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专题04 二次函数与一元二次方程
考点01（★★★）判断抛物线与x轴的交点的情况 5
考点02（★★★）根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围） 6
考点03（★★★）利用二次函数求一元二次方程的近似解 7
考点04（★★★）利用二次函数的图象解不等式 9
考点05（★★★）二次函数与一元二次方程关系的综合应用 12
1．二次函数与一元二次方程的关系
（1）二次函数y＝ax2+bx+c，当y＝0时，得到一元二次方程ax2+bx+c＝0，所以抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根．
反之亦然．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c的图象与与x轴的三种位置关系对应一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的三种情况，如下：
Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．用图象法求一元二次方程的根
（1）
方法 步骤 结论
方法1 ①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c； ②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标； ③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根． 图象与x轴的公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根．
方法2 先将一元二次方程变为ax2+bx＝－c，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2+bx和直线y＝－c． 两图象公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根．
方法3 先将一元二次方程变为ax2＝－bx－c，再在同一平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2和直线y＝－bx－c． 两图象公共点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根．
（2）利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
①作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
②由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
③观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
3．二次函数与一元二次不等式的关系
（1）抛物线在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集．不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号．
（2）二次函数（a>0）与一元二次不等式（a>0）及（a>0）之间的关系如下：
判别式 抛物线，
抛物线与x轴的交点 不等式 的解集 不等式 的解集
或
（或） 无解
全体实数 无解
注：a＜0的情况请同学们自己完成．
1．利用二次函数图象求二次不等式的步骤：
（1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点；
（2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解；
根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解．
若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解．
若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解．
2．抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式：
当时，设抛物线与x轴的两个交点为A（，0），B（，0），则、是一元二次方程的两个根．由根与系数的关系得，．
∴
即（）
3．利用二次函数求一元二次方程的近似解
（1）利用抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标求一元二次方程ax2+bx+c=0的根．具体过程如下：
①在平面直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx+c；
②观察图象，确定抛物线与x轴的交点的横坐标；
③交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0的根．
（2）用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点，则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．
（3）通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下：
①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n；
