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3.8弧长及扇形的面积
【题型1】求弧长 4
【题型2】求弧长中的规律问题 9
【题型3】求某点的弧形运动路径长度 16
【题型4】求圆心角 21
【题型5】计算图形中扇形的面积 25
【题型6】计算线段、图形扫过的面积 29
【题型7】计算弓形的面积 33
【题型8】计算扇形中不规则图形的面积 37
【题型9】圆与反比例函数综合 43
【题型10】圆与二次函数综合 49
【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 1.（2024秋 庄浪县期末）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（　　） A．10πB．15πC．20πD．25π
【答案】A 【分析】弧长公式：l=（弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r），由此即可计算． 【解答】解：扇形的弧长==10π．
故选：A． 【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1.（2025 南岗区校级开学）下列说法正确的个数有（　　）
①千克就是80%千克；
②圆心角为120°的扇形面积相等；
③3：5的前项加6，后项加10，比值不变．
④圆是轴对称图形，它的对称轴是它的任意一条直径；
⑤一个数除以假分数，商一定小于被除数． A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A 【分析】根据分数与百分数的应用，圆的基本性质，比的基本性质等这些基础知识点依次判断即可，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 【解答】解：千克就是80%千克，错误，不能用百分数，
故①错误，不符合题意；
圆心角为120°的扇形面积不一定相等，当半径不同时，面积不同，
故②错误，不符合题意；
3：5的前项加6，后项加10，变为9：15=3：5，比值不变，
故③正确，符合题意．
圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条直径所在的直线，
故④错误，不符合题意；
一个数除以假分数，商一定小于或等于被除数，
故⑤错误，不符合题意．
故选：A． 2.（2025 榆次区一模）如图，菱形ABCD的边长为8，∠B=120°，点E是边AB的中点，以点D为圆心，DE的长为半径作弧，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】连接BD，DF，根据菱形的性质易得到△ABD是等边三角形，利用等边三角形的性质求出∠ADE=∠DEB=30°，同理求出∠CDF=∠FDB=30°，进而得到∠EDF的度数，用勾股定理求出DE，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可． 【解答】解：连接BD，DF，如图，
∵四边形ABCD是菱形，边长为8，∠B=120°，
∴AB=AD=8，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=4，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠DEB=90°-60°=30°．
同理可得CF=BF=4，DF⊥BC，
∴∠CDF=∠FDB=30°，
∴∠EDF=60°，
由勾股定理得，
∴S阴影=S△BED+S△BFD-S扇形DEF
=
=．
故选：D．
【题型1】求弧长
【典型例题】如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，
则，
∵，，
，
，
则的长为，
故选：C．
【举一反三1】如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线的长是（　　）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵有一边长为的等边三角形木块，
∴，,
∴,
∵，
∴，
∴点P运动的路线长为三段弧长，每段弧的圆心角都是，半径依次是、、，
∴曲线的长是 cm．
故选：C．
【举一反三2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，

