圆，记作☉O，
读作“圆 O”.
3.确定一个圆的两个要素：一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小.
【思考】圆上的点都具有什么特征？
圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）.
同一个圆上所有的半径都相等.
【深入思考】从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于 定长（半径 r） .
（2）到定点的距离等于定长的点都在 同一个圆上 .
【归纳总结】圆的静态定义：圆心为 O、半径为 r的圆可以看成是所有到定点 O的距离等
于定长 r的点的集合.
1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.如图中的 AB，AC都是弦，
AB是直径.
特别注意：
①弦和直径都是线段.
②直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
2.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
以 A，B为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
劣弧与优弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的 ；大于半圆的弧叫做优弧，如图
中的 .
3.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
【思考】长度相等的弧是等弧吗？
如图，如果 AB和 CD的拉直长度都是 10cm，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧
完全重合？
实际上这两条弧弯曲程度不同，这两条弧 不可能 完全重合.
注意：“等弧”要区别于“长度相等的弧”.
结论：等弧仅存在于同圆或等圆中.
四、课堂小结
圆
24.1.2 垂直于弦的直径
（一）垂径定理
【探究】剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.
【思考】你能证明你的结论吗？
证明：如图，设 CD是☉O的任意一条直径，A为☉O上点 C，D以外的任意一点.过点 A作
AB⊥CD，交☉O于点 B，垂足为 E，连接 OA，OB.
在△OAB中，∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形.
又 AB⊥CD，∴AE＝BE，即 CD是 AB的垂直平分线.因此，☉O关于直线 CD对称.
【思考】如图，AB是☉O的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 E.因为圆是轴对称
图形，以直径 CD为对称轴把☉O折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？
相等的线段：AE＝BE.
相等的弧： ＝ ， ＝ .
即直径 CD平分弦 AB，并且平分 ， .
【归纳总结】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，
∴AE＝BE， ＝ ， ＝ .
（二）垂径定理的推论
【思考】分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
是 不是 是 不是
【深入思考】如图，当直径 CD平分弦 AB时，CD与 AB垂直吗？ 与 ， 与 相等
吗？如果弦 AB也是直径，上述结论是否成立？
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
【归纳总结】根据垂径定理与其推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备下述五个条
件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论.
（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；
（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.
24.1.3 弧、弦、圆心角
问题 1 圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？（画一个圆，如何找圆心呢，利用三
点找中垂线即可）
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心.
问题 2 圆除了旋转 180°后能与自身重合外，旋转的角度是多少的时候也能与原图形重
合？
圆是特殊的中心对称图形，圆心是它的对称中心.把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图
形都与原图形重合.
（一）圆心角、弧、弦
圆心角的定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
如图，∠AOB为圆心角，圆心角∠AOB所对的弦为 AB，所对的弧为 .
（二）圆心角、弧、弦之间的关系
【探究】那么圆心角、弧、弦这三个量之间会有什么关系呢？
【思考】在☉O中，如果圆心角∠AOB＝∠COD，那么，弦 AB与 CD，弧 与 有怎样
的数量关系？
由圆的旋转的性质，可以得到：
在☉O中，如果∠AOB＝∠COD，
那么，AB＝CD， ＝ .
【思考】如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A1O1B1，你发现的等量关系是否依然成立？为什
么？
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB＝∠A1O1B1，那么，AB
＝A1B1， ＝ .
【归纳总结】弧、弦与圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等.
几何语言：∵∠AOB＝∠A'OB'，∴AB＝A'B'， ＝ .
【深入思考】
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角和弦有什么关系？
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，它们所对的圆心角和弧有什么关系？
【归纳总结】
1.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别
相等.
【思考】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否
把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？不能
四、课堂小结
弧、弦、圆心角
24.1.4 圆周角
一、新课导入
什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
顶点在圆心切两边分别与圆周相交所形成的角叫做圆心角，图中∠BOC为圆心角.
【思考】如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点？
∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于 B，C两点.
二、新知探究
（一）圆周角的概念
如前图中的∠BAC，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
注意：两个条件必须同时具备，缺一不可.
二）圆周角定理及其推论
【思考】如图，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC.可以发现∠BAC与∠BOC对着同一条弧 ，
试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系？
∠BAC＝ ∠BOC.
