资源简介

《13.1 三角形的概念》第1课时教案
学科 初中数学 年级册别 八年级上册 共1课时
教材 人教版 授课类型 新授课 第1课时
教材分析
教材分析
本节内容选自人教版八年级上册第十三章《三角形》的起始课——《13.1 三角形的概念》。三角形是最基本的平面图形之一，是后续学习全等三角形、相似三角形、勾股定理以及四边形、多边形的基础，在几何体系中具有承前启后的关键作用。教材从生活实例引入，通过观察建筑、机械结构中的三角形形象，激发学生兴趣，并引导学生回顾小学已有的直观认识，进而系统地定义三角形，介绍其基本要素（边、角、顶点）、符号表示方法，并按边和角进行分类，最后探究三角形三边关系，强调“两点之间线段最短”的原理在其中的应用。
学情分析
八年级学生已经具备一定的几何直观能力和逻辑思维基础，在小学阶段已初步了解三角形的基本特征，如内角和为180°、两边之和大于第三边等结论，但缺乏严谨的推理证明意识。当前阶段的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对概念的理解容易停留在表面，分类标准易混淆，且在面对实际问题时难以灵活运用三边关系判断能否构成三角形。因此，教学中需通过真实情境、动手操作与合作探究相结合的方式，帮助学生建立清晰的概念体系，理解分类原则“不重不漏”，并能准确应用三边关系解决实际问题。
课时教学目标
观察现实世界
1. 能从生活实例中识别出三角形，理解其广泛存在的合理性；能在图形中准确找出三角形的边、角、顶点，并用规范符号表示不同三角形。
2. 能根据给定条件判断三条线段是否能组成三角形，并解释原因。
思考现实世界
1. 经历从具体图形抽象出三角形定义的过程，体会数学建模的思想；通过分类讨论，理解按边或按角分类的标准及其独立性。
2. 探究并掌握三角形三边之间的数量关系，能结合“两点之间线段最短”解释其本质原理。
表达现实世界
1. 能用准确的数学语言描述三角形的定义、各组成部分名称及分类结果；能规范书写三角形符号（如△ABC）及边长表示方式（如a、b、c）。
2. 能条理清晰地表达自己对等腰三角形与等边三角形关系的理解，并举例说明。
实践应用能力
1. 能利用三角形三边关系解决围绳成形、路径选择等实际问题，提升数学建模能力。
2. 在小组合作中完成任务设计与交流展示，发展合作学习与批判性思维能力。
教学重点、难点
重点
1. 理解三角形的定义及其基本要素（边、角、顶点），掌握三角形的符号表示法。
2. 掌握三角形按边和按角的分类方法，理解等边三角形是特殊的等腰三角形。
难点
1. 准确理解“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形”这一定义中的关键词，避免误判非封闭或共线情况。
2. 灵活运用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断三条线段能否构成三角形，并应用于实际问题中。
教学方法与准备
教学方法
情境探究法、合作探究法、讲授法
教具准备
多媒体课件、细绳、直尺、量角器、三角板、PPT动画演示
教学环节 教师活动 学生活动
情境导入
【5分钟】 一、生活寻踪，感知三角形存在之美 （一）、播放图片，引发认知共鸣。
教师利用多媒体课件依次展示古埃及金字塔、现代摩天大楼骨架、高压输电塔、自行车三角架、分子结构模型等图片，每张图片停留3秒，随后提问：“同学们，请仔细观察这些图片，你们发现了哪些熟悉的几何图形？”等待学生回答后，聚焦于三角形，继续引导：“为什么这么多工程建筑和精密结构都选择了三角形？这背后隐藏着怎样的数学秘密呢？”通过设问激发学生好奇心与探究欲望。
（二）、动手画图，唤醒已有经验。
