资源简介

1．2　常用逻辑用语
1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．
2．理解全称量词与存在量词的意义，能正确使用存在（或全称）量词对全称（或存在）量词命题进行否定．
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一 个x，p(x)成立 存在M中的元 素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
教材拓展
1．注意区分“A是B的充分不必要条件（A B且BA）”与“A的充分不必要条件是B（B A且AB）”两者的不同．
2．充要关系与集合基本关系之间的联系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若A?B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
3．p是q的充分不必要条件等价于 q是 p的充分不必要条件．
4．含有量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．
5．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．
6．命题p和 p的真假性相反，当判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．(　√　)
(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(　√　)
(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　√　)
(4)命题“ x∈R，sin2＋cos2＝”是真命题．(　×　)
2．（人教A版必修第一册P30例4(1)改编）命题“ x∈R，使得n≥x2”的否定形式是(　C　)
A． x∈R，使得nB． x∈R，使得n≤x2
C． x∈R，使得nD． x∈R，使得n≤x2
解析：由命题的否定的定义，因为原命题是“ x∈R，使得n≥x2”，因此其否定形式应该把全称量词 改为存在量词 ，把n≥x2改为n3．（人教A版必修第一册P22习题1.4T2改编）“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的(　B　)
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：显然a2＋b2＝0，则a＝0，b＝0，有ab＝0，即a2＋b2＝0 ab＝0，而ab＝0，取a＝0，b＝1，a2＋b2≠0，则ab＝0不能推出a2＋b2＝0，所以“ab＝0”是“a2＋b2＝0”的必要不充分条件．故选B.
4．若“x＝1”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围为(－∞，1)．
解析：∵“x＝1”是“x>a”的充分条件，∴x＝1 x>a，∴a<1，即实数a的取值范围为(－∞，1).
考点1充分、必要条件的判断
【例1】　(1)（2024·天津滨海新区三模）已知a，b∈R，则“a>b”是“(a－b)>0”的(　D　)
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【解析】　当a<0时，显然(a－b)>0不成立，即充分性不成立；当(a－b)>0时，显然有>0，则a>b一定成立，即必要性成立．所以“a>b”是“(a－b)>0”的必要不充分条件．故选D.
(2)（2024·天津卷）设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　C　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】　由函数y＝x3单调递增可知，若a3＝b3，则a＝b；由函数y＝3x单调递增可知，若3a＝3b，则a＝b.故“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C.
(3)（多选）已知p：x2－4x<0，则p成立的一个充分不必要条件是(　BD　)
A．－2C．0【解析】　由x2－4x<0，解得0充分、必要条件的两种常用判断方法
(1)定义法：根据p q，q p是否成立进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．
【对点训练1】　(1)（2024·天津河北区二模）设x∈R，则“1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由|x－2|<1可得－1(2)（2024·天津红桥区一模）已知a，b∈R，则“a>b”是“a2 024>b2 024”的(　D　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C.充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝1，b＝－2时，a>b，a2 024b2 024，ab”是“a2 024>b2 024”的既不充分也不必要条件．故选D.
考点2 根据充分、必要条件求参数
【例2】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).
(1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(0，3]；
(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为[9，＋∞）．
【解析】　(1)因为p是q的必要不充分条件，所以或解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3].
（2)因为p是q的充分不必要条件，所以或解得m≥9，即实数m的取值范围为[9，＋∞）.
由充分、必要条件求参数范围的策略
(1)巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形．
(2)端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意对取值区间端点值的检验，从而确定取舍．
(3)考虑空集的情况．
【对点训练2】　(1)（2024·山东济南二模）已知A＝{x|1A．a≤1 B．a≥1
C．a≤2 D．a≥2
解析：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A?B，所以a≥2.故选D.
(2)若“x>2m2－3”是“－1A．[－3，3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1，1]
解析：∵“x>2m2－3”是“－1考点3 全称量词与存在量词
命题角度1　含量词命题的否定及真假判断
【例3】　(1)（2024·山东青岛三模）已知命题p： x∈，sin xA． x ，sin x>x
B． x∈，sin x>x
C． x ，sin x≥x
D． x∈，sin x≥x
【解析】　命题p： x∈，sin x(2)（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x.则(　B　)
A．p和q都是真命题
B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题
D． p和 q都是真命题
【解析】　对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B.