【合作探究】为了证明上面猜想的结论，在☉O上任取一个圆周角∠BAC，沿 AO所在直线
将圆对折，由于点 A的位置不同，折痕会出现三种情况：
在∠BAC的一边上 在∠BAC的内部 在∠BAC的外部
分析第一种情况：圆心 O在∠BAC的一边上.
∠BAC＝ ∠BOC.
分析第二种情况：当圆心 O在∠BAC的内部时，可以添加辅助线，转化为第一种情况.
∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝ （∠BOD＋∠DOC）＝ ∠BOC.
分析第三种情况：当圆心 O在∠BAC的外部时，同理可证.
∠BAC＝∠DAC－∠BAD＝ （∠DOC－∠BOD）＝ ∠BOC.
【归纳总结】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
进一步，还可以得到圆周角定理的推论（请你自己完成证明）：同弧或等弧所对的圆周角相
等（因为所有的圆周角都等于圆心角的一半，所以他们都相等）；半圆（或直径）所对的圆
周角是直角（圆周角为 180°），90°的圆周角所对的弦是直径.
（三）圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这
个多边形的外接圆.
如图，四边形 ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形 ABCD的外接圆
【猜想】∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是什么？
∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
【思考】如何证明你的猜想呢？
证明：如图，连接 OB，OD.∵∠A所对的弧为 ，
∠C所对的弧为 .又 和 所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝ ＝180°.
同理∠B＋∠D＝180°.
【归纳总结】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
四、课堂小结
圆周角
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
（一）点和圆的三种位置关系
观察图中点 A，点 B，点 C与圆的位置关系，点 A在圆内，点 B在圆上，点 C在圆外.
【思考】设☉O半径为 r，说出点 A，点 B，点 C与圆心 O的距离与半径的关系.
OA＜r，OB＝r，OC＞r.
【思考】反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？
设☉O的半径为 r，点 P到圆心的距离 OP＝d，则有：
点和圆的位置关系
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推
出左端.
（二）不在同一直线上的三点确定一个圆、三角形的外接圆和外心
回顾：过一点可作几条直线？过两点呢？
经过一点可以作无数条直线；过两点有且只有一条直线（直线公理）.
【思考】确定一个圆需要多少个点？一个点、两个点还是三个点呢？
探究 1 平面上有一点 A，经过已知点 A的圆有几个？圆心在哪里？
结论：过一点可以画无数个圆.圆心为点 A以外任意一点，半径为这点与点 A的距离.
探究 2 平面上有两点 A，B，经过已知点 A，B的圆有几个？它们的圆心分布有什么特点？
结论：过两点可以画无数个圆，圆心都在线段 AB的垂直平分线上.
以线段 AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，以这点到点 A或点 B的距离为半径作圆.
探究 3 平面上有不在同一条直线上的三个点 A，B，C，经过 A，B，C三点的圆有几个？
圆心在哪里？
（1）经过 A，B两点的圆的圆心在线段 AB的垂直平分线上.
（2）经过 B，C两点的圆的圆心在线段 BC的垂直平分线上.
（3）经过 A，B，C三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O的位置.
结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
【归纳总结】不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
注意：
①三点不在同一直线上；
②有且只有一个圆.
外接圆与外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆
的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
【深入探究】分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观
察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内部；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外部.
（三）反证法
反证法的一般步骤：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
【归纳总结】反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：
（1）命题的结论是否定型的；
（2）命题的结论是无限型的；
（3）命题的结论是“至多”或“至少”型的.
例 3 用反证法求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于 60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于 60°.
证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于 60° ，
则 ∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° .
∴ ∠A＋∠B＋∠C＞60°＋60°＋60°＝180° ，
即 ∠A＋∠B＋∠C＞180° .
这与 三角形的内角和为 180度 矛盾，假设不成立.
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于 60° .
四、课堂小结
1.点和圆的位置关系（OP＝d）：
（1）点 P在圆内 d＜r
（2）点 P在圆上 d＝r
（3）点 P在圆外 d＞r
2.不在同一直线上的三点确定一个圆.
3.反证法的定义及步骤.
24.2.2 直线和圆的位置关系
第 1 课时 直线和圆的位置关系
回顾：点和圆的位置关系有几种？（令 OP＝d）
（1）点 P在圆内 d＜r
（2）点 P在圆上 d＝r
（3）点 P在圆外 d＞r
二、新知探究
（一）直线和圆的三种位置关系
问题 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个
数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
【归纳总结】
1.直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个点叫交点.
2.直线和圆只有一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个点叫切点.
3.直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离.
