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5．5　复数
1．通过方程的解，认识复数．
2．理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
3．掌握复数代数表示法的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
1．复数的概念
概念 定义
复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部
复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R}
复数 相等 a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R
复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)
共轭 复数 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi
复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为(O为原点)，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|．即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到原点的距离
2.复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数z＝a＋bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数．
3．复数的四则运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
②z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
③＝＋i(z2≠0).
(2)复数加、减法的几何意义
加法 复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数
(3)复数加法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(4)复数乘法的运算律：对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝z2z1
结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
教材拓展
1．(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.
2．i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，其中n∈N；i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0，其中n∈N.
3．z＝|z|2＝||2，|z1z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.
4．复数z的方程在复平面上表示的图形
(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环．
(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　×　)
(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　×　)
(3)原点是实轴与虚轴的交点．(　√　)
(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　√　)
2．(人教A版必修第二册P69例1改编)若复数z＝m2－m－2－(m＋1)i(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数，则m的值为2．
解析：由z是纯虚数，有解得m＝2.
3．(人教A版必修第二册P94T1(2)改编)已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为－i．
解析：由题意可得，＝＝＝＋i，所以复数的共轭复数为－i.
4．(人教A版必修第二册P95T1(3)改编)已知复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为(1，)．
解析：∵复数z＝(m2－2)＋(m－1)i对应的点(m2－2，m－1)位于第二象限，∴m2－2<0，且m－1>0，∴1考点1 复数的概念
【例1】　(1)(2024·湖北武汉模拟)已知复数z满足(1＋i)z＝2i，则||＝(　C　)
A．　　 B．1
C．　　 D．2
【解析】　由已知条件，z＝＝＝1＋i，共轭复数＝1－i，所以||＝.故选C.
(2)(2024·河北保定三模)若复数z满足z－＝，则实数m＝(　B　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以z－＝2bi，由z－＝，得2bi(3－i)＝m＋i，则2b＋6bi＝m＋i，所以解得故选B.
(3)(多选)(2024·湖北荆州三模)已知复数z＝m2－1＋(m＋1)i(m∈R)，则下列命题正确的是(　BD　)
A．若z为纯虚数，则m＝±1
B．若z为实数，则z＝0
C．若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m＝－1
D．z在复平面内对应的点不可能在第三象限
【解析】　复数z＝m2－1＋(m＋1)i(m∈R)的实部为m2－1，虚部为m＋1，复数z在复平面内对应的点的坐标为(m2－1，m＋1)，若z为纯虚数，则解得m＝1，故A错误；若z为实数，则m＋1＝0，解得m＝－1，则z＝0，故B正确；若z在复平面内对应的点在直线y＝2x上，则m＋1＝2(m2－1)，解得m＝－1或m＝，故C错误；令即不等式组无解，所以z在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D正确．故选BD.
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【对点训练1】　(1)(2024·安徽合肥三模)已知z(i－3)＝＋2，则z＝(　D　)
A．＋i B．－i
C．－＋i D．－－i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，因为z(i－3)＝＋2，所以(a＋bi)(i－3)＝a－bi＋2，即－3a－b＋(a－3b)i＝a＋2－bi，
所以解得所以z＝－－i.故选D.
(2)(2024·四川乐山三模)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－2i和1＋bi互为共轭复数，则复数z＝a＋(b－1)i的模为(　B　)
A．2 B．
C．10 D．
解析：由a－2i和1＋bi互为共轭复数，可得a＝1，b＝2，所以z＝a＋(b－1)i＝1＋i，因此，|z|＝＝.故选B.
