资源简介

《22.1.1二次函数的概念》教学设计
一、教学内容解析
1.教学内容
本节课选自人教版九年级上册第二十二章第一节《二次函数的概念》，主要内容是二次函数的概念、自变量的取值范围及简单应用 .
内容解析
二次函数是初中数学学习中的重要内容之一,它是在学习了正比例函数、一次函数后的学习内容,它不仅强化了学生对函数概念的深入理解,对研究函数方法进一步熟悉,而且也为高中继续学习函数打下基础; 二次函数和以前学过的二次三项式、一元二次方程和高中学习的一元二次不等式有着密切的联系。二次函数的概念是一个较为“形式化”的概念,可以通过实例,概括、归纳逐步形成；同时，也与其他数学知识内容相联系，逐步形成运用模型解决问题的意识。
二、教学目标
（1）经历在实际问题情境中列函数表达式的过程，能在实际情境中确定二次函数的表达式，发展模型观念。
（2）经历提炼二次函数表达式并进行辨析的过程，能类比、归纳出二次函数的概念，会判断某个函数关系是否为二次函数，体会类比的数学思想，提高抽象能力。
（3）能明确二次函数学习路径，并通过类比学习和反思回顾，了解二次函数与其他函数、方程及不等式的内在联系，感悟研究函数的基本思路和方法，发展推理能力和创新意识。
教学重点
理解二次函数概念。
教学难点
能通过实际问题建立函数模型，确定函数解析式及自变量的取值范围。
三、学生学情分析
函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型.从认知状况来说，学生在前期已经历正比例函数和一次函数的学习，已积累了相关学习经验，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。但在数学学习上,学生更多的是注重直观的观察，数学的抽象概括能力还不足。
四、教学策略分析
（一）教法
1、关注二次函数概念形成的过程
这是一节概念课，根据概念教学的规律和学生认知特点，关注二次函数概念形成的过程。
二次函数的概念是一个抽象的概念，可以通过类比帮助学生正确理解概念的有效方法，因此在概念形成过程中，我设计了两次类比，首先与一次函数作纵向类比，体会函数学习一般过程；然后再与二次多项式、一元二次方程作横向比较，从而总结得出二次函数的一般式．让学生更深一层次的经历概念形成的过程。
2、重视数学知识内在的联系
首先，本节课是在掌握了正比例函数、一次函数知识的基础上，来学习二次函数的概念．因此，通过复习一次函数相关知识的学习过程，即：实际问题--函数概念--函数图像--函数性质--实际问题，通过与一次函数的类比，让学生体验从实际问题出发到建立二次函数解析式的过程，初步体验用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律，也为整个章节的知识做一个导学。
其次，二次函数和所学过的一元二次方程以及高一年级将要学习的的一元二次不等式都有着密切的联系．学习二次函数将为解决方程问题和不等式问题提供新的方法和途径，并使学生进一步体会数学知识内在的联系。
3、营造学生在老师指导下的自主学习氛围
在整节课的教学设计中，无论是对概念的引入、概念的形成、概念的辨析和应用巩固，都是让学生自己通过观察、思考、归纳和概括后才得出结论，使学生完全参与到了整个教学过程．通过自主探索，学生发现了规律，建立了概念，从而真正理解了概念的实质和内涵．
（二）学法
自主探究，合作学习.
（三）教学媒体
教具：教材、导学案、多媒体课件等.
教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
创设情境 引入课题 引导语：同学们，你知道篮球在空中运行的路线是什么曲线？怎样出手能提高命中率？作为对手起跳多高才能成功盖帽等等这些问题都可以通过本单元的数学知识来解答。 （一）温故知新 复习函数概念。 目前，我们已经学习了哪种类型的函数？ 3.回顾一次函数学习的过程。 师提问学生，引导学生回顾。 （二）情境引入 情境问题： 情境一：一粒石子投入水中，激起的圆形波纹不断向外扩展，这个变化过程存在哪些变量？扩大后的圆面积y与半径x的关系为_____________________. 情境二：数学老师自驾借班上课,两校相距约200千米,求汽车行驶的平均速度y和行驶时间x之间的关系式为_____________________. 情境三：用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔； （1）如果长方形的长为y米和宽x米，那么它们之间的关系为_____________________. （2）如果长方形的面积为y米和宽x米，那么它们之间的关系为_____________________. 情境四： Rt△ABC中，∠B=90°，AB=x,BC=4,AC=y,y与x的关系为_____________________. 情境五 某工厂一种产品现在的年产量是20吨，计划今后两年增加产量。如果每一年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后，这种产品的产量y与x的关系为_____________________. 学生观看NBA篮球比赛视频，思考问题。 学生回忆，积极回答问题。 学生分享课前学习成果。 从篮球比赛的投篮问题引入新课，引发学生思考，增加学生学习兴趣。 使学生加深对函数定义的理解；同时,通过复习一次函数学习的过程,为二次函数概念及本章的后续学习做铺垫． 以学生熟悉生活情境引入， 感受生活中处处有数学，鼓励学生积极发言， 在实际问题中，感受变化关系，为形成二次函数概念做准备．
合作探究 构建新知 问题1：从实际问题中得出的6个关系式，它们都是函数吗？哪些是已经学过的函数？ 问题2：请将余下的函数关系式进行分类，说说分类标准。 问题3：观察三个函数表达式的共同点: 归纳： (1) 函数表达式中的各项都是整式； (2) 函数自变量的最高次为2次； (3) 可以化成y=ax2+bx+c的形式. 师引导学生总结归为同一类函数的共同特征，明确其一般形式，归纳二次函数的概念。 类比归纳二次函数的概念：一般地，形如y=ax +bx+c( 其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。 师引导学生理解二次函数的一般式、二次项、一次项、常数项以及各项的系数。知道当b=0和c=0时二次函数的特殊形式，明确判断二次函数的条件：1.二次项系数 a≠0；2.自变量最高次为2次；3.整式. 小组合作将所得函数关系式分类。 学生思考，交流，总结二次函数特征，归纳其概念。 通过类比代数式的分类方法，对六个函数解析式进行分类，找到这些函数解析式的共同特点，逐步形成二次函数的概念.