∵在中，，，，
，，
由作图可知，，
是等边三角形，
，
∴弧的长为，
故选：C．
【举一反三3】如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 ．（结果保留）
【答案】
【解析】根据题意，砝码提起的长度为：，
故答案为：．
【举一反三4】如图，是正方形和正六边形的外接圆，的直径为12，则的长为 ．
【答案】
【解析】连接，，，如图所示，
四边形为正方形，多边形为正六边形，
，，
，
的长为．
故答案为：．
【举一反三5】如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
【答案】解：（1）∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
【举一反三6】如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆．
(1)求的度数；
(2)求的长度．
【答案】解：（1）∵五边形是正五边形，
∴,
∵,
∴；
（2）∵正五边形的边长为6，,
∴．
【题型2】求弧长中的规律问题
【典型例题】如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为四边形是正方形，且，
所以为圆心的圆的半径为1，
则；
同理可得，
；
；
；
，
依次类推， (为大于1的正整数)，
．
故选：A．
【举一反三1】如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，…．当时，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得： ，
，
π，
，
按照这种规律可以得到：，
所以．
故选：C．
【举一反三2】如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】点，，
，，，
的长度，
将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，
的长度，
点，点，点，点，，
，
的．
故选：C．
【举一反三3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三角形是等边三角形，边长为1,
，,
第一段圆弧圆心角：，
第二段圆弧圆心角：，
以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），
,
,
以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，
所以蚊香的长度为，
故选：B．
【举一反三4】如图，将一个半径为1 cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，圆心滚动一周路径为长为，
∴滚动2020周后圆心所经过的路径长，
故选：D．
【举一反三5】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为 ．
【答案】
【解析】∵斐波那契数列为1，1，2，3，5，…
则第6步半径为；
第7步半径为；
第8步半径为；
∴第8步所画扇形的弧长，
故答案为：．
【举一反三6】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为 ．
【答案】
【解析】∵斐波那契数列为1，1，2，3，5，…
则第6步半径为；
第7步半径为；
第8步半径为；
∴第8步所画扇形的弧长，
故答案为：．
【举一反三7】如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长 ．
【答案】
【解析】连接，，，，…，如图所示：
∵是上的点，
∴，
∵直线解析式为，
∴，
∴为等腰直角三角形，即轴，
同理，垂直于轴，
∴的长为圆的周长，
∵以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以为圆心，为半径画圆，交x轴正半轴于点，以此类推，
∴，
∴，
∴时，的长为，
故答案为：．
【题型3】求某点的弧形运动路径长度
【典型例题】如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点A运动到点时，点的运动路径长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，取的中点O，连接、相交于点H，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴点G在以O为圆心2为半径的圆上运动，
当点E与点A重合时，点G与点H重合；当点E与点B重合时，点G与点B重合，
∴点G在以O为圆心2为半径的圆弧上运动，
∵O、H分别为、的中点，
∴，
∴，
∴,
∴．
故选：A．
【举一反三1】已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ）
A.6 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
当旋转到与地面垂直时，旋转角度为，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；扇形工件继续旋转时，点O的路径是一条线段，直至垂直地面，其长度是扇形工件的弧长；扇形工件继续绕A旋转，直到点A落地，此时点O的路径是半径为3且圆心角为的弧；
∴圆心O所经过的路线长为：；
故选：C．
【举一反三2】如图，在菱形中，，AB=6，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点A运动到点时，点的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，取BC的中点O，连接OF．
∵∠CFB=90°，
∴点F的运动轨迹是以BC为直径的，圆弧BM，
当点E与A重合时，点F与AC中点M重合，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形,
∴∠BCM=60°，
∵OM=OC=OB==3，
∴△OMC是等边三角形，
∴∠MOC=60°，
∴∠BOM=120°，
弧BM=，
故选：C.
【举一反三3】如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为 ．
【答案】
【解析】如图：作过A、B、F作⊙O,过O作OG⊥AB,
∵等边,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°,
∵,
∴△BCE≌△ABC,
∴∠BAD=∠CBE,
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°,
∴∠ABE+∠BAD=60°,
∴∠AFB=120°,
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角,
∴∠AOB=120°,
∵OG⊥AB,OA=OB,
∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°,BG=AB=,
∴∠OBG=30°,
设OB=x，则OG=x,
∴，解得x=或x=-（舍）,
∴的长度为．
故答案为：．
【举一反三4】如图，等腰梯形的腰长，正方形的边长为1，它的一边在上，且顶点A与M重合．现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，则正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长为 ．
【答案】
【解析】作图如图；
∵点A绕点D翻滚，然后绕点C翻滚，半径分别为1、，翻转角分别为、，
，
故答案为：．
【举一反三5】如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．

(1)作图：作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)已知，求点所经过的路径长．
【答案】解：（1）如图所示；
（2）在中，，
∵，
∴，