(3)(多选)(2024·河南驻马店二模)已知z1＝3＋2i，z2＝4－i，则(　BC　)
A．z1＋z2的虚部为－1
B．4z1－3z2是纯虚数
C．z1z2在复平面内所对应的点位于第一象限
D．＝|z1|＋4
解析：z1＋z2＝7＋i的虚部为1，故A项错误；4z1－3z2＝11i为纯虚数，故B项正确；z1z2＝(3＋2i)(4－i)＝14＋5i，其在复平面内所对应的点(14，5)位于第一象限，故C项正确；＝＝|－1－4i|＝，|z1|＋4＝＋4，≠|z1|＋4，故D项错误．故选BC.
考点2 复数的四则运算
【例2】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　C　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
【解析】　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
(2)(2024·贵州毕节三模)若复数z满足(1＋i2＋i5)·z＝3i2 024－4i，则|z|＝(　B　)
A．1 B．5
C．7 D．25
【解析】　因为(1＋i2＋i5)·z＝3i2 024－4i，则(1－1＋i)·z＝3－4i，即z＝＝＝＝＝－4－3i，故|z|＝＝5.故选B.
(3)(2024·山东济南三模)设z＝，则＝(　A　)
A．i B．－i
C．＋i D．－i
【解析】　因为z＝＝＝＝－i，所以＝i.故选A.
1．复数的乘法类似于多项式的乘法运算．
2．复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
【对点训练2】　(1)(2024·全国甲卷理)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　A　)
A．10i B．2i
C．10 D．2
解析：由z＝5＋i ＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A.
(2)(2024·安徽合肥二模)已知＝2＋i，则|z|＝(　B　)
A． B．
C．1 D．2
解析：＝1－＝2＋i z＝，所以z＝＝＝－－i，所以|z|＝＝.故选B.
(3)(2024·山东菏泽一模)已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024，其中i为虚数单位，则z的虚部为(　A　)
A．－ B．
C．－i D．
解析：由z(1＋i)＝i2 024得z＝＝＝＝，故z的虚部为－.故选A.
考点3 复数的几何意义
【例3】　(1)(2024·陕西西安二模)复数z＝＋mi＋m(m∈R，i是虚数单位)对应的点在第二象限，则(　C　)
A.m<－1或m>2 B．1C．－1【解析】　由z＝＋mi＋m＝＋mi＋m＝m－2＋(m＋1)i，故有解得－1(2)(2024·浙江丽水二模)复数z满足|iz|＝1(i为虚数单位)，则|z－4＋3i|的最小值是(　B　)
A．3　　　 B．4
C．5　　　 D．6
【解析】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则iz＝i(x＋yi)＝xi＋yi2＝－y＋xi，|iz|＝|－y＋xi|＝＝.
又|iz|＝1，所以＝1，即x2＋y2＝1，所以z对应的点(x，y)在以原点为圆心，1为半径的圆上，|z－4＋3i|＝|x＋yi－4＋3i|＝表示复平面内的点(x，y)到点(4，－3)的距离，所以|z－4＋3i|的最小值是－1＝4.故选B.
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b) ＝(a，b)(O为原点).
2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观．
【对点训练3】　(1)(2024·河北秦皇岛三模)已知复数z满足iz＋4－15＝0，则复数z在复平面内对应的点位于(　A　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R).因为iz＋4－15＝0，则i(a＋bi)＋4(a－bi)－15＝4a－b－15＋(a－4b)i＝0，可得解得即z＝4＋i，所以复数z在复平面内对应的点为(4，1)，位于第一象限．故选A.
(2)(2024·湖南长沙三模)已知复数z满足|z|＝1，则|z－2i|的取值范围为(　B　)
A．[0，2]　 B．[1，3]
C．[2，4]　 D．[1，9]
解析：如图，|z|＝1表示z对应的点是单位圆上的点，|z－2i|的几何意义表示单位圆上的点和(0，2)之间的距离，|z－2i|的取值范围转化为点(0，2)到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，所以最大距离为2＋1＝3，最小距离为2－1＝1，所以|z－2i|的取值范围为[1，3].故选B.