（二）直线和圆的三种位置关系的判定方法
【思考】上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？类比点和圆
的关系，你能否用数量关系来判别直线与圆的位置关系？
【思考】怎样用 d（圆心与直线的距离）来判别直线与圆的位置关系呢？
【归纳总结】用圆心 O到直线的距离 d与圆的半径 r的关系来区分：
直线和圆相交 d＜r；
直线和圆相切 d＝r；
直线和圆相离 d＞r.
【归纳总结】判定直线与圆的位置关系的方法有两种：
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，由圆心到直线的距离 d与半径 r的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判定.
四、课堂小结
直线与
圆的位
置关系
第 2 课时 切线的判定与性质
一、新课导入
设☉O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d，
（1） d＞r ，直线 l和圆 O相离；
（2） d＝r ，直线 l和圆 O相切；
（3） d＜r ，直线 l和圆 O相交.
下面，我们重点研究直线和圆相切的情况.
二、新知探究
（一）切线的判定方法
【思考】在☉O中，经过半径 OA的外端点 A作直线 l⊥OA，则圆心 O到直线 l的距离是多
少？直线 l和☉O有什么位置关系？
可以看出，圆心 O到直线 l的距离就是☉O的半径，直线 l就是☉O的切线.
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
几何语言：如图，∵OA是☉O的半径，OA⊥l，
∴直线 l是☉O的切线.
在生活中，有许多直线和圆相切的实例.例如，下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠，用砂轮
打磨工件时飞出的火星，都是沿着圆的切线方向飞出的.
【归纳总结】判断一条直线是一个圆的切线的方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径（即 d＝r）时，直线与圆相切.
3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【思考】已知一个圆和圆上的一个点，如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
作法：
（1）作射线 OP；
（2）以点 P为圆心，小于 OP的长为半径作弧交射线 OP于 A，B两点；
（3）分别以点 A，B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两弧交于 M，N两点；
（4）作直线 MN.
直线 MN就是所求作的切线，如图.（就是过线段上的点做垂线）
（二）切线的性质
【思考】在☉O中，如果直线 l是☉O的切线，切点为 A，那么半径 OA与直线 l是不是一定
垂直？
切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言：如图，∵直线 l是☉O的切线，切点为 A，∴OA⊥l.
用反证法证明切线的性质定理：
假设 AB与 CD不垂直，过点 O作一条直径垂直于 CD，垂足为 M，则 OM＜OA，即圆心到
直线 CD的距离小于☉O的半径，因此，CD与☉O相交.这与已知条件“直线与☉O相切”
相矛盾.所以 AB与 CD垂直.
【归纳总结】
1.证切线时辅助线的添加方法：
（1）无交点，作垂直，证半径；
（2）有交点，连半径，证垂直.
2.有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
四、课堂小结
1.切线的判定方法
2.切线的性质 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
3.证切线时常用的辅助线添加方法：
（1）有交点，连半径，证垂直；
（2）无交点，作垂直，证半径.
4.有切线时常用的辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
第 3 课时 切线长定理和三角形的内切圆
（一）切线长定理
【思考】上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点 P是圆外一点，又怎么作
该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.
注意：切线和切线长是两个不同的概念：
①切线是直线，不能度量；
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
【思考】如图，PA，PB是☉O的两条切线，切点分别为 A，B.在半透明的纸上画出这个图
形，沿着直线 PO将图形对折，图中的 PA与 PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的
夹角.
几何语言表示：
∵PA，PB分别切☉O于点 A，B，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.
【归纳总结】我们学过的切线，常有以下性质：
1.切线和圆只有一个公共点；
2.切线和圆心的距离等于圆的半径；
3.切线垂直于过切点的半径；
4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
6.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角.
（二）三角形的内切圆
【思考】如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面裁下一块圆形的用料，并且使裁下的圆
与三角形的三条边相切？
【交流讨论】如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
（1）如果半径为 r的☉I与三角形的三边都相切，那么圆心 I应满足什么条件？
圆心 I到三角形三边的距离相等，都等于 r.
（2）在三角形的内部，如何找到满足条件的圆心 I呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形的三边距离相等.圆心 I应是三角形
的三条角平分线的交点.
【自主学习】已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
（1）作∠B和∠C的平分线 BM和 CN，交点为 O；
（2）过点 O作 OD⊥BC，垂足为 D；
（3）以 O为圆心，OD为半径作☉O.
