资源简介

　平面向量、复数
5．1　平面向量的概念及线性运算
1．了解平面向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和两个向量相等的含义．
3．理解平面向量的几何表示．
4．掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握平面向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义．
6．了解平面向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念
名称 定义 说明
向量 既有大小又有方向的量叫做向量 平面向量是自由向量
有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可以用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量 的模 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 向量的模是数量
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 零向量的方向是任意的
单位 向量 长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量
平行向 量(共线 向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行
相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0
2.向量的线性运算
运算 定义 法则(或几何意义) 运算律(性质)
加法 求两个 向量和 的运算 交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0＝0＋a＝a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c； |a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时等号成立
减法 求两个 向量差 的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ 与向量 a的积 的运算 λa是一个向量，其长度：|λa|＝|λ|·|a|； 其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方向相反； λ＝0时，λa＝0 设λ，μ∈R，则λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量基本定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
4．向量三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
教材拓展
1．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＝(n≥2，n∈N*)，特别地，一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量．
2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)；若G为△ABC的重心，则＋＋＝0.
3．若＝λ＋μ(λ，μ为实数)，且，不共线，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
4．如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则＝＋，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，＝＋.
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关．(　√　)
(2)两个向量相加，结果有可能是个数量．(　×　)
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(　×　)
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之也成立．(　√　)
2．(人教A版必修第二册P5T3改编)以下命题中正确的个数是(　B　)
①两个相等向量的模相等；
②若a和b都是单位向量，则a＝b；
③相等的两个向量一定是共线向量；
④零向量是唯一没有方向的向量．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；对于②，若a和b都是单位向量，当它们的方向不同时，a＝b不成立，故②错误；对于③，相等的两个向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；对于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误．故正确的有①③，共2个．故选B.
3．(人教A版必修第二册P14例6改编)在△ABC中，＝3，则＝(　C　)
A．－ B．＋
C．－ D．＋
解析：∵＝3，∴＝－＝－.故选C.
4．(人教A版必修第二册P16例8改编)已知向量a，b不共线，向量c＝a＋3b，d＝2a＋kb，且c∥d，则k＝(　D　)
A．－3 B．3
C．－6 D．6
解析：设d＝λc，则2a＋kb＝λ(a＋3b)＝λa＋3λb，故λ＝2，k＝3λ＝6.故选D.
考点1 平面向量的概念
【例1】　(1)(多选)下列命题正确的有(　AD　)
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．任意两个单位向量方向相同
C．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
D．“若A，B，C，D是不共线的四点，且＝” “四边形ABCD是平行四边形”
【解析】　方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；任意两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故B错误；两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A，B，C，D是不共线的四点，且＝，可得AB∥DC，且AB＝DC，故四边形ABCD是平行四边形，反之也成立，故D正确．故选AD.
(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　C　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
【解析】　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．故选C.
平面向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．
【对点训练1】　(1)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　D　)
A．＝
B．∥
C．||＝||
D．＝
解析：由正六边形的性质可得四边形OABC为平行四边形，故＝，故A正确．因为AB∥DE，故∥，故B正确．由正六边形的性质可得AD＝BE，故||＝||，故C正确．因为AD，FC交于O，故＝不成立，故D错误．故选D.
(2)(多选)下列说法不正确的是(　ACD　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
B．与是平行向量
C．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b
D．若a∥b，b∥c，则a∥c
解析：|a|＝|b|，但两向量的方向不确定，A错误；与是相反向量，所以是平行向量，B正确；向量之间不能比较大小，只能比较向量模的大小，C错误；若a∥b，b∥c，当向量b＝0时，a与c不一定平行，D错误．故选ACD.
考点2 平面向量的线性运算
【例2】　(1)(2024·江苏南通模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，点M是BC的中点，则＝(　D　)
A．－ B．＋
C．＋ D．＋
【解析】　如图，连接AC，依题意可得＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋.故选D.
(2)在△ABC中，D是CB延长线上一点，E是AD的中点．若＝3，λ＋μ＝6，则(　A　)
A．λ＝2μ B．λ＝－2μ
C．μ＝2λ D．μ＝－2λ
【解析】　如图，因为E是AD的中点，＝3，所以＝＋＝
＋×＝－＋(－)＝－－，则6＝－2－，又λ＋μ＝6，所以λ＝－2，μ＝－1 ，所以λ＝2μ.故选A.
平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则，求差用向量减法的几何意义．
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
【对点训练2】　(1)(2024·四川自贡一模)如图所示的△ABC中，点D是线段BC上靠近B的三等分点，点E是线段AB的中点，则＝(　B　)
A．－－ B．－－
C．－－ D．－＋
解析：＝＋＝－＝(－)－＝－－.故选B.
(2)已知△ABC的重心为O，若向量＝x＋y，则x＋y＝(　D　)
A． B．
C．－ D．－
解析：如图，设E是AC的中点，由于O是△ABC的重心，所以＝＝×(－)＝×＝－＋，则x＋y＝－＋＝－.故选D.