取的中点D，连接，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点B所经过的路径长．
【题型4】求圆心角
【典型例题】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】滑轮的直径是，
滑轮的半径是，
设旋转的角度是，
由题意得：，
解得：，
滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为，
故选：B．
【举一反三1】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）

A.（）° B.（）° C.（）° D.（）°
【答案】D
【解析】设∠ABC的度数大小由60变为n，
则AC=，由AC=AB，
解得n=,
故选D．
【举一反三2】A，B是⊙O上的两点，OA＝1，的长是，则∠AOB的度数是（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【答案】B
【解析】∵OA=1, 的长是π，
∴nπ×=π，
解得：n=60°，
∴∠AOB=60°.
故答案选：B.
【举一反三3】弧长等于半径的圆弧所对的圆心角为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设半径为r，圆心角为，由题意得，，
∴．
故选:B．
【举一反三4】如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品A被传送，则为（ ）
A.90 B.108 C.120 D.无法判断
【答案】B
【解析】，
解得．
故选：B．
【举一反三5】 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1 cm和10 cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【答案】108
【解析】根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：108.
【举一反三6】 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1 cm和10 cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【答案】108
【解析】根据题意得：点P移动的距离为，
∴，
解得：．
故答案为：108.
【举一反三7】在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 ．
【答案】
【解析】根据弧长的公式，
得到：，
解得，
故圆周角为,
故答案为：．
【题型5】计算图形中扇形的面积
【典型例题】如图，内接于半径为6的中、作的直径，若，连接，则图中扇形的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【举一反三1】图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵四边形中，，，
∴，
∵车轮的直径为24英寸，约，
∴需要的铁皮面积约是，
故选A．
【举一反三2】在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】正五边形的内角为：，
∴阴影部分的扇形圆心角的和为：，
∴阴影部分面积为：，
故选：C．
【举一反三3】如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【解析】∵正五边形的外角和为，
∴每一个外角的度数为，
∴正五边形的每个内角为，
∵正五边形的边长为，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，，，点E为的中点，以E为圆心，线段的长为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【解析】∵，，
∴，
又∵，点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
【举一反三5】如图A、B、C三点在半径为1的上，四边形是菱形．求阴影部分的面积．（结果保留π）
【答案】解：如图，连接和交于点D，
∵圆的半径为1，
∴，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴为等边三角形,
∴，
∴，
∴S扇形AOC=.
【举一反三6】如图，在中，，，，求扇形的面积？
【答案】解：,
扇形的面积
故扇形的面积为：．
【题型6】计算线段、图形扫过的面积
【典型例题】如图，按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，边在x轴上，，，把绕点A按顺时针方向转到，使得点的坐标是，则在这次旋转过程中线段扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过作于M，则，
∵点的坐标是，
∴，，
∵，
∴，
由旋转的性质得，
∴，
∴，
∴，即旋转角为，
∴．
∵把绕点A按顺时针方向旋转到，
∴，
∴阴影部分的面积：
．
故选：B．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点旋转，则线段所扫过的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.11
【答案】A
【解析】，根据勾股定理得，
，，
线段所扫过的区域的面积为：，
故选A．
【举一反三2】如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.12π B.24π C.6π D.36π
【答案】B
【解析】∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，
∴图中阴影部分的面积是：
S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O==24π．
故选B．
【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，AB＝1，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，则线段AC扫过的面积为（　　）
A.π B.π C.π D.π
【答案】C
【解析】∵正方形ABCD中，AB＝BC＝1，∠B＝90°，
∴AC＝，
∵正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，
∴∠CAC′＝60°，
∴线段AC扫过的面积为扇形CAC′的面积：．
故选C．
【举一反三4】如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】5π
【解析】∵△AOC≌△BOD，
∴阴影部分的面积=扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积5π．
故答案为5π．
【举一反三5】时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是 平方厘米．
【答案】
【解析】∵分针扫过的图形是扇形，扇形的圆心角是，半径是6 cm，
∴分针扫过的面积（平方厘米）．
故答案为：．
【举一反三6】将如图放置在直角坐标系中，并绕点顺时针旋转至的位置，已知，．则旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
【答案】
【解析】旋转过程中所扫过的图形如下图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
则旋转过程中所扫过的图形的面积:
，
故答案为：．
【题型7】计算弓形的面积
【典型例题】如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，，，
弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积
，
故选：A．
【举一反三1】如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，，如图，
∵是直径，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠C＝150°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π﹣
【解析】连接OE，作OH⊥BE于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝180°﹣∠C＝30°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE＝30°，
∴OH＝OB＝1，∠BOE＝120°，
由勾股定理得，BH＝＝，
∴阴影部分的面积＝﹣×2×1＝π﹣，
故答案为π﹣．
【举一反三3】如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6 m，其中水面的高为3 m．则截面上有水面的面积是 m2．