紧接着提出要求：“请每位同学拿出练习本，在纸上自由画一个你心目中最典型的三角形。”巡视过程中关注学生作图过程，特别留意是否有学生将三条线段画成共线或未闭合的情况，作为后续讲解定义时的反例素材。待大多数学生完成后，选取两位学生的作品投影展示：一位正确闭合的三角形，另一位出现开口或交叉的情况，引导全班对比观察：“这两个图形都是三角形吗？它们有什么区别？”由此自然引出对三角形精确定义的探讨需求，为新知学习做好铺垫。 1. 观察图片，积极发言指出三角形的存在。
2. 动手绘制三角形。
3. 对比分析不同图形，初步质疑三角形的构成条件。
4. 带着疑问进入新课学习。
评价任务 发现图形：☆☆☆
主动参与：☆☆☆
提出疑问：☆☆☆
设计意图 通过真实生活情境导入，让学生感受到数学源于生活又服务于生活，增强学习动机；动手画图不仅激活了学生的前概念，还通过典型错误案例为后续精准定义提供了直观支撑，体现了“以学定教”的理念。
新课探究一
【10分钟】 一、精准定义，构建三角形核心概念 （一）、提炼定义，剖析关键词义。
教师在黑板上规范书写三角形的定义：“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。”然后逐字解析：“‘不在同一直线上’意味着三点不共线，否则无法形成封闭区域；‘三条线段’是构成要素；‘首尾顺次相接’强调连接顺序必须是A→B→C→A，不能跳跃或反向。”配合PPT动画演示三种非三角形情形：三点共线、两线段断开、三线段交叉，逐一排除，强化定义的严密性。
（二）、命名规则，掌握符号表示。
接着出示标准三角形ABC示意图，讲解：“我们通常用大写字母表示顶点，如A、B、C，则这个三角形记作‘△ABC’，读作‘三角形ABC’。”强调符号“△”的使用规范。进一步说明边的两种表示法：可用两个端点字母表示，如AB、BC、CA；也可用小写字母a、b、c表示，其中a对应∠A的对边BC，b对应∠B的对边AC，c对应∠C的对边AB。通过板书示范，确保学生理解符号系统的统一性和简洁性。
（三）、识别要素，明确三元素内涵。
组织学生翻开教材第2页图13.1-1，引导他们对照图形说出三角形的三个顶点（A、B、C）、三条边（AB、BC、CA）、三个内角（∠A、∠B、∠C）。特别指出：“相邻两边形成的夹角就是内角，简称角。”并通过提问检查掌握情况：“边AB所对的角是哪个？角A所对的边是哪条？”帮助学生建立边角对应关系的空间观念。 1. 听讲并记录三角形定义。
2. 学习并模仿使用△ABC符号。
3. 找出图中三角形的边、角、顶点。
4. 回答教师提出的边角对应问题。
评价任务 理解定义：☆☆☆
正确命名：☆☆☆
识别要素：☆☆☆
设计意图 通过对定义的逐层拆解与反例辨析，帮助学生突破“首尾顺次相接”和“不共线”的理解难点；通过规范符号教学，培养学生良好的数学表达习惯；借助教材插图进行要素识别训练，落实基础知识掌握。
新课探究二
【10分钟】 一、分类研究，厘清三角形家族谱系 （一）、按角分类，回顾旧知深化。
教师提问：“我们在小学已经学过，按照三个内角的大小，可以把三角形分成哪几类？”引导学生回忆并回答：锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。随即在黑板左侧绘制分类树状图：
三角形 → 按角分 → {锐角三角形, 直角三角形, 钝角三角形}
并强调每类三角形的核心特征，辅以简单示意图辅助记忆。
（二）、按边分类，探究新知建构。
切换至PPT展示图13.1-2中的三个典型三角形：第一个三边均不等，第二个两边相等，第三个三边全等。提出问题：“如果按照边的长短关系来分类，你能发现什么规律？”鼓励学生分组讨论2分钟，尝试归纳。待小组汇报后，教师总结：
① 三边都不相等的三角形叫不等边三角形；