考点3 共线向量基本定理及应用
【例3】　(1)(2024·安徽马鞍山三模)已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝(　A　)
A．－ B．0
C．1 D．
【解析】　因为a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2且a∥b，所以设a＝tb，即(2k－1)e1＋2e2＝t(e1－e2)，又e1，e2不共线，所以
解得故选A.
(2)(2024·陕西西安一模)在△ABC中，点D是线段AC上一点，点P是线段BD上一点，且＝，＝＋λ，则λ＝(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】　如图，因为＝，所以＝，即＝2，又＝＋
λ，所以＝＋2λ，因为点P是线段BD上一点，即B，P，D三点共线，所以＋2λ＝1，解得λ＝.故选A.
利用共线向量基本定理解题的策略
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线 ，共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
【对点训练3】　(1)已知向量e1，e2是平面上两个不共线的单位向量，且＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，＝3e1－6e2，则(　C　)
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：因为＝e1＋2e2，＝－3e1＋2e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，C三点不共线，故A错误；因为＝e1＋2e2，＝3e1－6e2，不存在实数λ使得＝λ，故A，B，D三点不共线，故B错误；因为＝＋＝－2e1＋4e2，＝3e1－6e2，则＝－，故A，C，D三点共线，故C正确；因为＝－3e1＋2e2，＝－－＝－3e1＋6e2－e1－2e2＝－4e1＋4e2，不存在实数λ使得＝λ，故B，C，D三点不共线，故D错误．故选C.
(2)(2024·福建福州模拟)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2是共线向量，则(　D　)
A．＝－2 B．λμ＝－2
C．＝2 D．λμ＝2
解析：依题意，设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，又e1，e2是两个不共线的向量，所以tμ＝2，λ＝t，所以λμ＝2.故选D.
(3)已知点O是△ABC的重心，过点O的直线与边AB，AC分别交于M，N两点，D为边BC的中点．若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝(　A　)
A． B．
C．2 D．
解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得
＝，所以＝，
所以＝x＋y，即＝x＋y，因为M，O，N三点共线，可得x＋y＝1，所以x＋y＝.故选A.
课时作业33
1．(5分)下列命题不正确的是(　A　)
A．＋＝0
B．零向量的长度等于0
C．若a，b都为非零向量，则使＋＝0成立的条件是a与b反向共线
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
解析：＋＝0，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即a与b反向共线时＋＝0才成立，故C正确；由相等向量的定义知D正确．故选A.
2．(5分)下列命题中，正确的是(　C　)
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若|a|>|b|，则a>b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|
解析：若|a|＝|b|，则a，b只是大小相同，并不能说方向相同，A错误；向量不能比较大小，B错误；若a＝b，则a，b共线，C正确；|a＋b|≤|a|＋|b|，D错误．故选C.
3．(5分)在四边形ABCD中，若＝－，且|＋|＝|－|，则四边形ABCD为(　C　)
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：因为＝－，所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形，因为|＋|＝|－|，所以||＝||，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以四边形ABCD为矩形．故选C.
4．(5分)已知在梯形ABCD中，AB∥CD且满足＝2，E为AC中点，F为线段AB上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b，则＝(　C　)
A．a－b B．a－b
C．a－b D．a－b
解析：如图所示，由题意可得＝＋＝＋＝b＋a，而＝＋＝
＋＝－＋a＝a－b.故选C.
5．(5分)(2024·陕西榆林三模)在△ABC中，E在边BC上，且EC＝3BE，D是边AB上任意一点，AE与CD交于点P，若＝x＋y，则3x＋4y＝(　C　)
A． B．－
C．3 D．－3
解析：∵A，P，E三点共线，∴设＝t(0≤t≤1)，则＝＋＝＋t＝
＋t＝t＋，又∵＝x＋y，∴x＝t，y＝－t，即3x＋4y＝3.故选C.
6．(5分)e1，e2是平面内不共线的两个向量，已知＝e1－ke2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，若A，B，D三点共线，则k的值是(　A　)
A.2 B．－3
C．－2 D．3
解析：＝－＝e1－2e2，由A，B，D三点共线，故存在实数λ，使＝λ，即e1－ke2＝λ(e1－2e2)，即解得故选A.
7．(5分)在△ABC中，若3＝2－2，则点D(　A　)
A．在直线AB上 B．在直线AC上
C．在直线BC上 D．为△ABC的外心
解析：因为3＝2－2，所以3＝2－2＝2(－)＝2，所以和共线，因为和有公共端点B，所以A，B，D三点共线，所以点D在直线AB上．故选A.
8．(5分)在△ABC中，＝＋，＝＋，AM与CN交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝(　B　)
A． B．
C． D．1
解析：因为＝＋，则N为AB的中点，可得＝x＋y＝2x＋y，注意到C，P，N三点共线，可得2x＋y＝1，又因为A，P，M三点共线，则∥，则存在实数k，使得＝k，即x＋y＝k＋＝＋，则可得x＝3y.综上所述，解得可得x＋y＝.故选B.
