资源简介

　集合、常用逻辑用语与不等式
1．1　集合
1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．
2．会求两个集合的并集、交集与补集．
3．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集 (或自然数集) 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A).
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(2)任何集合都是自身的子集．
3．集合的基本运算
运算 表示
集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A， 或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A， 且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U， 且x A} UA
教材拓展
1．若集合A中有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集．
2．若A B，B C，则A C.
3．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
4． U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
5．card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B).(　√　)
2．(人教A版必修第一册P14T6改编)已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩( UB)＝{1，3，5，7}，则集合B＝{0，2，4，6，8，9，10}．
解析：因为U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，A∩( UB)＝{1，3，5，7}， UB A，所以 UB＝{1，3，5，7}，故B＝ U( UB)＝{0，2，4，6，8，9，10}．
3．(人教A版必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝2．
解析：因为A∪B＝A，所以B A，所以a＋2∈A.当a＋2＝3，即a＝1时，A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性，不符合题意；当a＋2＝a2时，a＝－1(舍去)或a＝2，此时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意．综上，实数a＝2.
4．(人教A版必修第一册P9T5(2)改编)已知集合A＝{x|0解析：因为B A，所以利用数轴分析法(如图)，可知a≥2.
考点1 集合的含义与表示
【例1】　(1)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的元素只有一个，则实数a的值为(　C　)
A． B．0
C．或0 D．无解
【解析】　集合A中只有一个元素，即方程ax2－3x＋2＝0有一解或有两个相同的实数解，当a＝0时，A＝{x|ax2－3x＋2＝0}＝{x|－3x＋2＝0}＝，符合题意；当a≠0时，ax2－3x＋2＝0有两个相同的实数解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝.综上可得a＝0或a＝.故选C.
(2)已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，2a＋3}，若A＝B，则a＝(　C　)
A．－1或3 B．0
C．3 D．－3
【解析】　∵A＝B，∴a2＝2a＋3，解得a＝－1或a＝3，当a＝－1时，a2＝2a＋3＝1，不满足集合中元素的互异性，舍去．当a＝3时，a2＝2a＋3＝9，此时A＝B＝{0，1，9}，满足题意．综上，a＝3.故选C.
解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的限制条件)构造关系式解决相应问题．
【对点训练1】　(1)设集合A＝{2，4}，B＝{1，2}，集合M＝，则M中所有元素之和为(　C　)
A．3 B．5
C．7 D．9
解析：当x＝2，y＝1时，z＝2；当x＝2，y＝2时，z＝1；当x＝4，y＝1时，z＝4；当x＝4，y＝2时，z＝2.所以M＝{1，2，4}，M中所有元素之和为7.故选C.
(2)已知集合A＝{a＋1，a2＋4a－9，2 025}，若－4∈A，则实数a的值为(　B　)
A．－5 B．1
C．5或－1 D．－5或1
解析：∵A＝{a＋1，a2＋4a－9，2 025}，且－4∈A，∴－4＝a＋1或－4＝a2＋4a－9，若－4＝a2＋4a－9，则a＝－5或a＝1，当a＝－5时，a＋1＝－4，a2＋4a－9＝－4，此时不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，a＋1＝2，a2＋4a－9＝－4，此时A＝{2，－4，2 025}，符合题意．若a＋1＝－4，则a＝－5，此时不满足集合中元素的互异性，故舍去．综上所述，实数a的值为1.故选B.
考点2 集合的基本关系
【例2】　(1)(2024·山西阳泉三模)设集合P＝{y|y＝ex＋1}，M＝{x|y＝log2(x－2)}，则集合M与集合P的关系是(　C　)
A．M＝P B．P∈M
C．M P D．P M
【解析】　函数y＝ex＋1的值域为(1，＋∞)，函数y＝log2(x－2)的定义域为(2，＋∞)，即P＝(1，＋∞)，M＝(2，＋∞)，所以有M P.故选C.
(2)(2024·河北秦皇岛三模)若集合A＝{x|≤a}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，且A B，则a的取值范围为(　D　)
A．[0，1] B．[0，]
C．(－∞，1] D．(－∞，]
【解析】　由x2－2x－3≤0，即(x＋1)(x－3)≤0，解得－1≤x≤3，所以B＝{x|x2－2x－3≤0}＝[－1，3]，当a<0时，A＝{x|≤a}＝ ，符合A B，当a≥0时，由≤a，解得0≤x≤a2，所以A＝{x|≤a}＝{x|0≤x≤a2}，因为A B，所以解得0≤a≤.综上可得a的取值范围为(－∞，].故选D.