☉O就是所求的圆.
【归纳总结】
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
如图：☉I是△ABC的内切圆，点 I是△ABC的内心，△ABC是☉I的外切三角形.
名称 确定方法 图形 性质
1. OA＝OB＝OC
外心：三角形外接 三角形三边垂直平分线
2.外心不一定在三角形
圆的圆心 的交点
的内部
内心：三角形内切 三角形三条角平分线的 1.到三边的距离相等
圆的圆心 交点 2.内心在三角形内部
四、课堂小结
切线长定理
三角形的内切圆
24.3 正多边形和圆
什么样的图形是正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形是正多边形.
【思考】正多边形和圆的关系非常密切，正多边形和圆之间有什么关系呢？
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多
边形的外接圆.
接下来，以圆内接正五边形为例证明.
如图，把☉O分成相等的 5段弧，依次连接各分点得到五边形 ABCDE.
∵ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， ＝3 ＝ .∴∠A＝∠B.
同理∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
又五边形 ABCDE的顶点都在☉O上，
∴五边形 ABCDE是☉O的内接正五边形，☉O是正五边形 ABCDE的外接圆.
【归纳总结】
正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径：外接圆的半径.
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
【思考】完成下面的表格：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3 60° 120° 120°
4 90° 90° 90°
6 120° 60° 60°
n
正多边形的外角＝中心角
【归纳总结】圆内接正多边形的辅助线：
1.连半径，得中心角；
2.作边心距，构造直角三角形.
【思考】怎样画一个正多边形呢？
问题 1 已知☉O的半径为 2cm，求作圆的内接正三角形.
以 2cm为半径作一个☉O，用量角器画一个 120°的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依
次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的 3个等分点，顺次连接各等分点，即可得到正三角形.
问题 2 你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？（后面有讲）
四、课堂小结
正多边形和圆
24.4 弧长和扇形面积
第 1 课时 弧长和扇形面积
圆的周长公式：2πr或πd.（r表示圆的半径，d表示圆的直径）
圆的面积公式：πr2.
问题 1 如图所示，在半径为 R的☉O上，有两动点 A，B，当 A，B两点在圆上运动时，想
一想弧 AB的长度与什么因素有关？
与∠AOB的大小有关.
当∠AOB＝360°时，弧 AB的长表示什么意思？
☉O的周长，即 l＝2πR.
当∠AOB＝1°时呢？弧 AB的长与整个圆的周长是什么关系？
此时弧 AB的长是整个圆的周长的 ，即 l＝ ×2πR.
当∠AOB＝2°时，弧 AB的长呢？
弧 AB的长是整个圆的周长的 ，即 l＝ ×2πR.
当∠AOB＝n°时，弧 AB的长呢？
弧 AB的长是整个圆的周长的 ，即 l＝ ×2πR.
【归纳总结】弧 AB的长 l＝ ×2πR＝ ，这就是弧长的计算公式，其中 n表示弧 AB所
对的圆心角的度数，R表示弧 AB所在圆的半径.
弧长公式：在半径为 R的圆中，n°的圆心角所对的弧长：l＝ ×2πR＝ .
注意：①在应用弧长公式 l＝ 进行计算时，要注意公式中 n的意义，n表示 1°圆心角的
倍数，它是不带单位的；②区分弧、弧的度数、弧长三概念.度数相等的弧，弧长不一定相
等，弧长相等的弧也不一定是等弧，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧
（二）扇形面积
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，阴影部分是一个扇形，记作扇形 OAB.
问题 2 你能类比前面弧长计算公式的推导，得到扇形的面积计算公式吗？
类似前面弧长的讨论，我们可以知道扇形 AOB的面积也与圆心角∠AOB的大小有关.
当∠AOB＝360°时，扇形 AOB的面积就是整个圆的面积，即 S＝πR2.
当∠AOB＝1°时，扇形 AOB的面积就是整个圆面积的 ，即 S＝ ×πR2.
当∠AOB＝2°时，扇形 AOB的面积就是整个圆面积的 ，即 S＝ ×πR2.
当∠AOB＝n°时，扇形 AOB的面积就是整个圆面积的 ，即 S＝ ×πR2.
【归纳总结】扇形 AOB的面积 S＝ ×πR2，这就是扇形面积的计算公式，其中 n表示弧
AB所对的圆心角的度数，R表示弧 AB所在圆的半径.