考点4 复数与方程
【例4】　(多选)(2024·浙江温州三模)已知z1，z2是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的两个根，其中z1＝1＋i，则(　ACD　)
A．z1＝2 B．z＝z
C．p＝－2 D．q＝2
【解析】　因为z1，z2是关于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的两个根且z1＝1＋i，所以z2＝1－i，即z1＝2，故A正确；z＝(1＋i)2＝2i，z＝(1－i)2＝－2i，所以z≠z，故B错误；因为z1＋z2＝(1＋i)＋(1－i)＝2＝－p，所以p＝－2，故C正确；又z1z2＝(1＋i)(1－i)＝12－i2＝2＝q，故D正确．故选ACD.
1．对实系数一元二次方程来说，求根公式、根与系数关系、判别式的功能没有变化，仍然适用．
2．对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用．
【对点训练4】　(多选)(2024·辽宁沈阳二模)设方程x2＋x＋1＝0在复数范围内的两根分别为z1，z2，则下列关于z1，z2的说法正确的有(　ABD　)
A．z＝z2 B．z－z＝0
C．z－z＝0 D．z1z2＝1
解析：由实系数一元二次方程求根公式知z1＝－＋i，z2＝－－i，则z＝＝－－i＝z2(与z1，z2顺序无关)，故A正确；因为z＝z＝1，所以z－z＝0，故B正确；由A知z－z＝z2－z1≠0，故C错误；由韦达定理可得z1z2＝1，故D正确．故选ABD.
【例】　(多选)(2024·浙江温州期末)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　BC　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
【解析】　由复数模的概念可知，由|z2|＝|z3|不一定能得到z2＝±z3，例如z2＝1＋i，z3＝1－i，A中命题错误；由z1z2＝z1z3可得z1(z2－z3)＝0，因为z1≠0，所以z2－z3＝0，即z2＝z3，B中命题正确；因为|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，2＝z3，z1≠0，所以|2|＝|z2|＝|z3|，所以|z1z2|＝|z1z3|，C中命题正确；取z1＝1＋i，z2＝1－i，显然满足z1z2＝|z1|2，但z1≠z2，D中命题错误．故选BC.
本题考查复数的运算性质，不再是单纯考查复数的基础运算或基本概念，体现新高考“反套路”的新趋势，复习过程中不能只关注一类题型，需要各类题型均有涉猎．
课时作业37
1．（5分）已知＝i－1，则z＝(　C　)
A．1－i B．－i
C．－1－i D．1
解析：由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选C.
2．（5分）（2024·北京大兴区三模）已知(m－i)2为纯虚数，则实数m＝(　D　)
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：因为(m－i)2＝m2－2mi＋i2＝m2－1－2mi，又(m－i)2为纯虚数，所以解得m＝±1.故选D.
3．（5分）（2024·湖南邵阳三模）已知复数z满足z(1＋i)＝i2 024－i，其中i是虚数单位，则|z|的值为(　B　)
A．　　　 B．1　　　
C．2　　　 D．4
解析：∵z(1＋i)＝i2 024－i＝1－i，∴z＝＝＝－i，∴|z|＝1.故选B.
4．（5分）（2024·天津和平区二模）已知i为虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝(　C　)
A．－i B．＋i
C．i D．－i
解析：复数z＝＝＝＝－i，所以z的共轭复数＝i.故选C.
5．（5分）（2024·黑龙江大庆三模）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(2，3)，则i·z＝(　D　)
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．－3＋2i
解析：因为复数z对应的点的坐标是(2，3)，所以z＝2＋3i，所以i·z＝i·(2＋3i)＝－3＋2i.故选D.
6．（5分）（2024·安徽安庆三模）若复数z的实部大于0，且(z＋1)＝，则z＝(　D　)
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
解析：令z＝a＋bi，且a>0，b∈R，则(z＋1)＝(a－bi)(a＋1＋bi)＝a2＋a＋b2－bi.因为＝＝6－2i，
根据复数相等有解得
所以z＝1＋2i.故选D.