【答案】（）
【解析】如图，连接,，过点O作，垂足为D，则，,
则中，,
∴，
∴，,
∴,
∴扇形面积=，,
水面面积=,

故答案为：（）.
【举一反三4】如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）∵弦绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）设的半径为，
由（1）知：是等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
解得：，
∴图中阴影部分的面积：
，
∴图中阴影部分的面积为．
【题型8】计算扇形中不规则图形的面积
【典型例题】如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，作于点D，
根据对称性可知，弓形与弓形面积相等，
∴阴影部分的面积的面积，
根据垂径定理，∴,
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴,
∵点O是的中点，
∴的面积是的面积一半，
∴的面积是：，
即阴影部分的面积是，
故选：C．

【举一反三1】如图，扇形圆心角为直角，，点在上，以，为邻边构造、边交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，
在中，，
∴，
，
故选：．
【举一反三2】如图所示，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为（ ）

A. B.8 C. D.
【答案】B
【解析】如图所示： 记为半圆的圆心，

在中，，，
则，
；
；
；
阴影部分的面积为，
故选B．
【举一反三3】如图，扇形圆心角为，半径为2．作半径的垂直平分线，分别交，，于点D，F，E，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）

【答案】
【解析】如图，连接，

垂直平分，
,
，
为等边三角形，
，
,
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【举一反三4】如图，菱形的顶点在扇形的弧上，、在弦上．
（1）求证：．
（2）已知扇形的半径为2，当时，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）∵四边形是菱形，
，
是菱形的对角线，
，
，即，
，
，
∴在和中，
，
，
；
（2）如图，连接与交于点，
则，，，
，
，
设，
则，
，
，
，解得，
，，
，
是等边三角形，
，
，
∵由（1）知，
，
，
．
【举一反三5】求下图阴影部分的面积．（单位：米．）
【答案】解：阴影部分面积为：（平方米）．
【题型9】圆与反比例函数综合
【典型例题】如图，有反比例函数，的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　）
A.π B.2π C.4π D.条件不足，无法求
【答案】B
【解析】根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，∵圆的半径是2，∴图中阴影部分的面积是．故选B．
【举一反三1】如图，原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为，则点C的横坐标为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】把代入，得，故A点坐标为．
∵A、C关于对称，
∴点C坐标为，
∴点C的横坐标为3．
故选：B.
【举一反三2】如图,点A在反比例函数上,以线段为直径的圆交该双曲线于点,交轴于点,若弧弧,则点A的坐标为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图：连接OC并延长OC，BA交点为D，作CE⊥OB，连接AC,
设A（a，b） 则ab＝2,
∵AB是直径,
∴∠ABO＝90°＝∠ACO,
∴AB＝a，OB＝b,
∴AO＝,
∵ABOC是圆的内接四边形,
∴∠BOC＝∠DAC,
∵,
∴∠BOC＝∠OAC,
∴∠OAC＝∠DAC，且AC＝AC，∠ACO＝∠ACD＝90°,
∴△AOC≌△ACD,
∴AO＝AD＝，OC＝CD,
∵CE⊥OB，,
∴OE＝BE＝，且OC＝CD,
∴EC∥BD，EC＝BD＝,
∵S△ABO＝S△EOC＝,
∴ab＝××（）,
解得3a＝,
∴b＝2且ab＝2,
∴a＝1，b＝2,
∴A，
故选B.