【思考】现在我们用从特殊到一般的方法推导出弧长的计算公式 l＝ 和扇形面积的计算公
式 S＝ ，对比这两个公式，你能找到它们之间的联系吗？
都含有π；都与圆心角度数 n有关；都与圆的半径 R有关……
实际上，扇形的面积计算公式里就包含着一个弧长计算公式，聪明的你们发现了吗？
因为 S＝ ＝ × ×R，而 l＝ ，所以 S＝ lR.
【归纳总结】弓形的面积公式（阴影部分面积）
S 弓形＝S 扇形－S 三角形 S 弓形＝S 扇形＋S 三角形
四、课堂小结
1.弧长 计算公式：l＝
2.扇形 计算公式
第 2 课时 圆锥的侧面积和全面积
（一）圆锥的概念
下面的物体中，有你熟悉的立体图形吗？
【思考】它们都含有圆锥体（如下图），那么什么是圆锥体呢？
圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面.我
们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.
【思考】一个圆锥有多少条母线呢？它们是相等的吗？
有无数条，它们是相等的.
【归纳总结】从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高.
如果用 r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高线长，l表示圆锥的母线长，那么 r，h，l
之间数量关系由勾股定理，得 r2＋h2＝l2.
（二）圆锥的侧面积
【思考】圆锥的侧面展开图是什么图形？
圆锥的侧面展开图是扇形.
【思考】沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面
圆的周长有什么关系？
如图，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.
（1）设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r，如图所示，那么这个扇形的半径为 l ；
（2）扇形的弧长其实是底面圆周展开得到的，所以扇形弧长为 2πr ；
（3）因此圆锥的侧面积为 πrl ，圆锥的全面积为 πr（l＋r） .
四、课堂小结
圆锥的侧面积和全面积
课外知识补充：
一：尺规作正多边形：
1.圆内正三角形：
如图 2，已知 和圆上一点 M．作法如下：
①以点 M为圆心， 长为半径，作弧交 于 A，B两点；
②延长 交 于点 C；
即点 A，B，C将 的圆周三等分．
则点 A，B，C是求作的 的圆周三等分点．
（1. 画圆：以 O为圆心画圆 2.六等分圆：在圆周上任取一点 P,以 OP为半径，依次在
圆上截取六个六等分点 A、B、C、D、E、F。3.连接不相邻的三个点，连接 ACE三点，形
成的三角形 ACE为圆内接正三角形。
2.圆内正四边形：正方形的判定；先在圆上确定一点 ，连接 并延长交 于点 ，
再作 的垂直平分线交 于 B、D，连接 ，则四边形 就是所求
作的内接正方形．
【详解】解：如图，正方形 为所作．
垂直平分 ， 为 的直径，
为 的直径，
，
， ， ，
四边形 是矩形
,
四边形 是正方形，
又 都在圆上，
四边形 是 的内接正方形．
3.圆内正五边形：
圆内接正五边形 ABCDE 的部分尺规作图步骤如下：
①作出半径 OF 的中点 H．
②以点 H 为圆心，HA 为半径作圆弧，交直径 MF 于点 G．
③AG 长即为正五边形的边长、依次作出各等分点 B，C，D，E．
2
已知⊙O的半径 R＝2，则 AB ＝ ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】连接 AG，由作图可知，OA＝2，H 为 OF 中点，可求 OH= ，由勾股定理得 AH＝
，可求 OG＝ ﹣1，由勾股定理 AB2＝AG2＝OA2+OG2＝4+（ ﹣1）2
＝10﹣2 即可．
【详解】解：连接 AG，由作图可知，OA＝2，OH＝1，H 为 OF 中点，
∴OH= ，
在 Rt△OAH 中，由勾股定理
∴AH＝ ，
∵AH＝HG＝ ，
∴OG＝GH﹣OH＝ ﹣1，
在 Rt△AOG 中，由勾股定理得，
∴AB2＝AG2＝OA2+OG2 2＝4+（ ﹣1） ＝10﹣2 ．
故答案为：10﹣2 ．
4.圆内正六边形：在⊙O上依次截取六段弦，使它们都等于 OA，从而得到正六边形 ABCDEF；
正六边形 ABCDEF 为所作；
二，圆与圆的位置关系：（高中）
(1)几何法：
圆 O1 ： ， 圆 O2 ：
，
两圆的圆心距 ，则有