7．（5分）（2024·四川成都二模）已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，i是虚数单位，若z－2＝2＋3i，则复数z的虚部为(　A　)
A． B．2
C．i D．2i
解析：z－2＝a＋bi－2(a－bi)＝－a＋3bi＝2＋3i，则解得则复数z的虚部为.故选A.
8．（5分）若复数z＝cos θ＋isin θ，则|z－2＋2i|的最大值是(　B　)
A．2－1 B．2＋1
C．＋1 D．2＋3
解析：如图，由题意可知z＝cos θ＋isin θ在复平面内对应的点P(cos θ，sin θ)为以原点为圆心的单位圆上一点，而z1＝2－2i在复平面内对应的点不妨设为A(2，－2)，所以|z－2＋2i|＝|PA|，易知|PA|≤|AO|＋1＝2＋1.故选B.
9．（8分）（多选）（2024·江西九江三模）已知虚数z满足z2＝，则下列结论正确的是(　ABD　)
A．|z|＝1 B．z3＝1
C．z的虚部为 D．|z＋|＝1
解析：由z2＝，得|z|2＝||＝|z|，∵|z|≠0，∴|z|＝1，A正确；由z2＝，得z3＝z·＝|z|2＝1，B正确；设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则＝a－bi，z2＝a2－b2＋2abi，
∴解得∴z的虚部为或－，C错误；又|z＋|＝2|a|＝1，D正确．故选ABD.
10．（8分）（多选）（2024·广东佛山二模）已知复数z1，z2满足z2－2z＋2＝0，则(　ABD　)
A．1＝z2 B．z1z2＝|z1|2
C．z1＋z2＝－2 D．＝1
解析：方程z2－2z＋2＝0，化为(z－1)2＝i2，解得z＝1＋i或z＝1－i，由复数z1，z2满足z2－2z＋2＝0，不妨令z1＝1＋i，z2＝1－i，显然复数z1，z2互为共轭复数，即1＝z2，A正确；z1z2＝(1＋i)(1－i)＝2，而|z1|＝|z2|＝，则z1z2＝|z1|2，B正确；z1＋z2＝2，C错误；由|z1|＝|z2|＝，得＝＝1，D正确．故选ABD.
11．（8分）（多选）（2024·浙江绍兴二模）已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，其中i为虚数单位，若z满足|z＋1|＋|z－1|＝4，则下列说法中正确的是(　AD　)
A．|z|的最大值为2
B．y的最大值为1
C．存在两个z，使得z＋＝－4成立
D．存在两个z，使得＝1成立
解析：由|z＋1|＋|z－1|＝4得，z在复平面内对应点的轨迹为椭圆，方程为＋＝1，|z|表示z在复平面内对应点Z到原点的距离，因为Z在椭圆＋＝1上，所以当Z为椭圆左顶点或右顶点时，到原点的距离最大，最大值为2，故A正确；由椭圆方程可知，－≤y≤，则y的最大值为，故B错误；由z＋＝－4得，x＝－2，由椭圆方程可知，－2≤x≤2，故仅存在一个z满足x＝－2，故C错误；＝1表示z在复平面内对应点Z到点的距离为1，因为复平面内到点距离为1的点的轨迹为圆，方程为(x－1)2＋＝1，圆与椭圆有2个交点，所以存在两个z，使得＝1成立，故D正确．故选AD.
12．（5分）（2024·山东青岛二模）已知复数z满足(z＋2)i＝2z－1，则复数＝－i．
解析：易知z＝＝＝＝i，所以＝－i.
13．（5分）（2024·湖南长沙二模）如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别为A，B，则z1·z2＝－1－3i．
解析：由题意可知，z1＝－2－i，z2＝1＋i，则z1·z2＝(－2－i)(1＋i)＝－2－i－2i－i2＝－2＋1－3i＝－1－3i.