【举一反三3】如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°，所得的图象与原图象相交于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y＝（x＞0）的图象与点B，则扇形AOB的面积为 ．
【答案】π
【解析】如图，作AD⊥y轴于D，由题意∠AOD＝22.5°，
根据对称性可知，∠AOB＝90°﹣2×22.5°＝45°，
在OD上取一点F，使得OF＝FA，
∴∠FOA＝∠FAO＝22.5°，
∴∠AFD＝∠DAF＝45°，设DA＝DF＝a，则，A[a，（1+）a]，
∵点A在上，
∴（）a2＝2，
∴,
∵OA2＝a2+（1+）2a2＝（4+2）a2，
∴扇形AOB的面积＝＝π．
故答案为:π．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是 ．
【答案】25
【解析】设点，
反比例函数的图象与半径为10的交于两点，
所以两点关于直线对称，
，
的半径为10，
，
，即，
，
是等边三角形，
，
，即，
化简得：，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
故答案为：25.
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值．
(2)求正方形的边长．
(3)请直接写出图中阴影部分的面积．（结果保留）
【答案】解：（1）∵四边形是正方形，边长为4，
∴点．
将点代入到中，得:，解得∶．
（2）设正方形的边长为m，则点D的坐标为．
又∵点D在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去），
∴正方形的边长为；
（3）由（2）正方形的边长为，
∴，
∴阴影部分的面积
．
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中有一个任意锐角，其中在轴上，在第一象限，且与函数的图象相交于点，以点为圆心、以的长度为半径的圆与点右方的函数图象相交于点，过点分别平行轴、轴的直线相交于点，、相交于点，过点、分别平行轴、轴的直线相交于点．求证：．
【答案】解：设点、，
则点的坐标为，
直线的解析式为，
而点的坐标为，满足，
点在直线上，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
而，，
，
，即：．
【题型10】圆与二次函数综合
【典型例题】已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】抛物线的图象与x轴交于点、，
设抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为，
,以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，
，
解得，
故选：A.
【举一反三1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段的最小值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，连接，交于，连接，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标坐标为：，即，
∵当时，
解得：，，
∴，，
∴，
∴为的中点，而为的中点，
∴，
∴在以为圆心，半径为1的半圆周上运动，
当A，，三点共线时，最短，
此时，
∴的最小值为：，
故选C．
【举一反三2】如图，抛物线通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点和，它的顶点为A，以点O为圆心，长为半径作圆，在第四象限内与抛物线交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【解析】∵抛物线m经过点和，∴抛物线m的对称轴为直线，∵抛物线通过平移得到抛物线m，∴设抛物线m的解析式为，将代入，得，解得，∴抛物线m的解析式为，顶点A的坐标为，连接、，如解图，由勾股定理得.由圆的对称性或垂径定理，可知点C的坐标为，∴阴影部分的面积=半圆的面积的面积.

