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同步探究学案
课题 16.1.1 同底数幂的乘法 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解同底数幂乘法的运算法则，会用这一法则进行同底数幂的乘法运算． 2．体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 3．通过同底数幂乘法的运算法则的推导和应用，初步理解特殊—一般—特殊的认知规律．
重点 同底数幂乘法的运算法则．
难点 正确理解和应用同底数幂乘法的运算法则．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．你能说一说an表示的意义吗？ 2．（1）(－a)n表示____________，底数是____，指数是___，读作“____________”． （2）－an表示__________________，底数是___，指数是___，读作“________________”．
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助数的乘方，研究同底数幂的乘法。 问题：一种电子计算机每秒可进行1亿亿 （1016）次运算，它工作103s可进行多少次运算？ 它工作103s可进行运算的次数__________． 计算1016×103 你知道吗？ 搭载国产芯片的 “神威·太湖之光” 是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机． 探究：根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）105×102=10（ ） （2）a3·a2=a（ ） （3）5m×5n=5（ ） （m，n是正整数） 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 归纳：同底数幂乘法的运算法则： am·an＝________（m，n都是正整数）． 即：同底数幂相乘，底数_____，指数______． 想一想：当同底数幂的个数为 3 个或者 3 个以上时，该运算法则是否依然成立？ 归纳：同底数幂乘法的运算法则依然________． 即am·an·ap＝________（m，n，p都是正整数）． 例1：计算： （1）x2·x5； （2）a·a6； 注意：a＝a1． （3）(－2)×(－2)4×(－2)3； （4）xm·x3m＋1． 例2：已知am＝3，am＋n＝15，则an的值是____． 归纳：am+n＝______·____（m，n都是正整数）．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 3．计算． (1)； (2)． 选做题： 4．计算：________．（结果用幂的形式表示） 【综合拓展类练习】 5．若，记为． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)如果记，，，试说明： (3)试说明：
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．若，则等于（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 3．计算： (1)； (2)； (3)． 选做题： 4．计算：_____________ 【综合拓展类作业】 5．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定． (1)求的值； (2)若，求x的值．
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第十六章 整式的乘法
16.1.1 同底数幂的乘法
1．理解同底数幂乘法的运算法则，会用这一法则进行同底数幂的乘法运算．
2．体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用．
3．通过同底数幂乘法的运算法则的推导和应用，初步理解特殊—一般—特殊的认知规律．
1．你能说一说an表示的意义吗？
n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.
幂
指数
底数
＝
2．（1）(－a)n表示____________，底数是____，指数是___，读作“____________”．
（2）－an表示__________________，底数是___，指数是___，读作“__________________”．
n个－a相乘
－a
n
－a的n次方
n个a乘积的相反数
a
n
a的n次方的相反数
幂的运算是整式的乘法的基础，学习整式的乘法，需要先学习幂的运算性质．
问题：一种电子计算机每秒可进行1亿亿 （1016）次运算，它工作103s可进行多少次运算？
它工作103s可进行运算的次数1016×103．怎样计算1016×103呢？
1016×103＝(10×···×10)×(10×10×10)
＝10×10×···×10
＝1019．
解：根据乘方的意义可知
16个10
19个10
搭载国产芯片的 “神威·太湖之光” 是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机．
探究：根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1）105×102=10（ ）
（2）a3·a2=a（ ）
（3）5m×5n=5（ ） （m，n是正整数）
7
5
m+n
一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，
·(a·····a)
m个a
(m＋n)个a
n个a
＝(a· ····a)
＝a·····a
＝am＋n．
am·an
即am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．
即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．
底数相同
指数相加
可得同底数幂乘法的运算法则：
当同底数幂的个数为 3 个或者 3 个以上时，该运算法则是否依然成立？
即am·an·ap＝am＋n＋p（m，n，p都是正整数）．
根据乘方的意义，当m，n，p都是正整数时，
＝a·····a
(m＋n＋p)个a
＝am＋n＋p．
am·an·ap
同底数幂乘法的运算法则依然成立．
例1：计算：
（1）x2·x5； （2）a·a6；
（3）(－2)×(－2)4×(－2)3； （4）xm·x3m＋1．
解：（1）x2·x5＝x2＋5＝x7；
（2）a·a6＝a1＋6＝a7；
（3）(－2)×(－2)4×(－2)3＝(－2)1＋4＋3＝(－2)8＝256；
（4）xm·x3m＋1＝xm＋3m＋1＝x4m＋1．
a＝a1．
例2：已知am＝3，am＋n＝15，则an的值是____．
5
am＋n＝am· an
am· an ＝ am＋n
逆用
解： ∵ am＋n＝ am· an
又∵ am＋n＝15， am＝3
∴ an ＝5
【知识技能类练习】必做题：
1．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．计算 的正确结果是 （ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
3．计算．(1)；(2)．
解：（1）
；
（2）
．
【知识技能类练习】选做题：
4．计算： ．（结果用幂的形式表示）
解：
【综合拓展类练习】
5．若，记为．
(1)根据上述规定，填空：________，________；
(2)如果记，，，试说明：
(3)试说明：
解：（2）∵，，，
∴
∵，
∴
即
故；
【综合拓展类练习】
5．若，记为．
(1)根据上述规定，填空：________，________；
(2)如果记，，，试说明：
(3)试说明：
（3）依题意，记，，，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∵，，，
∴．
同底数幂的乘法