1．空集是任何集合的子集，在涉及集合的基本关系问题中，如无特殊说明，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
2．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【对点训练2】　(1)(2024·广东汕头三模)已知集合M＝{x∈N|log2x≤1}，N＝{－1，0，1，2}，若M A N，则满足条件的集合A的个数为(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意可得M＝{x∈N|log2x≤1}＝{x∈N|0(2)(2024·广东深圳模拟)定义两集合M，N的差集：M－N＝{x|x∈M且x N}．已知集合A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，则A－(A－B)的子集个数是(　B　)
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：因为A＝{2，3，5}，B＝{3，5，8}，所以A－B＝{2}，所以A－(A－B)＝{3，5}，有两个元素，则A－(A－B)的子集个数是22＝4.故选B.
考点3 集合的运算
命题角度1　集合的运算
【例3】　(1)(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3A．{x|－1≤x<1}
B．{x|x>－3}
C．{x|－3D．{x|x<4}
【解析】　集合M＝{x|－3(2)(2024·全国甲卷理)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A(A∩B)＝(　D　)
A．{1，4，9} B．{3，4，9}
C．{1，2，3} D．{2，3，5}
【解析】　因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}＝{1，4，9，16，25，81}，所以 A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D.
命题角度2　根据集合的运算求参数
【例4】　(2024·福建宁德三模)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}．若A∩B＝A，则m的取值范围是(　D　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
【解析】　由A∩B＝A，得A B，由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，则有解得即m≥5.故选D.
1．对于集合的运算问题，若所给集合是用描述法表示的，则需要将其具体化，如求出不等式的解集，再结合数轴和Venn图进行集合之间的运算．
2．若所给集合中带有参数，在进行运算时要注意参数范围的边界值是否可以取到．
【对点训练3】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
解析：集合A＝{x|－5(2)(2024·湖南邵阳三模)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是(　D　)
A．{x|－1≤x≤6}
B．{x|x<－1}
C．{x|x>6}
D．{x|x<－1或x>6}
解析：因为A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤6}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤6}，所以题图中阴影部分表示的集合 U(A∪B)＝{x|x<－1或x>6}．故选D.
(3)(2024·广东佛山二模)已知集合A＝{x|x2－x≥0}，B＝{x|xA．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
解析：由x2－x≥0，可得x≥1或x≤0，即A＝{x|x≥1或x≤0}，由A∪B＝R，B＝{x|x考点4 集合的新定义问题
【例5】　大数据时代，常需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A×B，即A×B＝{(x，y)|x∈A且y∈B}．关于任意非空集合M，N，T，下列说法一定正确的是(　D　)
A．M×N＝N×M
B．(M×N)×T＝M×(N×T)
C．M×(N∪T)(M×N)∪(M×T)
D．M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)
【解析】　对于A，若M＝{1}，N＝{1，2}，则M×N＝{(1，1)，(1，2)}，N×M＝{(1，1)，(2，1)}，M×N≠N×M，A错误；对于B，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×N＝{(1，2)}，(M×N)×T＝{((1，2)，3)}，而M×(N×T)＝{(1，(2，3))}，(M×N)×T≠M×(N×T)，B错误；对于C，若M＝{1}，N＝{2}，T＝{3}，则M×(N∪T)＝{(1，2)，(1，3)}，M×N＝{(1，2)}，M×T＝{(1，3)}，M×(N∪T)＝(M×N)∪(M×T)，C错误；对于D，任取元素(x，y)∈M×(N∩T)，则x∈M且y∈N∩T，则y∈N且y∈T，于是(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，即(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，反之若任取元素(x，y)∈(M×N)∩(M×T)，则(x，y)∈M×N且(x，y)∈M×T，因此x∈M，y∈N且y∈T，即x∈M且y∈N∩T，所以(x，y)∈M×(N∩T)，即M×(N∩T)＝(M×N)∩(M×T)，D正确．故选D.
