资源简介

从函数观点看一元二次方程
【教学目标】
1.理解函数零点概念，掌握一元二次方程的根的个数与其所对应一元二次函数零点之间的关系.
2.经历探索“一元二次方程与其所对应一元二次函数之间的关系”的过程，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养从具体到抽象、从特殊到一般的归纳概括能力；让学生体会方程与函数之间的联系，实现从感性认识到理性的认知过程；通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学模型的思想.
3.通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神.培养与他人交流、合作的意识.
【教学重点】一元二次方程的根与对应一元二次函数零点之间的关系.
【教学难点】探索方程与函数之间关系的过程，从函数的观点来看方程，理解函数与方程之间的联系.
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.
【教学手段】计算机、投影仪.
【核心素养】数学运算，数学抽象，逻辑推理.
【教学过程】
一、课前任务
课前思考任务：
问题1：如何探究一元二次方程的根与其对应的一元二次函数与x轴交点横坐标之间的关系？
引导学生思考，先研究具体问题，再扩展到一般性证明.而每种证明又可以从三种情况分别讨论.
【设计意图】课前提出本节课主要研究的问题，激发学生思考，提高学习兴趣.
二、创设情景
1.探究具体的一元二次方程的根与其对应一元二次函数的零点之间的关系.
问题2：x2－4x+3＝0有根吗？若有，根是多少？一元二次函数y=x2－4x+3图象与x轴有交点吗？若有，交点横坐标是多少？
【预案】方程x2－4x+3＝0有两个不相等的实数根，分别是1、3；函数y＝x2－4x+3的图象与x轴有两个交点，分别是（1，0）、（3，0），其横坐标分别为1、3.
问题3：观察方程x2－4x+3＝0的根与对应一元二次函数y=x2－4x+3图象与x轴交点横坐标，你发现它们之间都有哪些关系？
【预案】引导学生从个数及大小关系两方面比较分析.
（1）从个数上来看，方程x2－4x+3＝0有两个不相等的实数根，一元二次函数y=x2－4x+3与x轴有两个交点。所以方程的根的个数与对应函数的图象与x轴交点个数相同.
（2）从大小关系上来看，方程的根与对应函数的图象与x轴的交点横坐标相等.
【设计意图】以一个具体的的一元二次方程x2－4x+3＝0及其所对应的一元二次函数y＝x2－4x+3为切入点，学生初步探究一元二次方程的根与其对应一元二次函数的零点在个数与数量上有什么关系.通过具体的求算过程，获得一元二次方程实数根与对应二次函数零点之间关系的初步感性认识。
三、归纳探索
问题4：为什么方程x2－4x+3＝0的根与对应一元二次函数y=x2－4x+3的图象与x轴交点之间有上述关系？根据自己的理解解释一下？
【设计意图】激发学生进一步思考：为何方程的根与其对应函数的零点在个数与数量上有上述关系？引导学生追因溯源，加深对一元二次方程实数根与对应二次函数零点之间关系的认识.
问题5：观察方程x2－4x+3＝0与相应函数y=x2－4x+3在形式上有什么联系？并据此解释为什么方程x2－4x+3＝0的根与对应一元二次函数y=x2－4x+3的图象与x轴交点之间有上述关系？
【预案】方程x2－4x+3＝0就是函数y=x2－4x+3当函数值y＝0时的表达式.
y＝0即为x轴.
【设计意图】引导学生从联系的观点上看问题.观察具体的一元二次方程与其对应二次函数形式上的联系，训练学生的观察能力.可以发现方程x2－4x+3＝0就是函数y=x2－4x+3当函数值y＝0时的表达式.从具体的例子中理解二次方程实数根与其对应二次函数零点相等的原因，为后续一般性探究做准备.
初步提出零点的概念：1，3是二次函数y=x2－4x+3的两个零点.
提出零点的概念: 我们把二次函数与x轴交点的横坐标叫作二次函数的零点.
【设计意图】适时地提出概念，让学生理解概念产生的合理性.
问题6：只计算方程＝0（＝0）的根的情况，能否直接说出其所对应的二次函数y=（y=）零点的情况？依据是什么？并计算验证。
【预案】（1）对于方程因为，所以方程有两个相等的实数根.所以其所对应的二次函数图象与x轴有唯一交点（2，0），函数有唯一零点2.判断依据是：求方程的根与求其所对应的函数的零点所要解的是同一个方程.所以当时，方程根的情况与其对应的函数与x轴交点情况是相同的.