② 有两条边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰夹角叫顶角，腰与底边夹角叫底角；
③ 三边都相等的三角形叫等边三角形。
（三）、辨析关系，澄清常见误区。
重点追问：“等边三角形是不是等腰三角形？为什么？”引导学生思考：“等腰三角形只要求两边相等，而等边三角形三边都相等，当然满足两边相等的条件。”从而得出结论：等边三角形是特殊的等腰三角形。再补充提醒：“等腰三角形的腰和底不一定不相等——当它也是等边时就相等了。”最终完善右侧分类图：
三角形 → 按边分 → {不等边三角形, 等腰三角形{普通等腰, 等边三角形}}
并强调两种分类互不干扰，如等腰直角三角形既属等腰也属直角。 1. 回忆并说出三角形按角的分类。
2. 分组讨论按边分类的可能性。
3. 理解等腰、等边三角形的定义。
4. 明确等边三角形是特殊等腰三角形。
评价任务 分类准确：☆☆☆
概念清晰：☆☆☆
关系明确：☆☆☆
设计意图 通过复习按角分类巩固已有知识，再引入按边分类拓展认知维度；采用小组合作方式促进思维碰撞；通过关键问题“等边是否属于等腰”引发深度思考，纠正常见误解，帮助学生建立科学的分类体系。
新课探究三
【12分钟】 一、情境驱动，揭示三边关系本质 （一）、故事设疑，引出数学原理。
教师讲述情境：“在A点的小狗闻到B点有香肠，它可以选择直接跑过去，也可以绕道经过C点再去B点。现实中，小狗总是会选择最短路线——直线AB。这是为什么呢？”引导学生联想到“两点之间，线段最短”的基本事实。接着追问：“如果我们把A、B、C看作三个点，连接它们会形成什么图形？”学生答：“三角形。”教师顺势指出：“正是这个几何性质决定了三角形三边之间的重要关系。”
（二）、实验验证，归纳核心结论。
发放准备好的细绳（总长18cm），要求学生动手操作：尝试用这条绳子围成一个等腰三角形。先设定“腰长是底边的2倍”，让学生设底边为x，则腰为2x，列出方程x + 2x + 2x = 18，解得x=3.6，得到三边分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm。再提出挑战：“能否围成一边为4cm的等腰三角形？”引导学生分情况讨论：
① 若底边为4cm，则两腰之和为14cm，每腰7cm，此时7+7>4、7+4>7，满足条件；
② 若腰为4cm，则两腰共8cm，底边为10cm，此时4+4=8<10，不满足两边之和大于第三边，故不能构成三角形。
（三）、理论升华，提炼判断法则。
基于上述案例，师生共同总结三角形三边关系：
1. 任意两边之和大于第三边；
2. 任意两边之差小于第三边。
并给出实用技巧：判断三线段能否构成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可。举例说明：对于3cm、4cm、8cm，因3+4=7<8，不能构成；对于5cm、6cm、10cm，因5+6=11>10，可以构成。同时强调取值范围：若已知两边a>b，则第三边c满足a b < c < a+b。 1. 思考小狗路径选择背后的数学原理。
2. 动手用细绳围三角形，列式求解。
3. 分情况讨论能否围成指定边长的等腰三角形。
4. 参与总结三边关系并练习判断方法。
评价任务 理解原理：☆☆☆
动手操作：☆☆☆
归纳结论：☆☆☆
设计意图 以“小狗吃香肠”这一趣味情境贯穿三边关系教学，使抽象原理具象化；通过动手围绳实验增强体验感，体现“做中学”理念；通过分类讨论培养严谨思维；最终提炼出可操作的判断方法，提升解决问题的能力。
巩固应用
【6分钟】 一、即时训练，检测学习成效 （一）、基础辨析，夯实概念理解。
出示判断题组：
① “等边三角形是特殊的等腰三角形。”（√）
② “等腰三角形的腰和底一定不相等。”（×）