解决以集合为背景的新定义问题的关键
(1)紧扣新定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中，这是破解新定义集合问题的关键所在．
(2)用好集合的性质：解题时要善于从题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．
【对点训练4】　(2024·浙江绍兴模拟)对于集合A，B，定义A\B＝{x|x∈A且x B}，则对于集合A＝{x|x＝6n＋5，n∈N}，B＝{y|y＝3m＋7，m∈N}，C＝{x|x∈A________B且x<1 000}，以下说法正确的是(　B　)
A．若在横线上填入“∩”，则C的真子集有(212－1)个
B．若在横线上填入“∪”，则C中元素个数大于250
C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有(2153－2)个
D．若在横线上填入“∪ N”，则 NC中元素个数为13
解析：x＝6n＋5＝3(2n＋1)＋2，y＝3m＋7＝3(m＋2)＋1，集合A，B无公共元素，对于A，集合C为空集，没有真子集，A错误；对于B，由6n＋5<1 000得n<165，由3m＋7<1 000得m<331，因此C中元素个数为166＋331＝497，B正确；对于C，C中元素个数为166，非空真子集个数为2166－2，C错误；对于D， NC＝ N[A∪( NB)]＝( NA)∩[ N( NB)]＝( NA)∩B，而B NA，因此 NC中元素个数为331，D错误．故选B.
【例】　已知关于x的不等式ax－1＞0的解集为M，若2∈M且1 M，则实数a的取值范围是．
【解析】　因为2∈M，所以2适合不等式，即2a－1＞0，解得a＞.因为1 M，所以1不适合不等式，即a－1≤0，解得a≤1.综上，a∈.
本题难度低，计算量小，但是考查形式与常见的集合考查形式不一样，学生很容易陷入思维定式，不能深刻理解本题为对元素与集合关系的考查，导致无法作答，复习过程中应从各种角度加强对基础概念的理解．
课时作业1
1．（5分）集合U＝{0，1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}，则 U(A∪B)＝(　C　)
A．{0，1，3，4} B．{1，2，3}
C．{0，4} D．{0}
解析：因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4<0}＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}，又集合U＝{0，1，2，3，4}，所以 U(A∪B)＝{0，4}．故选C.
2．（5分）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1 A}，则集合B中所有元素之和为(　C　)
A．0 B．1
C．－1 D．
解析：根据条件分别令m2－1＝－1，0，1，解得m＝0，±1，±，又m－1 A，所以m＝－1，±，B＝{－1，，－}，所以集合B中所有元素之和是－1.故选C.
3．（5分）（2024·安徽安庆二模）若集合P＝{x|－2≤xA．8 B．7
C．6 D．4
解析：根据题意，当m＝时，集合P＝＝{－2，－1，0}，集合P中有3个元素，所以集合P的非空真子集个数为23－2＝6.故选C.
4．（5分）已知集合A＝{1，－1}，B＝{1，0，－1}，则集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}中元素的个数为(　D　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：当a＝1时，b＝1，0，－1，则a－b＝0，1，2；当a＝－1时，b＝1，0，－1，则a－b＝－2，－1，0.所以集合C＝{a－b|a∈A，b∈B}＝{－2，－1，0，1，2}，所以元素的个数为5.故选D.
5．（5分）（2024·广东广州三模）已知集合A＝{x|－3A．A∩( RB) B． R(A∩B)
C．( RA)∪B D．( RA)∩B
解析：由题得A＝{x|－33}，故C错误；( RA)∩B＝{x|4≤x<5}，故D正确．故选D.
6．（5分）（2024·河北邢台二模）已知集合A＝{－7，－3，－1，2}，B＝{x|aA．(－4，－3) B．[－4，－3]
C．(－4，0] D．[－7，－3)
解析：一方面，若A∩B中有2个元素x，y(x7．（6分）（多选）已知非空集合M，N，P均为R的真子集，且MNP，则(　CD　)
A．M∪P＝M B．N(P∩M)
C． RP RN D．M∩( RN)＝
解析：由题意知MNP，对于A，可知M∪P＝P，故A错误；对于B，因为P∩M＝M，所以P∩M为N的真子集，故B错误；对于C，可知 RP为 RN的真子集，故C正确；对于D，因为 RN为 RM的真子集，且M∩( RM)＝ ，所以M∩( RN)＝ ，故D正确．故选CD.