（2）对于二次方程，所以方程没有实数根.所以其所对应的二次函数图象与x轴没有交点.判断依据是：求方程的根与求其所对应的函数的零点所要解的是同一个方程.所以当时，方程根的情况与其对应的函数与x轴交点情况是相同的.
【设计意图】研究完时方程的根与函数的零点之间的关系，还要再从两种情形进一步探讨方程的根与函数的零点之间的关系，培养学生思维的严谨性.此外，让学生在具体计算过程中进一步认识并理解一元二次方程的根与对应一元二次函数零点之间的关系.为下面一般性探究做准备.
2.探究一般的一元二次方程的根与对应一元二次函数的零点之间关系.
问题7：一般的一元二次方程的根与对应一元二次函数的零点之间有什么关系？说明理由.
【预案】学生不难对两者之间的关系做出猜想，困难的是在于学生可能一时不知道从何下手给出严格的证明.当学生问题解决陷入困顿之时，教师引导学生回顾前面对三个具体问题的探讨，并从中找到一般性情况的研究思路及研究方法.
教师引导学生分析，要求二次函数的零点，即令y=0，得到，再解即可.所以求函数的零点与求方程的根所要解的是同一个方程.所以可以知道：一元二次方程根的情况与其对应二次函数零点的情况是相同的.但在表述方程的根与其对应函数零点之间关系时需要根据一元二次方程，分三种情况分别阐述.
【设计意图】从具体出发再推广到一般，在具体问题的探究过程中找到一般性情况的研究思路及研究方法，最后通过严谨的论证得到相应的结论.教师带领学生经历从特殊到一般的数学研究方法，使其“知其然，并知其所以然”，培养学生学习能力、分类讨论思想意识.最终获得一元二次方程实数根与对应二次函数零点之间关系的理性认识.
问题8：你能总结对于一般的一元二次方程的根与其所对应的二次函数零点之间的关系吗
学生交流在本节课学习中的体会、收获、交流学习过程中的体验和感受，师生共同合作完成以下小结：
一般的一元二次方程及对应的二次函数，设判别式=，则有：
（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，，对应二次函数的图象与x轴有两个交点（），（）；
（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根=，对应二次函数的图象与x轴有唯一的交点（）.
（3）当时，一元二次方程没有实数根，对应二次函数的图象与x轴没有交点.
问题9：根据上述归纳，学生完成下述表格.
判别式
二次函数 的图象
一元二次方程 的根
四、典题练习
练习1：已知二次函数，求证：不论m为何值，该二次函数均没有零点.
【设计意图】及时巩固一元二次方程的根与其对应一元二次函数零点之间的关系的学习成果.将一元二次函数的零点问题转化为对应一元二次方程的根的问题.
练习2：已知二次函数的两个零点分别是2和3，求a，b的值.
五、课堂练习
如图所示为二次函数的图象，若一元二次方程有实数根，则m的最大值.
鼓励学生发散思维，用多种方法获得问题的答案.
【设计意图】加深学生对方程与函数之间关系的理解，并在两者之间灵活转换.
问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？
【预案】
（1）这堂课我们得到了二次方程的根与其对应的二次函数零点之间的关系，在以后的学习中，我们可以将二次方程根的问题转化为其对应的二次函数的零点问题，也可以将二次函数的零点问题转化为其对应的二次方程根的问题.这是方程与函数之间的转化思想.要用联系的观点看问题.
（2）学习了从特殊到一般的数学研究方法.我们先研究具体例子，在具体问题的探究过程中找到一般性情况的研究思路及研究方法，再推广到一般，最后通过严谨的论证得到相应的结论.
（3）学习了一个新概念——二次函数的零点.它是二次函数图象与x轴交点的横坐标，也是二次函数当y=0时的x的值.
（4）涉及一元二次方程根的情况，可能需要根据进行分类讨论.
【设计意图】同学们畅所欲言，分享自己的学习体会，在分享中反思自己的学习过程，观察别人的学习行为，提高学生对本节课所学知识的认识，培养学生归纳总结能力.
六、课后延伸
一名男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是.试求铅球被推出的距离.
【预案】当高度为0时，铅球停止运动，
所以问题的关键在于求出函数的零点.
令y=0，即，解得=10，（舍）.所以铅球抛出的最远距离为10 m.
【设计意图】通过对生活中实际问题的研究，体会建立数学模型的思想.

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