③ “直角三角形一定不是等腰三角形。”（×）
④ “一个钝角三角形一定不是等腰三角形。”（×）
要求学生快速口答并简要说明理由，重点纠正第②④题的错误认知。
（二）、综合应用，提升解题能力。
呈现中考真题改编题：“已知三角形两边长分别为3和5，第三边为偶数，求第三边可能的长度。”引导学生运用三边关系：设第三边为x，则|5 3| 1. 快速判断并说明理由。
2. 应用三边关系计算取值范围。
3. 讨论多种可能性。
4. 完成课堂随练。
评价任务 判断准确：☆☆☆
思路清晰：☆☆☆
计算无误：☆☆☆
设计意图 通过判断题集中突破易错点，加深对分类与关系的理解；通过典型例题演练，实现知识迁移，提高应试能力，同时体现数学的严谨性与实用性。
作业设计
一、基础巩固
1. 下列图形中，符合三角形定义的是（　　）
　　A. 三条线段首尾相连但共线　　　B. 三条线段未完全闭合
　　C. 三条线段首尾顺次相接且不共线　D. 四条线段组成的图形
2. 已知△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm，则AC边的取值范围是__________。
二、能力提升
3. 用一根长为24cm的铁丝围成一个等腰三角形：
　　（1）若腰长是底边长的2倍，求各边长；
　　（2）若有一边长为6cm，能否围成等腰三角形？若能，求其余两边；若不能，说明理由。
三、拓展探索
4. （跨学科融合）如图，某池塘两岸A、B两点间无法直接测量。小明在岸边选定一点C，测得AC＝15m，BC＝20m。请你估计AB的距离可能在什么范围内？并说明依据。
5. 查阅资料，列举三个生活中利用三角形稳定性的实例，并简要解释其数学原理。
【答案解析】
一、基础巩固
1. C
2. 2cm < AC < 12cm（依据：7 5 < AC < 7+5）
二、能力提升
3. （1）设底边为x，则腰为2x，x + 2x + 2x = 24 → x = 4.8，故三边为4.8cm、9.6cm、9.6cm。
　　（2）分情况讨论：
　　　　① 若底边为6cm，则两腰共18cm，每腰9cm，9+9>6，成立；
　　　　② 若腰为6cm，则底边为12cm，6+6=12，不大于第三边，不成立。
　　　　综上，可以围成，其余两边均为9cm。
板书设计
第13.1节 三角形的概念
定义：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接 → 三角形
表示法：△ABC（顶点A、B、C）
边：AB=c, BC=a, AC=b
三元素：
　　顶点：A、B、C
　　边：AB、BC、CA
　　角：∠A、∠B、∠C
分类：
　　按角分 → 锐角 △、直角 △、钝角 △
　　按边分 → 不等边 △、等腰 △（含等边 △）
三边关系：
　　任意两边之和 > 第三边
　　任意两边之差 < 第三边
　　应用：较短两边之和 > 最长边
　　取值：|a b| < x < a+b
教学反思
成功之处
1. 以“小狗吃香肠”为主线情境贯穿始终，有效激发了学生的学习兴趣，使抽象的三边关系变得生动可感。
2. 注重概念生成过程，通过正反例对比、动手操作、小组讨论等多种方式，帮助学生深刻理解三角形定义与分类标准。
3. 作业设计层次分明，既有基础巩固又有跨学科拓展，兼顾全体学生发展需求。
不足之处
1. 在分类讨论环节，部分学生对“等边属于等腰”的理解仍存在困惑，需增加更多生活类比加以说明。
2. 动手围绳活动时间略显紧张，个别小组未能充分展开讨论，下次可适当延长操作时间或提前分发材料。
3. 板书布局可进一步优化，分类图示可用彩色粉笔区分，增强视觉效果。

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