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与 r1，r2
d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
的关系
(2)代数法：圆 O1： ，圆 O2：
，两圆的方程联立得方程组，则有
方程组解的情况 2组 1组 0组
两圆的公共点 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
三、圆幂定理：
1.弦切角模型：
、弦切角 1、定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：
2、弦切角的三种情况（1）圆心在弦切角外；（2）圆心在弦切角的一条边上；（3）圆心
在弦切角内；
、弦切角定理及证明定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角；弦切角的度数等于
它所夹的弧的圆心角度数的一半（等于它所夹的弧所对的圆周角度数）。
已知：如图，PQ 是圆 O 的切线，切点为 P。
求证：∠APQ=∠ABP，2∠APQ=∠AOP.（1）当圆心在弦切角外部时
证明：连接 OA，OP，在非弦切角所夹弧 优弧 PA 上任取一点 B，连接 BP 和 BA。
∵ OA=OP
∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠POA=180°
∴ 2∠OPA+∠POA=180°
∵ PO 为圆的切线，OP 为半径
∴ ∠OPA+∠APQ=90°∴ ∠OPA=90°-∠APQ
∴ 2（90°-∠APQ）+∠POA=180°
∴ ∠POA=2∠APQ
∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍）
∴ ∠APQ=∠ABP（法 2 或者过 P 连接 po 延长与圆相交于点 E，连接 AE，则∠OPA+∠PEA=∠
OPA+∠APQ=90°∴ ∠APQ=∠ABP）
（2）当圆心在弦切角的一边上时
证明：在非弦切角所夹弧 AP 上任取一点 B，连接 AB、PB
∵ AP 为直径
∴ ∠ABP=90°∵ PQ 为圆的切线，OP 为半径∴
∠APQ=90°∴ ∠APQ=∠ABP∴ 2∠APQ=∠AOP（同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍）.
（3）当圆心在弦切角的内部时
证明：连接 OA，OP，在非弦切角所夹弧 劣弧 PA 上任取一点 B，连接 BP 和 BA。
∵ OA=OP
∴ ∠OPA=∠OAP∵ ∠OPA+∠OAP+∠1=180°
∴ 2∠OPA+∠1=180°
∵ PO 为圆的切线，OP 为半径
∴ ∠OPA=∠APQ-90°∴ 2（∠APQ-90°）+∠1=180°
∴ ∠1+2∠APQ=360°∵ ∠1+∠2=360°
∴ ∠2=2∠APQ∴ ∠POA=2∠APQ（这里的∠POA 是大于 180°的角，是优弧 AP 所对的圆心
角）∵ ∠POA=2∠ABP（同弧所对的圆心角是圆周角的 2倍）∴ ∠APQ=∠ABP
、弦切角模型结论：
1. 如图，CB是圆 O的切线，AB是圆 O的直径。
结论：1） CBD CAB CB CD， = CB =CD×CA。CA CB，
2） CBD BAD BD CD， = BD =AD×CD。AD BD，
3） BAD CAB BA DA， =CA BA BA =AD×DC。，
2.相交弦定理：
1. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.
已知 图形 结论 证明过程
在△APB 和△CPD 中
【基础】在⊙O AP DP=BP CP
中，弦 AB、CD 相 ∠1=∠2（同弧所对圆周角相
交于点 P 等）
∠3=∠4 ∴△APB∽△CPD
∴ 则 AP DP=BP CP
【进阶】在⊙O BP CP=MP NP 同上
中，OP 所在直线
与⊙O交于 M、N =(r-OP)( r+OP)
两点，r 为⊙O 的 =
半径
3.切割线定理：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的
比例中项.
已知 图形 结论 证明过程
如图，线段 ADC =AD AC ∵∠1=∠2（弦切角定理模
是⊙O的一条割 型），
线，AB 是⊙O 的 ∠A=∠A
一条切线， ∴△ABD∽△ACB
切点为点 B
∴ 则 =AD AC
4. 割线定理：割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离
的积相等.