【举一反三3】如图，经过抛物线y＝x2+x﹣2与坐标轴交点的圆与抛物线另交于点D，与y轴另交于点E，则∠BED＝ ．
【答案】45°
【解析】连接AD，作DM⊥AB于M，
在抛物线y＝x2+x﹣2中，令y＝0，则x2+x﹣2＝0，解得x＝﹣2或x＝1，
∴A（1，0），B（﹣2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∴D（﹣1，﹣2），
∴M（﹣1，0），
∵DM＝2，AM＝2，
∴∠BAD＝∠ADM＝45°，
∵∠BED＝∠BAD，
∴∠BED＝45°．
故答案为45°．
【举一反三4】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．
(1)求抛物线解析式和弧所在的半径；
(2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度；
(3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？
【答案】解：（1）由题意知抛物线的顶点为，且过，，
设抛物线解析式为：，
，解得：，
抛物线解析式为：，
如图：圆心为，连接，
设，则，
，
，
在中，，
由勾股定理可得：，
，
解得：，
的半径为；
（2）锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高，
加水后水面水的最大深度为，
水面距锅沿的竖直高度为，
当时，，
解得，
水面宽度为；
（3）对于抛物线，如图所示：
当时，，
；
对于，如图所示：
当时，，
，
，
，
，
，
，
，
为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个．
【举一反三5】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+m的图象经过点P（4，5），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且S△PAB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点Q使得△PAQ和△PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形PACD的周长．
【答案】解：（1）y＝ax2﹣2ax+m，函数的对称轴为：x＝1，
S△PAB＝10＝×AB×yP＝AB×5，解得：AB＝4，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将点P的坐标代入上式并解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）①当A、B在点Q（Q′）的同侧时，如图1，
△PAQ′和△PBQ′的面积相等，则点P、Q′关于对称轴对称，
故点Q′（﹣2，5）；
②当A、B在点Q的两侧时，如图1，
设PQ交x轴于点E，分别过点A、B作PQ的垂线交于点M、N，
△PAQ和△PBQ的面积相等，则AM＝BN，
而∠BEN＝∠AEM，∠AME＝∠BNE＝90°，
∴△AME≌△BNE（AAS），
∴AE＝BE，
即点E是AB的中点，则点E（1，0），
将点P、E的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线PQ的表达式为：y＝x﹣…②，
联立①②并解得：x＝﹣或4（舍去4），
故点Q（﹣，﹣），
综上，点Q的坐标为：（﹣2，5）或（﹣，﹣）；
（3）过点P作PO′⊥x轴于点O′，则点O′（4，0），则AO′＝PO′＝5，而CO′＝5，
故圆O′是过A、P、C三点的圆，
设点D（m，m2﹣2m﹣3），点O′（4，0），则DO′＝5，
即（m﹣4）2+（m2﹣2m﹣3）2＝25，
化简得：m（m+1）（m﹣1）（m﹣4）＝0，
解得：m＝0或﹣1或1或4（舍去0，﹣1，4），
故：m＝1，
故点D（1，﹣4）；
四边形PACD的周长＝PA+AC+CD+PD＝．3.8弧长及扇形的面积
【题型1】求弧长 3
【题型2】求弧长中的规律问题 5
【题型3】求某点的弧形运动路径长度 8
【题型4】求圆心角 9
【题型5】计算图形中扇形的面积 11
【题型6】计算线段、图形扫过的面积 13
【题型7】计算弓形的面积 15
【题型8】计算扇形中不规则图形的面积 16
【题型9】圆与反比例函数综合 18
【题型10】圆与二次函数综合 20
【知识点1】弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR
（2）弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．
③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．
④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 1.（2024秋 庄浪县期末）圆心角是90°，半径为20的扇形的弧长为（　　） A．10πB．15πC．20πD．25π
【知识点2】扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S=πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形=πR2或S扇形=lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 1.（2025 南岗区校级开学）下列说法正确的个数有（　　）
①千克就是80%千克；
②圆心角为120°的扇形面积相等；
③3：5的前项加6，后项加10，比值不变．
④圆是轴对称图形，它的对称轴是它的任意一条直径；
⑤一个数除以假分数，商一定小于被除数． A．1个B．2个C．3个D．4个
2.（2025 榆次区一模）如图，菱形ABCD的边长为8，∠B=120°，点E是边AB的中点，以点D为圆心，DE的长为半径作弧，交边BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A．B．C．D．
【题型1】求弧长
【典型例题】如图，AB是的直径，CD是弦，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图所示，有一边长为的等边三角形木块，点P是的延长线上的点，为，其中，，的圆心依次为A，B，C，则曲线的长是（　　）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了 ．（结果保留）
【举一反三4】如图，是正方形和正六边形的外接圆，的直径为12，则的长为 ．
【举一反三5】如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
【举一反三6】如图，正五边形的边长为6，以点B为圆心，线段为半径画圆．
(1)求的度数；
(2)求的长度．
【题型2】求弧长中的规律问题
【典型例题】如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中的圆心依次按，循环，当时，弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，六边形是正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，…．当时，等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关．如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧…以此类推，当得到的“蚊香”恰好有12段圆弧时，“蚊香”的长度为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，将一个半径为1 cm的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2020周后圆心所经过的路径长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三5】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为 ．
【举一反三6】斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以1，1，2，3，5，…为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为 ．
【举一反三7】如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；以为圆心，为半径画圆，交直线l于点，交x轴正半轴于点；…按此做法进行下去，其中的长 ．
【题型3】求某点的弧形运动路径长度
【典型例题】如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点A运动到点时，点的运动路径长是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ）
A.6 B. C. D.
【举一反三2】如图，在菱形中，，AB=6，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点A运动到点时，点的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，等边中，，点，点分别是边，上的动点，且，连接、交于点，当点从点运动到点时，则点的运动路径的长度为 ．
【举一反三4】如图，等腰梯形的腰长，正方形的边长为1，它的一边在上，且顶点A与M重合．现将正方形在梯形的外面沿边进行翻滚，翻滚到有一个顶点与N重合即停止滚动，则正方形在翻滚过程中点A所经过的路线长为 ．
【举一反三5】如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在边上．