14．（5分）已知i为虚数单位，则集合A＝{x|x＝i＋i2＋i3＋…＋in，n∈N*}中元素的个数为4．
解析：当n＝4k，k∈N*时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝0；当n＝4k＋1，k∈N时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝i；当n＝4k＋2，k∈N时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝i＋i2＝i－1；当n＝4k＋3，k∈N时，x＝i＋i2＋i3＋…＋in＝i＋i2＋i3＝－1，所以集合A中元素的个数为4.
15．（8分）（多选）（2024·山东菏泽二模）下列选项正确的有(　BCD　)
A．若2i－3是方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则p＝－12，q＝26
B．复数6＋5i与－3＋4i分别对应向量与，则向量对应的复数为9＋i
C．若复数z满足|z＋1－2i|＝1，则|z|的最大值为1＋
D．若复数z1，z2满足＝1－i，z1z2＝2＋i，则|z|＋|z|＝
解析：若2i－3是方程2x2＋px＋q＝0(p，q∈R)的一个根，则方程的两个根分别为x1＝－3＋2i，x2＝－3－2i，所以－＝x1＋x2＝－6，＝x1x2＝13，所以p＝12，q＝26，故A错误；由题意可知＝(6，5)，＝(－3，4)，所以＝－＝(6，5)－(－3，4)＝(9，1)，所以向量对应的复数为9＋i，故B正确；设z＝x＋yi，x，y∈R，若复数z满足|z＋1－2i|＝1，则在复平面内点Z(x，y)在圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1上，圆C的圆心C(－1，2)，半径r＝1，则|z|的几何意义为原点O(0，0)到圆C上点的距离，又OC＝，则|z|的最大值为1＋，故C正确；因为＝1－i，z1z2＝2＋i，所以z＝·(z1z2)＝(1－i)(2＋i)＝3－i，z＝＝＝＝＋i，所以|z|＋|z|＝＋＝＋＝，故D正确．故选BCD.
16．（8分）（多选）（2024·福建福州三模）已知复数z1，z2满足|z1＋|＋|z1－|＝4，|z2－2i|＝1，则(　ABC　)
A．|z2|的最小值是1
B．|1|的最大值是2
C．的最大值是3
D．|z1－z2|的最大值是4
解析：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，因为|z2－2i|＝|c＋(d－2)i|＝1，所以c2＋(d－2)2＝1，所以复数z2在复平面内的对应点P在以C(0，2)为圆心，1为半径的圆上，如图1，由图可知，点P到原点的最小距离为1，即|z2|的最小值是1，A正确；因为|z1＋|＋
|z1－|＝＋＝4，所以复数z1在复平面内的对应点Q在以（±，0）为焦点，长轴长为4的椭圆上，由椭圆几何性质可知，点Q到原点的最大距离为2，即|z1|的最大值为2，又|1|＝|z1|，所以|1|的最大值是2，B正确；因为＝＝＋i，所以＝＝＝＝＝，由图1可知，1≤|z1|≤2，1≤|z2|≤3，所以当|z1|＝1，|z2|＝3时，取得最大值3，C正确；如图2，因为|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝表示P，Q的距离，所以|z1－z2|的最大值为|CQ|＋1的最大值，设Q(x，y)，则＋y2＝1，即x2＝4－4y2，所以|CQ|＋1＝＋1＝＋1＝＋1，由二次函数性质可知，当y＝－时，|CQ|＋1取得最大值＋1，D错误．故选ABC.
　
17．（5分）（2024·黑龙江佳木斯三模）复数z＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 024i2 024的虚部是(　D　)
A．1 012 B．1 011
C．－1 011 D．－1 012
解析：因为z＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 024i2 024，z·i＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2 024i2 025，所以z·(1－i)＝i＋i2＋i3＋…＋i2 024－2 024i2 025＝－2 024i2 025＝－2 024i①，所以z＝＝＝＝1 012－1 012i，所以虚部为－1 012.故选D.

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