已知 图形 结论 证明过程
【基础】在⊙O AP BP 连接 AC、BD
中，弦 AB、CD =CP DP
相交于点 P，且 通过已知条件证明△APC∽
点 P 在圆外 △DPB
∴ 则 AP BP=CP DP
（请尝试连接 AD，BC自行
证明）
【进阶】若从圆 AP BP 同上
外一点P引圆的
=MP NP
两条割线PAB和
PMN， =(OP-r)( OP+r
且割线PMN经过 )
圆心，r 为⊙O
= -
的半径
5.托勒密定理：如图，AB、CD是圆 O的两条弦；
结论：AC×BD=AD×BC+AB×CD
证明: 在线段BD上取点 E, 使得∠BAE=∠CAD,∵∠ABE=∠ACD, ∴△AEB∽△ADC,
AC÷AB=DC÷BE 即 AC·BE=AB·CD,
当∠BAE=∠CAD 时, +公共角
可得: ∠BAC=∠EAD, ∵∠ACB=∠ADB, △ABC∽△AED,
即 AC·DE=AD·BC,
∴AC·BE+AC·DE=AB·CD+AD·BC,
∴AC·BD=AB·CD+AD·BC.
四： 四点共圆
1. 四点共圆的判定
判定方法 图形 证明过程
若四个点到一个定点的距离相等，则 到定点的距离等于定长的点都在同
一个圆上（圆的定义）
这四个点共圆（圆的定义）.
适用范围：题目出现共端点，等线段
时，可利用圆的定义构造辅助圆.
若一个四边形的一组对角互补，则这 反证法
个四边形的四个点共圆.
若一个四边形的外角等于它的内对 反证法
角，则这个四边形的四个点共圆.
同侧共边三角形且公共边所对角相 反证法
等的四个顶点共圆.
连接 AO、OD
共斜边的两个直角三角形的四个顶
根据直角三角形斜边的中线等于斜
点共圆.
边的一半可得 AO=BO=CO=DO
适用范围：双直角三角形共斜边模型.
∴点 A、B、C、D四点共圆
在△APB 和△CPD 中
在⊙O中，若弦 AB、CD 相交于点 P,
AP DP=BP CP
且 AP DP=BP CP，则 A,B,C,D 四点共
∠3=∠4
圆（相交弦定理的逆定理）
∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则 A、B、C、D四点共圆
在△APC 和△DPB 中
在⊙O中，若 AB、CD 两线段延长后相
AP BP=CP DP
交于点P,且AP BP=DP CP，则A,B,C,D
∠P=∠P ∴△APC∽△DPB
四点共圆（割线定理）
∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180°
∴∠1+∠2=180°
则 A、B、C、D四点共圆
若四边形两组对边乘积的和等于对
角线的乘积，则四边形的四个顶点共
圆(托勒密定理的逆定理).
五、 定弦定角
【模型介绍】因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对
应的角度大小固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧.
【模型解析】两定(A，B)一动(P)，AB长固定，∠APB 固定
如图，已知 AB为定线段，P为动点，且∠APB=α，则 A、B、P三点必共圆，或称为点 P
一定在以 AB为弦的某一个圆上，且这个圆是固定的，圆心在线段 AB的垂直平分线上，动
点 P的运动轨迹为关于线段 AB对称的圆弧上（①∠APB<90°，在线段 AB对称的优弧上
运动 ②∠APB>90°，在线段 AB对称的劣弧上运动），但不包括 A、B两点.
定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线
段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆.
【解题技巧】
1）找到不变的张角(∠APB)所对的-定弦(AB);
2）定角定弦定圆心和半径;
3）作出外接圆;
4）计算半径并分析.
5）当△ABP是以 AB为底的等腰三角形时, △ABP的面积和周长最大.
[口诀] 见定长→找所对定角→知定圆→找圆心→现“圆”形(一找、二定、三画、四析).
【证明】在△ABP中, ∠P=α,AB=2x.
1）求△ABP中 AB边所对的高的最值.
2）求△ABP面积的最值.
【提示】这个模型就是我们所谓的定角定弦模型,也就是在一个三角形
中一个角和它的对边保持不变,在 AB边固定的同时,虽然∠P的大小不
变,但顶点 P的位置可以发生变化 P,由于同弧所对的圆周角不变,故顶点 P可以在△ABP的外
接圆的 AB这段弦所对的圆弧上运动（不包括 A,B点）.当高线 PC过圆心时有最大的高,即
h≤P1D=OP1+OD.(此时 P,O,D三点共线)
【证明过程】
作△ABP 的外接圆圆 O，连接 AO，BO，PO,过点 O作 AB⊥OD 于点 D
∵∠APB=α ∴∠AOB=2α 而△AOD≌△BOD ∴∠AOD=∠BOD=α AD=BD=x
在 Rt△AOD 中，AO= DO= 又∵AO=OP1
PC≤P1D=OP1+OD= = (1+cos ) （当 P与 P1 重合时等号成立）
S△ABP= PC AB≤ P1D AB= (1+cos ) = (1+cos )
六、 定角定高模型（探照灯模型）
【模型介绍】如图，直线 BC外一点 A，A到直线 BC距离为定值(定高)，∠BAC为定角，
则 BC有最小值，即△ABC的面积有最小值.因为其形像探照灯，所以也叫探照灯模型.