(1)作图：作出（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)已知，求点所经过的路径长．
【题型4】求圆心角
【典型例题】一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的直径是，当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，将等边△ABC的边AC逐渐变成以B为圆心、BA为半径的，长度不变，AB、BC的长度也不变，则∠ABC的度数大小由60°变为（ ）

A.（）° B.（）° C.（）° D.（）°
【举一反三2】A，B是⊙O上的两点，OA＝1，的长是，则∠AOB的度数是（　　）
A.30° B.60° C.90° D.120°
【举一反三3】弧长等于半径的圆弧所对的圆心角为(　　)
A. B. C. D.
【举一反三4】如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品A被传送，则为（ ）
A.90 B.108 C.120 D.无法判断
【举一反三5】 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1 cm和10 cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【举一反三6】 “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1 cm和10 cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ．
【举一反三7】在半径为的圆上有一段弧，弧长是，则该弧所对的圆周角的度数为 ．
【题型5】计算图形中扇形的面积
【典型例题】如图，内接于半径为6的中、作的直径，若，连接，则图中扇形的面积是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三1】图是型号为24英寸（车轮的直径为24英寸，约）的自行车，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以，为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，量出四边形中，，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】在学习了圆后，数学兴趣小组的同学开始了对正五边形拼接的图案设计，小明将有公共顶点O的两个边长为4的正五边形（不重叠），以点O为圆心，4为半径作弧，构成一个“盛装芭蕾”形图案（阴影部分），则这个“盛装芭蕾”形图案的面积为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，正五边形的边长为2，以顶点A为圆心，长为半径画圆，图中阴影部分的面积为 ．

【举一反三4】如图，在中，，，，点E为的中点，以E为圆心，线段的长为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为 ．

