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3.6圆内接四边形
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 2
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 5
【知识点1】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2025 西安校级一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（　　） A．50°B．45°C．40°D．30°
【答案】D 【分析】首先根据∠BCD=2∠BAD及圆内接四边形的性质求出∠BAD=60°，再根据圆周角定理得∠BAE=90°，然后根据∠DAE=∠BAE-∠BAD即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴2∠BAD+∠BAD=180°，
∴∠BAD=60°，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-60°=30°．
故选：D．
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算
【典型例题】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵,
∴,
∵=，
∴,
∵四边形内接于，
∴；
故选：B．
【举一反三1】如图，点A，B，C在圆O上，顺次连接各点得到四边形．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，在优弧上取一点D，连接，，
由圆内接四边形的性质可得，
，
，
故选D．
【举一反三2】如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ．

【答案】
【解析】连接，如图，

∵平分，
∴，
∵四边形内接于，
∴,，
∴，
∴，
∵,
∴，
∴,
∵,
∴,
∵, ,
∴在中，；
故答案为：.
【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝55°﹣25°＝30°；
（2）连接AO，CO，过O作OH⊥AC于H，则AO＝CO＝6，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠B＝2∠ADC，
∴∠ADC＝60°，∠B＝2∠ADC＝120°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝30°，
∵AO＝6，OH⊥AC，
∴OH＝AO＝3，
由勾股定理得：AH＝＝3，
∵OH⊥AC，OH过圆心O，
∴AH＝CH＝3，
∴AC＝AH+CH＝6．
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明
【典型例题】如图，已知四边形内接于，点O在的内部，，，则下列结论正确的为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
选项A、B、C错误，D正确．
故选：D．

【举一反三1】如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵四边形内接于．
∴，
∴，故B选项正确；
∵与不确定平行，
∴无法求出的度数，故A，C不正确；
∵与不确定平行，
∴无法求出，故D选项不正确；
故选：B．
【举一反三2】如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、 无法证明，故选项A错误，符合题意；
B、∵平分，∴，∴，故选项B正确，不符合题意；
C、∵四边形内接于，∴，故选项C正确，不符合题意；
D、∵平分，∴，∴，∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：A.
【举一反三3】如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．

【答案】①②③④
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵圆周角和圆心角都对着，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵圆周角和都对着，
∴，故④正确；
延长交于M，连接，

∵D、C、A、M四点共圆，
∴，
∵，
∴，故⑤错误；
故答案为：①②③④．
【举一反三4】如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）．
【答案】①②④
【解析】∵，
∴，
∴，
∴平分，
故①正确；
∵将绕点旋转至，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴点A，，在同一条直线上；
故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转可知，，
∴，，
∴，，
作于点H，则，

∴，
∴，
∴，
故③错误；
在截取，连接，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故④正确，
故答案为：①②④．
【举一反三5】如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.
求证：(1)∠EBC＝∠D；
(2)BC＝EC．
【答案】解：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＋∠D＝180°.
又∵∠ABC＋∠EBC＝180°，
∴∠EBC＝∠D.
(2)如图，连结AC.
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵C是的中点，∴∠EAC＝∠CAD，
而∠EAC与∠E互余，∠CAD与∠D互余，
∴∠E＝∠D，由(1)得∠EBC＝∠D，
∴∠EBC＝∠E，
∴BC＝EC.3.6圆内接四边形
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算 2
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明 3
【知识点1】圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 1.（2025 西安校级一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（　　） A．50°B．45°C．40°D．30°
【题型1】利用圆内接四边形的性质计算
【典型例题】如图，四边形内接于，连接，若=，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，点A，B，C在圆O上，顺次连接各点得到四边形．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ．

【举一反三3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．
（1）若∠B＝125°，∠BAC＝25°，求∠E的度数；
（2）若⊙O的半径为6，且∠B＝2∠ADC，求AC的长．
【题型2】利用圆内接四边形的性质证明
【典型例题】如图，已知四边形内接于，点O在的内部，，，则下列结论正确的为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，四边形内接于，点E、F分别在AB和DC的延长线上，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，四边形内接于，连接，且平分，则错误的结论是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知：点在上，，下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确命题的代号是 ．

【举一反三4】如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列结论：①平分；②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则，其中一定正确的是 （填序号）．
【举一反三5】如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E.
求证：(1)∠EBC＝∠D；
(2)BC＝EC．

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