8．（6分）（多选）（2024·云南曲靖二模）已知集合S，T，定义ST＝{xy|x∈S，y∈T}，则下列命题正确的是(　BD　)
A．若S＝{1 921，1 949}，T＝{0，1}，则ST与TS的全部元素之和等于3 874
B．若S＝{2 021}，R表示实数集，R＋表示正实数集，则SR＝R＋
C．若S＝{2 024}，R表示实数集，则RS＝R
D．若S＝{2 049}，R＋表示正实数集，函数f(x)＝log2 024x，x∈(R＋)S，则2 049属于函数f(x)的值域
解析：对于A，因为S＝{1 921，1 949}，T＝{0，1}，根据所给定义可得TS＝{0，1}，ST＝{1，1 921，1 949}，则ST与TS的全部元素之和等于3 872，故A错误；对于B，SR＝{y|y＝2 021x，x∈R}＝R＋，故B正确；对于C，RS＝{y|y＝x2 024，x∈R}，表示幂函数y＝x2 024(x∈R)的值域，可知幂函数y＝x2 024(x∈R)的值域为[0，＋∞），即RS＝[0，＋∞），故C错误；对于D，因为x∈(R＋)S＝{x|x＝t2 049，t>0}，当t＝2 024时，则x＝2 0242 049，可得f(2 0242 049)＝log2 0242 0242 049＝2 049，故D正确．故选BD.
9．（5分）（2024·江西九江三模）若集合A＝{x|log3(x－1)<1}，B＝{x|1≤x<2}，则A∩( RB)＝{x|2≤x<4}．
解析：∵log3(x－1)<1，∴010．（5分）（2024·山东日照二模）设m∈R，i为虚数单位．若集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，B＝{0，1，2}，且A B，则m＝1．
解析：由集合A＝{1，2m＋(m－1)i}，B＝{0，1，2}，因为A B，所以当2m＋(m－1)i＝0时，方程组无解；当2m＋(m－1)i＝2时，解得m＝1.综上可得，实数m的值为1.
11．（16分）已知集合A＝{x|a－1(1)当a＝2时，求A∪B和A∩B；
(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，A＝{x|1所以A∪B＝{x|－1≤x<3}，A∩B＝.
(2)由A∪B＝B，得A B，显然A≠ ，于是解得0≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
12．（16分）已知集合A＝{x|x－2≥0}，B＝{x|(x－3)(x－5)<0}．
(1)求A∪B， R(A∩B)；
(2)定义M－N＝{x|x∈M且x N}，求A－B.
解：(1)A＝{x|x≥2}，B＝{x|3所以A∪B＝{x|x≥2}，A∩B＝{x|3所以 R(A∩B)＝{x|x≤3或x≥5}．
(2)因为M－N＝{x|x∈M且x N}，A＝{x|x≥2}，B＝{x|3A－B就是求属于集合A但又不属于集合B的元素构成的集合，所以A－B＝{x|2≤x≤3或x≥5}．
13．（5分）（2024·四川成都二模）如图，已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|x<1}，则阴影部分表示的集合为(　B　)
A．(1，2) B．[1，2）
C．(0，1] D．（0，1)
解析：因为A＝{x|log2x<1}＝{x|014．（5分）某校为调查学生参加研究性学习的情况，从全校学生中随机抽取100名学生，其中参加“数学类”的有80名，既参加“数学类”又参加“理化类”的有60名，“数学类”和“理化类”都没有参加的有10名，则该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是(　C　)
A．0.5 B．0.6
C．0.7 D．0.8
解析：设参加“数学类”的学生构成集合A，参加“理化类”的学生构成集合B，其中只参加“理化类”的学生人数为x，样本中的100名学生构成全集U，根据题意画出Venn图，如图所示，可得80＋x＋10＝100，解得x＝10，所以参加“理化类”的学生人数为60＋10＝70，所以该校参加“理化类”研究性学习的学生人数与该校学生总数的比值的估计值是＝0.7.故选C.
15．（6分）（多选）对任意集合A，B R，记A B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，则称A B为集合A，B的对称差，例如，若A＝{0，1，2}，B＝{1，2，3}，则A B＝{0，3}，下列命题中为真命题的是(　ABC　)
A．若A，B R且A B＝ ，则A＝B
B．若A，B R且A B＝B，则A＝
C.存在A，B R，使得A B＝( RA) ( RB)
D．若A，B R且A B A，则A B
解析：对于A，因为A B＝ ，所以{x|x∈A∪B且x A∩B}＝ ，即A∪B与A∩B是相等的，所以A＝B，故A符合题意；对于B，因为A B＝B，所以{x|x∈A∪B且x A∩B}＝B，所以A B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A＝ ，故B符合题意；对于C，A＝B时，A B＝ ，( RA) ( RB)＝ ＝A B，故C符合题意；对于D，因为A B A，所以{x|x∈A∪B且x A∩B} A，所以B A，故D不符合题意．故选ABC.

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