②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号；
③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．
考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高
考点01（★★★）判断抛物线与x轴的交点的情况
抛物线与轴的公共点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个公共点抛物线与轴相交； ②有一个公共点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有公共点抛物线与轴相离．
【例1】　（2025秋 广东校级月考）抛物线y＝x2+3x﹣1的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，结合一元二次方程根的判别式即可得答案．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
∴为2个交点．
故选：C．
【例2】　（2025春 兴宁区校级期末）二次函数y＝2x2﹣3x+1与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无法确定
【答案】C
【分析】令y＝0，则2x2﹣3x+1＝0，然后通过根的判别式即可求解．
【解答】解：令y＝0，则2x2﹣3x+1＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝9﹣8＝1＞0，
∴抛物线与x轴有2个交点，
故选：C．
【例3】　（2024秋 江北区期末）抛物线y＝x2+4x+5与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】抛物线与x轴的交点个数即为抛物线对应的一元二次方程的解的个数，据此利用判别式求解即可．
【解答】解：∵Δ＝42﹣4×5＝﹣4＜0，
∴抛物线与x轴的交点个数为0个，
故选：A．
考点02（★★★）根据抛物线与x轴交点的个数求字母的值（或范围）
求二次函数图象与x轴的交点个数问题，可转化为判断对应的一元二次方程的根的个数．
【例4】　（2024秋 三台县期末）关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用根的判别式Δ＝b2﹣4ac，代入系数，可直接求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k＞0，
∴．
故选：D．
【例5】　（2025 黄石模拟）若函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
【答案】C
【分析】由于k的值不确定，则需分k≠0和k＝0讨论．二次函数与x轴有交点，说明对应的一元二次方程有实根，即根的判别式≥0．
【解答】解：当k≠0时，由二次函数与x轴有交点，可得
kx2﹣6x+3＝0有实根．
即b2﹣4ac＝36﹣12k≥0，
解不等式，得k≤3．
当k＝0时，函数是一次函数，与x轴交于（，0），满足题意．
所以k的取值范围为：k≤3．
故选：C．
【例6】　（2025秋 川汇区校级月考）若抛物线y＝2x2﹣3x﹣k与x轴没有交点，则k的取值范围为　　 ．
【答案】．
【分析】利用根的判别式b2﹣4ac＜0可得关于 k的不等式，求解即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣3x﹣k与x轴没有交点，
∴b2﹣4ac＜0，
即（﹣3）2﹣4×2×（﹣k）＜0，
解得：，
故答案为：．
考点03（★★★）利用二次函数求一元二次方程的近似解
1．用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x轴的交点）的两侧各取一点， 则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间． 2．通过取平均数求根的近似值，具体的操作过程如下： ①取使函数值异号且绝对值较小的两个自变量的值m，n； ②分别将，n（或，m）作为自变量的值代入函数解析式，判断其函数值是否异号； ③重复执行步骤①②，以提高根的估计值的精确度．
【例7】　（2024秋 宝丰县期末）根据下列表格，判断出方程8x2+9x﹣1＝0的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　）
x ﹣1.5 ﹣1.4 ﹣1.3 ﹣1.2 ﹣1.1
8x2+9x﹣1 3.5 2.08 0.82 ﹣0.28 ﹣1.22
A．﹣1.43 B．﹣1.33 C．﹣1.23 D．﹣1.13
【答案】C
【分析】使8x2+9x﹣1的值最接近0的数即是方程8x2+9x﹣1＝0的近似解，据此作答即可．
【解答】解：由表格数据可知，当x＝﹣1.2时，8x2+9x﹣1的值为﹣0.28，最接近0，
故x＝﹣1.23是方程8x2+9x﹣1＝0的近似解，
故选：C．
【例8】　（2024秋 东西湖区期末）观察表格，估算一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的近似解：
x 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2﹣x﹣1 ﹣0.44 ﹣0.25 ﹣0.04 0.19 0.44
由此可确定一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个近似解x的范围是（　　）
A．1.4＜x＜1.5 B．1.5＜x＜1.6 C．1.6＜x＜1.7 D．1.7＜x＜1.8
【答案】C
【分析】分析表格数据即可求解．