同底数幂乘法的逆运算
同底数幂乘法的运算法则
am·an ＝am＋n
（m，n都是正整数）
am＋n＝am·an
（m，n都是正整数）
【知识技能类作业】必做题：
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类作业】必做题：
2．若，则等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
D
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)；(2)；(3)．
解：（1）；
（2）；
（3）
【知识技能类作业】选做题：
4．计算：__________
解：，
，
．
【综合拓展类作业】
5．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《16.1.1 同底数幂的乘法 》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课选自人教版八年级上册第十六章《整式的乘法》第一节“幂的运算”第一课时，是整式乘法的开篇内容，也是后续学习幂的乘方、积的乘方及整式乘法的基础，在整个代数知识体系中起到承上启下的作用。
学习者分析 学生在七年级上册已学习“有理数的乘方”，理解乘方的定义，能进行简单的乘方运算，这是推导同底数幂乘法法则的核心前提。此外，学生已具备基础的整式概念，知道字母可以表示数，这为从“数字底数的幂相乘”过渡到“字母底数的幂相乘”奠定了认知基础。
教学目标 1．理解同底数幂乘法的运算法则，会用这一法则进行同底数幂的乘法运算． 2．体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 3．通过同底数幂乘法的运算法则的推导和应用，初步理解特殊—一般—特殊的认知规律．
教学重点 同底数幂乘法的运算法则．
教学难点 正确理解和应用同底数幂乘法的运算法则．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解同底数幂乘法的运算法则，会用这一法则进行同底数幂的乘法运算． 2．体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中的作用． 3．通过同底数幂乘法的运算法则的推导和应用，初步理解特殊—一般—特殊的认知规律．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．你能说一说an表示的意义吗？ 预设： n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂. 2．（1）(－a)n表示____________，底数是____，指数是___，读作“____________”． 答案 ：n个－a相乘，－a，n，－a的n次方 （2）－an表示__________________，底数是___，指数是___，读作“__________________”． 答案：n个a乘积的相反数，a，n，a的n次方的相反数 引言：幂的运算是整式的乘法的基础，学习整式的乘法，需要先学习幂的运算性质．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过复习乘方的相关知识，为探索同底数幂的乘法法则做好铺垫环节三：新知讲解教师活动3： 问题：一种电子计算机每秒可进行1亿亿 （1016）次运算，它工作103s可进行多少次运算？ 引导：它工作103s可进行运算的次数1016×103． 追问：怎样计算1016×103呢？ 解：根据乘方的意义可知 1016×103＝(10×···×10)×(10×10×10) ＝10×10×···×10 ＝1019． 介绍：搭载国产芯片的 “神威·太湖之光” 是世界上首台运行速度超过每秒10亿亿次的超级计算机． 探究：根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）105×102=10（ ） （2）a3·a2=a（ ） （3）5m×5n=5（ ） （m，n是正整数） 预设：7，5，m+n 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 归纳：同底数幂乘法的运算法则： am·an＝am＋n（m，n都是正整数）． 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 追问：当同底数幂的个数为 3 个或者 3 个以上时，该运算法则是否依然成立？ 预设：根据乘方的意义，当m，n，p都是正整数时， am·an·ap ＝a·····a ＝am＋n＋p． 即am·an·ap＝am＋n＋p（m，n，p都是正整数）． 归纳：同底数幂乘法的运算法则依然成立． 例1：计算： （1）x2·x5； （2）a·a6； （3）(－2)×(－2)4×(－2)3； （4）xm·x3m＋1． 解：（1）x2·x5＝x2＋5＝x7； （2）a·a6＝a1＋6＝a7； （3）(－2)×(－2)4×(－2)3＝(－2)1＋4＋3＝(－2)8＝256； （4）xm·x3m＋1＝xm＋3m＋1＝x4m＋1． 指出：a＝a1． 例2：已知am＝3，am＋n＝15，则an的值是____． 解： ∵ am＋n＝ am· an 又∵ am＋n＝15， am＝3 ∴ an ＝5 答案:5 归纳： 学生活动3： 学生小组合作探究，班内汇报交流后认真听教师的讲解与点评活动意图说明： 由简单实例出发，让学生经历特殊—一般—特殊的探究过程，探究同底数幂相乘的运算法则，通过例题，检验学生对同底数幂乘法的运算法则及其逆运算的理解和掌握，并使学生意识到a＝a1．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：16.1.1同底数幂的乘法一、同底数幂乘法的运算法则 二、同底数幂乘法的逆运算教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．计算的正确结果是（ ） A． B． C． D． 答案：C 3．计算． (1)； (2)． 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．计算：．（结果用幂的形式表示） 答案： 解： ， 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．若，记为． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)如果记，，，试说明： (3)试说明： 解：（1）∵，记为， 则， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴ ∵， ∴ 即 故； （3）依题意，记，，， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．若，则等于（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 答案：D 3．计算： (1)； (2)； (3)． 解：（1）； （2）； （3） 选做题： 4．计算： 答案： 解：， ， ． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定． (1)求的值； (2)若，求x的值． 解：（1）； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：．
教学反思 本次教学围绕教材展开，通过“超级计算机运算次数”的情境，遵循“实例感知—规律探究—法则推导—应用巩固”的教材逻辑，借助练习中的错误案例帮助学生规避易错点，多数学生能掌握法则基本应用。但存在不足：法则推导时，未充分利用教材数字实例铺垫，直接过渡到字母形式的抽象推导，部分学生对法则本质理解不深；对教材中负底数、分数底数的例题拓展不足，未强化“底数为整体”的认知；练习环节耗时过多，挤压了总结升华时间，未能深入提炼教材蕴含的“特殊—一般—特殊”思想，后续需优化环节节奏，贴合学生认知逐步推进教学。
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