在△ABC中，∠BAC= (定角)，AD是 BC边上的高，且 AD=h (定高)，则当△ABC是等
腰三角形(AB=AC)时，BC的长最小，△ABC的面积最小，△ABC的周长最小.
证明思路：如图，△ABC作 BC的外接圆⊙0，连接 OA，OB，OC，
过点 O作 OE⊥BC于点 E, 设⊙0的半径为 r，则∠BOE=∠BAC= ∴
BC=2BE=2OBsin =2r sin
∵OA+OE≥AD(当且仅当点 A，O，E三点共线时,等号成立)，∴r+r cos ≥h，即 ，
当取等号时 r有最小值，此时 BC的长最小，所以 BC=2BM=2r sin
【解题思路】
1. 作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为 r，用 r表示圆心到底边距离及底边长;
2. 根据“半径+弦心距≥定高”，求 r的取值范围;
3. 计算底边范围从而求得面积最小值
七、 垂径定理（前面已讲）
如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④ ⑤
【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分
弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条
件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理.
常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造 ，用勾股，求长度；
2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分.
八、 阿基米德折弦定理
阿基米德折弦定理：一个圆中一条折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，
就是折弦的中点。
如图，AB 和 BC 是⊙O 的两条弦(即 ABC 是圆的一条折弦)，AB>BC，点 M是弧 ABC
的中点，过点 M作 MD⊥AB 于点 D,则 AD=DB+BC，AB-BC=2DB。
常见证明方法：
1）截长法：如图，在 AD 上取一点 E，使 AE=BC
2）补短法：延长 AB 至点 E，使 BE=BC
3）垂线法：过点 M 作 BC 垂线交 BC 延长线于点 E
4）作辅助圆法：连接 AM、CM，以点 M 为圆心，MA 为半径作⊙M,延长 AB 交⊙M于点 E，连接
CE
九： 阿氏圆模型
使用场 已知两个定点 A，B，动点 P在定圆上，求 PA+kPB 的最小值
景
类型 点 A，B 均在圆外，r=kOB(k<1) 点 A，B 均在圆内，r=kOB(k>1)
图示
解题策 第一步:在 OB 上取点 D，使得 OD=kr； 第一步:在 OB 的延长线上取点 D，使得
略 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△ OD=kr;
BOP，则 PD=kPB,此时 PA+kPB=PA+PD; 第二步:由母子相似模型可得△POD∽△
第三步:连接 AD，则 AD 的长即为 PA+kPB BOP，则 PD=kPB.此时 PA+kPB=PA+PD;
的最小值. 第三步:连接 AD，则 AD 的长即为 PA+kPB 的
最小值
大招结 AD 的长即为 PA+kPB 的最小值
论
【模型总结】
对于阿氏圆而言：当系数 k＜1 的时候，一般情况下，考虑向内构造.
当系数 k＞1 的时候，一般情况下，考虑向外构造.
【注意事项】针对求 PA+kPB 的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
扩展： 胡不归模型
【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子
略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是
义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老
人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道
走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通
过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的
拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢 这就是流传千百年的“胡不归问题.
【模型详解】
条件：已知 A，B为定点，其中点 A在定直线 m上，点 P在直线 m上一动点，求 k PA+PB（k＜1）的最小值.
图示：
解题步骤：
1） 作射线 AM使 sin∠PAM= k（k＜1），且点 M 与点 B 位于直线 m 的两侧.
2）过点 P作 PC⊥AM 于点 C，则 PC=k PA，此时 k PA+PB=PC+BP.
3）过点 B作 BD⊥AM 于点 D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的
解题大招：即当 B，P，C三点共线时，k PA+PB 取最小值，最小值为 BD 的长度.
模型总结：在求形如“k PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与 k PA 相等的线段，将“k PA+PB”型
问题转化为“PC+PB”型. 而这里的 PA 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到 k PA
的等线段
注意：若 k>1，则提取系数，转化为小于 1的形式解决即可.
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.

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