【解答】解：由表格中数据可知，x逐渐增大，y也随着增大，
当x从1.6增大到1.7时，y从负数为整数，
∴使得y＝0的x在1.6到1.7之间．
故选：C．
【例9】　（2025 盐池县模拟）观察下列表格，可知一元二次方程x2﹣x＝1.2的一个近似解是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A．x≈0.11 B．x≈1.69 C．x≈1.71 D．x≈1.19
【答案】C
【分析】利用表中数据可判断方程解的范围为1.7＜x＜1.8，然后对各选项进行判断即可得出答案．
【解答】解：因为x＝1.7时，x2﹣x＝1.19，
x＝1.8时，x2﹣x＝1.44，
所以方程解的范围为1.7＜x＜1.8．
故选：C．
考点04（★★★）利用二次函数的图象解不等式
1．利用二次函数图象解二次不等式： （1）作出二次函数的图象，并由图象确定图象与x轴有无交点，有几个交点； （2）观察图象，根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴上方的部分求得不等式ax2+bx+c>0的解； 根据y＝ax2+bx+c图象位于x轴下方的部分求得不等式ax2+bx+c<0的解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴上方的部分，则不等式ax2+bx+c>0无解． 若y＝ax2+bx+c的图象没有位于x轴下方的部分，则不等式ax2+bx+c<0无解． 2．根据图象确定不等式的方法 （1）找交点，确定两图象交点横坐标； （2）根据图象的上下关系（图象在上方即函数值较大），得出不等式的解集．
【例10】　（2025 西安校级自主招生）关于x的不等式（a2﹣4a+3）x2+（a﹣1）x+1＞0恒成立，求a的范围　　 ．
【答案】a≤1或a．
【分析】当a＝1时，原不等式化为1＞0，不等式恒成立；当把题意理解为二次函数y＝（a2﹣4a+3）x2+（a﹣1）x+1的函数值大于0，则根据二次函数的性质得到当a2﹣4a+3＞0且Δ＝（a﹣1）2﹣4（a2﹣4a+3）＜0，然后利用二次函数与x轴的交点问题分别解不等式a2﹣4a+3＞0和3a2﹣14a+11＞0，从而得到a的取值范围．
【解答】解：当a＝1时，原不等式化为1＞0，不等式恒成立；
对于二次函数y＝（a2﹣4a+3）x2+（a﹣1）x+1，
当a2﹣4a+3＞0且Δ＝（a﹣1）2﹣4（a2﹣4a+3）＜0时，y＞0，
即a2﹣4a+3＞0且3a2﹣14a+11＞0，
解方程a2﹣4a+3＝0得a1＝1，a2＝3，
∴当a＜1或a＞3时，a2﹣4a+3＞0；
解方程3a2﹣14a+11＝0得a1＝1，a2，
∴当a＜1或a时，3a2﹣14a+11＞0，
综上所述，a的取值范围为a≤1或a．
故答案为：a≤1或a．
【例11】　（2025秋 崇川区校级月考）函数y＝2x2+bx+c的最小值为﹣1，不等式2x2+bx+c＜k的解集为n＜x＜n+6，则实数k的值为 　17　 ．
【答案】17．
【分析】根据题意得到，方程2x2+bx+c＝k的两个根为n和n+6，进而求解即可．
【解答】解：由题意可得：方程2x2+bx+c＝k的两个根为n和n+6，即函数y＝2x2+bx+c的图象与直线y＝k的交点的横坐标为n和n+6，
∴k＝2n2+bn+c①，且二次函数的对称轴为直线x＝n+3，
∴，即b＝﹣4n﹣12②；
∵函数y＝2x2+bx+c的最小值为﹣1，
∴，即c＝2n2+12+17③，
将②③代入①中，得：
k＝2n2+（﹣4n﹣12）n+2n2+12n+17
＝2n2﹣4n2﹣12n+2n2+12n+17
＝17，
故答案为：17．
【例12】　（2024秋 淮阳区期末）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）交x轴正半轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴正半轴于点C，连接AC，BC．若△ABC的面积为3．
（1）求抛物线的解析式．
（2）不等式﹣1＜ax2﹣4ax+3a＜0的解集为 　　 ．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；
（2）1＜x＜3．
【分析】（1）由△ABC的面积为AB×OC（3﹣1）×3a＝3，则a＝1，即可求解；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：（2，﹣1），∵﹣1＜ax2﹣4ax+3a＜0，即﹣1＜y＜0，即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣4ax+3a，当x＝0时，y＝3a，
令y＝0，则x＝1或3，
即点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3a），
则△ABC的面积为AB×OC（3﹣1）×3a＝3，则a＝1，
即抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为：（2，﹣1），
∵﹣1＜ax2﹣4ax+3a＜0，即﹣1＜y＜0，
则1＜x＜3，
故答案为：1＜x＜3．
考点05（★★★）二次函数与一元二次方程关系的综合应用
【例13】　（2025秋 东西湖区校级月考）关于x的函数y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+kx+4的图象与x轴至少有三个不同的公共点，则k的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先根据绝对值的意义将y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+kx+4整理为y，根据图象与x轴至少有三个不同的公共点，得到判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，代入列出不等式组求解即可．