【举一反三5】如图A、B、C三点在半径为1的上，四边形是菱形．求阴影部分的面积．（结果保留π）
【举一反三6】如图，在中，，，，求扇形的面积？
【题型6】计算线段、图形扫过的面积
【典型例题】如图，按顺时针方向旋转，点O在坐标原点上，边在x轴上，，，把绕点A按顺时针方向转到，使得点的坐标是，则在这次旋转过程中线段扫过部分（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在平面直角坐标系中，已知点，将线段绕原点旋转，则线段所扫过的区域的面积为（ ）
A. B. C. D.11
【举一反三2】如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.12π B.24π C.6π D.36π
【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，AB＝1，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转60°，得正方形AB′C′D′，则线段AC扫过的面积为（　　）
A.π B.π C.π D.π
【举一反三4】如图，将三角形AOC绕点O顺时针旋转120°得三角形BOD，已知OA=4，OC=1，那么图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【举一反三5】时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是 平方厘米．
【举一反三6】将如图放置在直角坐标系中，并绕点顺时针旋转至的位置，已知，．则旋转过程中所扫过的图形的面积为 ．
【题型7】计算弓形的面积
【典型例题】如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，是的直径，是的弦，连接，，若直径，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠C＝150°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为 ．
【举一反三3】如图所示，水平放置的圆柱形进水管道的截面半径为6 m，其中水面的高为3 m．则截面上有水面的面积是 m2．

【举一反三4】如图，是的直径，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．

(1)证明：；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
【题型8】计算扇形中不规则图形的面积
【典型例题】如图，是的直径，点C为上一点，将沿翻折得到的弧恰好经过圆心O，连接，若，则图中阴影部分的面积为( )

A. B. C. D.
【举一反三1】如图，扇形圆心角为直角，，点在上，以，为邻边构造、边交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图所示，在中，，，以点A为圆心，以的长为半径作，以为直径作半圆，则阴影部分的面积为（ ）

A. B.8 C. D.
【举一反三3】如图，扇形圆心角为，半径为2．作半径的垂直平分线，分别交，，于点D，F，E，则阴影部分的面积为 ．（结果保留）

【举一反三4】如图，菱形的顶点在扇形的弧上，、在弦上．
（1）求证：．
（2）已知扇形的半径为2，当时，求图中阴影部分的面积．
【举一反三5】求下图阴影部分的面积．（单位：米．）
【题型9】圆与反比例函数综合
【典型例题】如图，有反比例函数，的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（　　）
A.π B.2π C.4π D.条件不足，无法求
【举一反三1】如图，原点为圆心的圆与反比例函数的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为，则点C的横坐标为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三2】如图,点A在反比例函数上,以线段为直径的圆交该双曲线于点,交轴于点,若弧弧,则点A的坐标为( )

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知反比例函数y＝（x＞0）的图象绕原点O逆时针旋转45°，所得的图象与原图象相交于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y＝（x＞0）的图象与点B，则扇形AOB的面积为 ．
【举一反三4】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与半径为10的交于两点，若，则k的值是 ．
【举一反三5】如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点A为顶点，作边长为4的正方形，点B、C分别在y轴和x轴上，反比例函数图象上另一点D向右作正方形，以点C为圆心，长为半径作，连接．
(1)求k的值．
(2)求正方形的边长．
(3)请直接写出图中阴影部分的面积．（结果保留）
【举一反三6】如图，在平面直角坐标系中有一个任意锐角，其中在轴上，在第一象限，且与函数的图象相交于点，以点为圆心、以的长度为半径的圆与点右方的函数图象相交于点，过点分别平行轴、轴的直线相交于点，、相交于点，过点、分别平行轴、轴的直线相交于点．求证：．
【题型10】圆与二次函数综合
【典型例题】已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点F，当点E沿着半圆从点A运动至点B的过程中，线段的最小值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，抛物线通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点和，它的顶点为A，以点O为圆心，长为半径作圆，在第四象限内与抛物线交于点C，连接，则图中阴影部分的面积为 ．

【举一反三3】如图，经过抛物线y＝x2+x﹣2与坐标轴交点的圆与抛物线另交于点D，与y轴另交于点E，则∠BED＝ ．
【举一反三4】民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段拋物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．
(1)求抛物线解析式和弧所在的半径；
(2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度；
(3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？
【举一反三5】如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+m的图象经过点P（4，5），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且S△PAB＝10．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点Q使得△PAQ和△PBQ的面积相等？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过A、P、C三点的圆与抛物线交于另一点D，求出D点坐标及四边形PACD的周长．

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