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3.7正多边形
【题型1】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 2
【题型2】求正多边形的中心角 3
【题型3】求正多边形的边数 5
【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 玉林模拟）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为（　　） A．B．C．D．
【题型1】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析
【典型例题】下列说法错误的是（ ）
A.正多边形每个内角都相等
B.正多边形都是轴对称图形
C.正多边形都是中心对称图形
D.正多边形的中心到各边的距离相等
【举一反三1】下列图形中属于正多边形的是（ ）
A.三角形 B.长方形 C.正方形 D.五边形
【举一反三2】下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A.正三角形 B.正四边形 C.正六边形 D.正八边形
【举一反三3】下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，是的直径，，，以为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（ ）
A.正七边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正十边形
【题型2】求正多边形的中心角
【典型例题】如图，点为正五边形的中心，若要将绕点旋转后得到，则以下旋转方式正确的是（ ）
A.按顺时针方向旋转
B.按顺时针方向旋转
C.按逆时针方向旋转
D.按逆时针方向旋转
【举一反三1】如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点O是正六边形的中心
B.正六边形的边长是2
C.正六边形的中心角是
D.正六边形的边心距
【举一反三2】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A.正四边形 B.正五边形 C.正六边形 D.正七边形
【举一反三3】如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点O是正六边形的中心
B.正六边形的边长是2
C.正六边形的中心角是
D.正六边形的边心距
【举一反三4】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ．
【举一反三5】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【举一反三6】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ．
【举一反三7】要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为 .
【题型3】求正多边形的边数
【典型例题】一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）
A.4 B.5 C.6 D.8
【举一反三1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
【举一反三2】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【举一反三3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【举一反三4】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
【举一反三5】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【举一反三6】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、．
（1）的度数为 ．
（2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【举一反三7】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【举一反三8】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．3.7正多边形
【题型1】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析 2
【题型2】求正多边形的中心角 5
【题型3】求正多边形的边数 11
【知识点1】正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 1.（2025 玉林模拟）如图，正五边形ABCDE的边长为2，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，则阴影部分的面积为（　　） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出∠A的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【解答】解：根据正多边形内角和公式可得：（5-2）×180°=540°，
∴正五边形每个内角度数为：，
∴，
故选：A．
【题型1】正多边形及圆内接正多边形的概念辨析
【典型例题】下列说法错误的是（ ）
A.正多边形每个内角都相等
B.正多边形都是轴对称图形
C.正多边形都是中心对称图形
D.正多边形的中心到各边的距离相等
【答案】C
【解析】A、正多边形每个内角都相等，根据正多边形的定义得出此选项正确，不符合题意；
B、正多边形都是轴对称图形，根据正多边形的性质得出，此选项正确，不符合题意；
C、正多边形都是中心对称图形，当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形，故此选项错误，符合题意；
D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，此选项正确，不符合题意．
故选C．
【举一反三1】下列图形中属于正多边形的是（ ）
A.三角形 B.长方形 C.正方形 D.五边形
【答案】C
【解析】因为正方形四个角相等，四条边都相等，
故三角形，长方形，正方形，五边形中属于正多边形的只有正方形．
故选：C．
【举一反三2】下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A.正三角形 B.正四边形 C.正六边形 D.正八边形
【答案】B
【解析】正n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，则它的内角是等于，n边形的中心角等于，根据中心角等于内角得：=，
解得：n=4，即这个多边形是正四边形．
故选B．
【举一反三3】下列正多边形中，一个内角为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、正方形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
B、正五边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
C、正六边形的一个外角为，所以其内角为，故符合题意；
D、正八边形的一个外角为，所以其内角为，故不符合题意；
故选C．
【举一反三4】如图，是的直径，，，以为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（ ）
A.正七边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正十边形
【答案】C
【解析】连接QO，PO，如图所示，
∵QO=PO，
∴∠OPQ=∠OQP，
∵∠PMQ=50°，
∴∠POQ=100°，
∴∠OPQ+∠OQP=180°-100°=80°，
∴∠OPQ=∠OQP=40°，
∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°，
∵PO=OM，
∴△POM是等边三角形，
∴PM=OP=OM，
∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．
故选C．
【题型2】求正多边形的中心角
【典型例题】如图，点为正五边形的中心，若要将绕点旋转后得到，则以下旋转方式正确的是（ ）
A.按顺时针方向旋转
B.按顺时针方向旋转
C.按逆时针方向旋转
D.按逆时针方向旋转
【答案】C
【解析】正五边形的中心角为，
如果按顺时针方向旋转，到旋转的角度为，
如果按逆时针方向旋转，到旋转的角度为，
故选：．
【举一反三1】如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点O是正六边形的中心
B.正六边形的边长是2
C.正六边形的中心角是
D.正六边形的边心距
【答案】D
【解析】∵是正六边形的外接圆，
∴点O是正六边形的中心，故选项A正确，不符合题意；
连接，如图，
∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的边长是2，故选项B正确，不符合题意；
∴正六边形的中心角是，故选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项D错误，符合题意；
故选：D．
【举一反三2】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（ ）
A.正四边形 B.正五边形 C.正六边形 D.正七边形
【答案】C
【解析】设多边形的边数是n．
则每个内角是，中心角是．
根据题意得：＝2×，
解得：n＝6．
故选：C．
【举一反三3】如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点O是正六边形的中心
B.正六边形的边长是2
C.正六边形的中心角是
D.正六边形的边心距
【答案】D
【解析】∵是正六边形的外接圆，
∴点O是正六边形的中心，故选项A正确，不符合题意；
连接，如图，
∵正六边形内接于，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的边长是2，故选项B正确，不符合题意；
∴正六边形的中心角是，故选项C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴选项D错误，符合题意；
故选：D．
【举一反三4】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ．
【答案】
【解析】连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，，
∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴的度数为84°.
【举一反三5】如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为 度．
【答案】12
【解析】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【举一反三6】如图，在⊙的内接四边形中，，，点在弧上．若恰好为⊙的内接正十边形的一边，弧的度数为 ．
【答案】
【解析】连接，，，，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，，
∵恰好是⊙的内接正十边形的一边，
∴，
∴，
∴的度数为84°.
【举一反三7】要使正十二边形旋转后与自身重合，至少应将它绕中心旋转的度数为 .
【答案】
【解析】，
故答案为：．
【题型3】求正多边形的边数
【典型例题】一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（　　）
A.4 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【解析】如图，由题意得：，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为，
故选：C．
【举一反三1】一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是( )
A.14 B.18 C.16 D.20
【答案】D
【解析】∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为，
∴该正多边形的边数为：，故D正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】连接，
∵是内接正六边形的一边，
∴，
∵是内接正八边形的一边，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三3】如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（ ）
A.12 B.16 C.20 D.24
【答案】D
【解析】连接，
∵是内接正六边形的一边，
∴，
∵是内接正八边形的一边，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【举一反三4】如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　）
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】D
【解析】如图，连接，
四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
【举一反三5】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【答案】10
【解析】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，
∴ n的值为：，
故答案为：10.
【举一反三6】如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、．
（1）的度数为 ．
（2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ．
【答案】（1）120°
（2）12
【解析】（1）连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴；
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三7】一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为 ．
【答案】10
【解析】∵一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，
∴ n的值为：，
故答案为：10.
【举一反三8】如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 ．
【答案】5
【解析】中心角的度数=，
，
，
故答案为：5．

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