【解答】解：关于x的函数y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+kx+4的图象，
当x﹣2≥0时，得：y＝x2﹣（x﹣2）﹣4x+kx+4＝x2+（k﹣5）x+6，
当x﹣2＜0时，得：y＝x2+（x﹣2）﹣4x+kx+4＝x2+（k﹣3）x+2，
∴y．
∵关于x的函数y＝x2﹣|x﹣2|﹣4x+kx+4的图象与x轴至少有三个不同的公共点，
∴，即，
解①得：或；
解②得：或；
解得：或，
当时，如图1，
与x轴有两个不同的公共点，不符合题意；
当时，如图2，
与x轴有三个不同的公共点，符合题意；
当x＝2时，y＝22+2k﹣10+6＝22+2k﹣6+2＝2k≥0，
∴k≥0．
综上所述，．
故选：A．
【例14】　（2025秋 长沙月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；②若且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2；③若OA＝OC，则；④若B（1，0），C（0，4），连接AC，点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】由抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，得到当x＝﹣1时，y最大值＝a﹣b+c，可判断①；根据题意可得直线x＝x1和直线x＝x2关于对称轴对称，则x1+x2＝﹣2，可判断②；先由对称轴公式得到b＝2a，再由OA＝OC，得A（﹣c，0），B（c﹣2，0），把A（﹣c，0）代入抛物线解析式中求出，则点，可判断③；先求出A（﹣3，0），设P（﹣1，m），利用勾股定理得PC2+AC2＝PA2，则m2﹣8m+17+25＝m2+4，解得，可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y最大值＝a﹣b+c，
∴当m≠﹣1时，a﹣b+c＞am2+bm+c，即a﹣b＞am2+bm，故①正确；
当且x1≠x2时，则直线x＝x1和直线x＝x2关于对称轴对称，
∴x1+x2＝﹣2，故②正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴，
∴b＝2a，
当x＝0时，则y＝c，
∴C（0，c），
∴OC＝c，
∵OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
∴点B的坐标为（c﹣2，0），
把A（﹣c，0）代入抛物线解析式中得ac2﹣2ac+c＝0，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，，故③正确；
∵B（1，0），抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴A（﹣3，0），
设P（﹣1，m），
∴PA2＝[﹣1﹣（﹣3）]2+（m﹣0）2＝m2+4，PC2＝（﹣1﹣0）2+（m﹣4）2＝m2﹣8m+17，AC2＝（﹣3﹣0）2+（0﹣4）2＝25，
∵∠PCA＝90°，
∴PC2+AC2＝PA2，
∴m2﹣8m+17+25＝m2+4，解得，
∴，故④错误．
∴正确的有3个，
故选：D．
【例15】　（2025秋 滨海新区校级月考）已知关于x的二次函数y＝x2﹣3mx+m2﹣1（m是常数）．
（1）求证：二次函数y＝x2﹣3mx+m2﹣1的图象与x轴总有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）且AB＝3，求m的值．
【答案】（1）令y＝0，则x2﹣3mx+m2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣3m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝9m2﹣4m2+4＝5m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的根，
即二次函数y＝x2﹣3mx+m2﹣1的图象与x轴总有两个交点；
（2）m＝±1．
【分析】（1）令y＝0，则x2﹣3mx+m2﹣1＝0，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得解；
（2）由题意可得x1、x2是方程x2﹣3mx+m2﹣1＝0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝3m，，由题意可得|x1﹣x2|＝3，即，再结合完全平方公式计算即可得解．
【解答】（1）证明：令y＝0，则x2﹣3mx+m2﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣3m）2﹣4×1×（m2﹣1）＝9m2﹣4m2+4＝5m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的根，
即二次函数y＝x2﹣3mx+m2﹣1的图象与x轴总有两个交点；
（2）解：由题意可得：x1、x2是方程x2﹣3mx+m2﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝3m，，
∵AB＝3，
∴|x1﹣x2|＝3，
∴，
∴，即（3m）2﹣4（m2﹣1）＝9，
解得：m＝±1．

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