9．(8分)(多选)设a，b是两个非零向量，且|a＋b|<|a|＋|b|，则下列结论中正确的是(　AD　)
A．|a－b|≤|a|＋|b|
B．|a－b|<|a＋b|
C．a，b的夹角为钝角
D．若存在实数λ使得a＝λb成立，则λ为负数
解析：当a，b不共线时，根据向量减法的三角形法则知|a－b|<|a|＋|b|，当a，b反向共线时，|a－b|＝|a|＋|b|，故|a－b|≤|a|＋|b|，故A正确；若a⊥b，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，且|a＋b|和|a－b|是这个矩形的两条对角线长，则|a＋b|＝|a－b|，故B错误；若a，b的夹角范围为，根据向量加法的平行四边形法则知|a＋b|<|a|＋|b|，故C错误；若存在实数λ使得a＝λb成立，则a，b共线，由于|a＋b|<|a|＋|b|，则a，b反向共线，所以λ为负数，故D正确．故选AD.
10．(8分)(多选)在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法正确的是(　AC　)
A．＝＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝＋
解析：如图，由DE∥AB，可得△DEN∽△BAN，
又OB＝OD，N是线段OD的中点，∴DE＝AB，∴＝＋＝＋，∴D错误；∵＝＝＋，∴C正确；∵＝＋＝(＋)＋(－)＝＋，∴A正确，B错误．故选AC.
11．(8分)(多选)(2024·辽宁大连二模)△ABC的重心为点G，点O，P是△ABC所在平面内两个不同的点，满足＝＋＋，则(　AC　)
A．O，P，G三点共线
B．＝2
C．2＝＋＋
D．点P在△ABC的内部
解析：＝＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋，因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＝3，所以O，P，G三点共线，故A正确，B错误；＋＋＝＋＋＋＋＋＝(＋＋)＋3，因为＝＋＋，所以(＋＋)＋3＝－＋3＝2，即2＝＋＋，故C正确；因为＝3，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点P不一定在△ABC的内部，故D错误．故选AC.
12．(7分)(2024·辽宁盘锦模拟)已知向量m，n不共线，a＝λm＋n，b＝(λ－1)m－2n，若a∥b，则λ＝．
解析：由a∥b，m，n不共线，故存在实数k≠0，使a＝kb，即有λm＋n＝k(λ－1)m－2kn，即有解得
13．(7分)在平行四边形ABCD中，G为△BCD的重心，＝x＋y，则3x＋y＝．
解析：如图，设AC与BD相交于点O，又G为△BCD的重心，所以O为BD的中点，CG＝2GO，则＝＋＝＋＝＝×(＋)＝＋，则x＝y＝，故3x＋y＝.
14．(7分)在△ABC中，M，N分别为边AC，AB上的点，AN＝NB，AM＝3MC，BM与CN交于点P，设＝a，＝b，则＝a＋b．(用a，b表示)
解析：如图，在△ABC中，依题意，＝－＝a－b，＝－＝b－a＝－a＋b，因BM与CN交于点P，则∥，于是得＝t＝a－tb，t∈R，＝＋＝a＋(1－t)b，＝－＝a＋(1－t)b，因∥，而a与b不共线，从而有＝，解得t＝，所以＝a＋b.
15．(5分)如图，在△ABC中，D为BC的中点，＝2，AD与BE交于点F，若＝a，＝b，则＝(　A　)
A．－a＋b B．a－b
C．－a－b D．a＋b
解析：设＝x＝x(－)＝xb－xa，＝y，则＝－＋＝－＋y＝－＋(＋)＝b＋a，而a与b不共线，
∴解得
∴＝－a＋b.故选A.
16．(5分)已知平行四边形ABCD，点P在△BCD的内部(不含边界)，则下列选项中，可能的关系式为(　C　)
A．＝＋
B．＝＋
C．＝＋
D．＝＋
解析：设＝x＋y(x，y∈R)，由共线向量基本定理，可得，当x＋y＝1时，点P在直线BD上；当017．(5分)(2024·河北沧州三模)对称美是数学美的重要组成部分，它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力．如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，以三条边为直径向外作三个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　B　)
A．　　　 B．
C．1　　　 D．
解析：如图所示，过点M作MP∥BC，分别交直线AB，AC于点P，Q，设＝x＋y，可得x＋y＝1.设＝k，＝k，则＝－＝(kx－1)＋ky，因为＝λ＋μ，所以λ＋μ＝kx－1＋ky＝k－1，由图可知，当PM与半圆BC相切时，k的值最大，又由AB＝2，BE＝＝，可得AE＝2＋＝，所以k＝＝，即k的最大值为，所以λ＋μ的最大值为.故选B.

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