三、巩固练习 形成技能 探究点一：二次函数的定义 【类型一】二次函数的识别 例1 下列函数中，哪些是关于x的二次函数？并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 本片段采用问答式，当学生做出判断后，教师及时追问判断理由. 完成例1后，师生交流如下. 问题：通过这7个函数的辨析，你认为判断二次函数的标准是什么 方法点拨： 运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤: (1)将函数解析式进行展开、合并等化简； (2)判断右边含自变量的代数式是否是整式； (3)判断自变量的最高次数是否是2； (4)判断二次项系数是否不等于0. 问题：自变量的取值范围是什么？ 师：这7个函数中，(2)和(5)确定是二次函数， 自变量取值范围是任意实数.若把它们放在实际情境下，如前面的情境一和情境三中的二次函数，自变量的取值还是任意实数吗 师帮助学生回顾之前情境，分享实际问题中自变量的取值范围。 【自变量的取值范围】 在实际问题中，自变量x的取值范围由实际问题决定． 【类型二】确定二次函数中待定字母的取值 例2 关于x的函数 是二次函数, 求m的值. 解题反思：此类型题考查二次函数的概念，要抓住自变量最高次数为2及二次项系数不为0这两个关键条件. 练习：已知关于x的函数 是二次函数，求a的值. 探究点二：根据实际问题建立二次函数模型 例3、如图，已知正方形ABCD，它的边长为10，E是BC边上一动点，以EC为边长在形内作正方形CEFG，点G在CD边上，连接AF、BF．当E在BC边上运动时， (1)图中有哪些变量？ (2) 设EC=x,则哪些变量与x是一次函数关系 哪些是二次函数关系？你能列出这些函数关系式吗 说说自变量的取值范围(用y 表示函数) 师通过希沃投屏展示小组的探究成果，获得多种类型的函数关系式，并引导学生总结根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤。 方法点拨： 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤： ①审题，弄清题意及题中数量关系，根据题意假设变量； ②找出等量关系，列出等式； ③整理为函数解析式，同时写出自变量的取值范围. 探究点三：利用二次函数模型解决实际问题 例4、篮球运动员投篮时，由相关数据分析可得：该篮球出手后离地面的高度h（米）关于时间t(秒)的函数解析式为 （1）求篮球刚出手时，篮球离地面的高度； （2）若篮球在空中运行0.75s达到最高点，求此时的最大高度。 学生思考回答问题，利用二次函数的条件正确识别二次函数。 学生思考回答问题。 学生通过合作补充，可 以得到自变量 的取值范围.情境一中x>0, 情境二中0四、课堂小结，深化提高 1.本节课我们探究了什么问题，你学到了哪些知识？ 这节课我们如何研究二次函数？用到了哪些数学思想方法？ 函数的研究路径。 4.体会数学知识的内在联系 学生自主归纳、总结本节课所学到的知识、研究方法和数学思想. 通过思维导图和研究思路图，将本节课的研究内容和方法清晰展现在学生面前， 将之前渗透的思想方法显性化，为之后继续探究二次函数的图像、性质提供了研究思路和方法. 本题的旨在强调二次函数和二次整式、一元二次方程、一元二次不等式的联系，是后续高中研究三个二次问题的重要基础。
五、课后作业 巩固延伸 一、基础性作业： 教科书习题第29页练习第1题，第2题。 二、拓展性作业： 导学案（选做） 1.已知函数：； （1）若这个函数是一次函数，求m的值； （2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 3.（选做）一条隧道的横截面如图所示,它的上部是一个半圆面,下部是一个矩形,矩形的一边长为2.5米.如果隧道下部的宽度大于5米但不超过10米， （1）求隧道横截面面积S(平方米)关于上部半圆面半径r(米)的函数关系式及其定义域； （2）求出当上部半圆面半径为4米时的隧道截面面积 (结果保留π)． 三、实践作业： 尝试根据一个实际问题建立二次函数模型，设计两个问题，并给出解题方法。若不能解决，提出你的困惑。 独立完成作业 从基础知识、基本技能作、基本活动经验等方面分层设计作业，学生根据情况选择适合自己的作业，提高学生完成作业的兴趣，增强学生学习数学的自信心，使不同的学生在数学上能够得到不同的发展. 提供丰富的实践作业能激发学生学习数学的兴趣，加深对所学知识的理解,体会数学来源于生活并运用于生活，培养学生的数学应用意识。
板书设计： 22.1.1二次函数的概念 定义：一般地，形如y=ax +bx+c( 其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。 条件： ①二次项系数 a≠0； ②自变量最高次为2次； ③整式. 自变量的取值范围： ①一切实数。 ②在实际问题中，自变量x的取值范围由实际问题决定． 数学思想：分类讨论、类比

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