命题角度2　含量词命题的应用
【例4】　若命题“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－∞，4] B．（－∞，4)
C．(－∞，－4) D．[－4，＋∞）
【解析】　因为“ x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，所以“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，即方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范围是（－∞，4].故选A.
含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明所有情况都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一种情况成立即可．当一个命题的真假不易判断时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，可直接由命题的真假求参数的范围，也可利用等价命题求参数的范围．
【对点训练3】　(1)命题“ x≥3，x2－2x＋3<0”的否定是(　B　)
A． x≥3，x2－2x＋3<0
B． x≥3，x2－2x＋3≥0
C． x<3，x2－2x＋3≥0
D． x<3，x2－2x＋3≥0
解析：因为命题“ x≥3，x2－2x＋3<0”为存在量词命题，所以其否定为“ x≥3，x2－2x＋3≥0”．故选B.
(2)若命题“ x∈[－1，2]，使x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(－∞，1] B．（－∞，2)
C．(－∞，5) D．(5，＋∞)
解析：由题意知命题“ x∈[－1，2]，使x2＋1>m”是真命题，所以m<(x2＋1)max，当且仅当x＝2时，有(x2＋1)max＝22＋1＝5，所以实数m的取值范围是(－∞，5).故选C.
课时作业2
1．（5分）命题“ x∈R，x2＋x＋1>0”的否定为(　B　)
A． x∈R，x2＋x＋1<0
B． x∈R，x2＋x＋1≤0
C． x R，x2＋x＋1≤0
D． x∈R，x2＋x＋1<0
解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题可知命题“ x∈R，x2＋x＋1>0”的否定为“ x∈R，x2＋x＋1≤0”．故选B.
2．（5分）（2024·广东梅州二模）常言道：“不经历风雨，怎么见彩虹”．就此话而言，“经历风雨”是“见彩虹”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意，经历风雨不一定会见彩虹，但见彩虹一定是经历风雨，所以“经历风雨”是“见彩虹”的必要不充分条件．故选B.
3．（5分）下列命题中的假命题是(　B　)
A． x∈R，lg x＝0 B． x∈R，x2>0
C． x∈R，tan x＝1 D． x∈R，3x>0
解析：对于A， x∈R，lg x＝0，是真命题，如：lg 1＝0；对于B， x∈R，x2>0，是假命题，如：02不大于0；对于C， x∈R，tan x＝1，是真命题，如：tan ＝1；对于D， x∈R，3x>0，由指数函数的性质知道它是真命题．故选B.
4．（5分）已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若a＝b＝0，则|a＋b|＝0，即充分性成立；若|a＋b|＝0，例如a＝1，b＝－1，满足条件，但a＝b＝0不成立，即必要性不成立．综上所述，“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要条件．故选A.
5．（5分）已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的(　D　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝－1，b＝4时，p不能推出q，当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.
6．（5分）（2024·江西南昌三模）已知p：“x>2”，q：“x2－x－a>0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　B　)
A． B．（－∞，2]
C． D．[2，＋∞）
解析：若p是q的充分不必要条件，则x2－x－a>0在x>2时恒成立，即a2时恒成立，令f(x)＝x2－x，由二次函数性质得f(x)在(2，＋∞)上单调递增，则f(x)>f(2)＝2，可得a∈（－∞，2].故选B.
7．（6分）（多选）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　AD　)
A．p是q的充分条件
B．p是s的必要条件
C．r是q的必要不充分条件
D．s是q的充要条件
解析：由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，可得p r，q r，r s，s q，对于A，由p q，所以p是q的充分条件，所以A正确；对于B，由p s，所以p是s的充分条件，所以B不正确；对于C，由r q，所以r是q的充要条件，所以C不正确；对于D，由s q，所以s是q的充要条件，所以D正确．故选AD.
8．（6分）（多选）命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的一个充分不必要条件是(　CD　)
A．m>－2 B．m>－1
C．m>0 D．m>1
解析：由题意，存在x>0，使得mx2＋2x－1>0，即m>＝－2×＝－1，当－1＝0，即x＝1时，的最小值为－1，故m>－1.所以命题“存在x>0，使得mx2＋2x－1>0”为真命题的充分不必要条件是{m|m>－1}的真子集，结合选项可得，C和D项符合条件．故选CD.
9．（5分）（2024·山东潍坊二模）已知命题p： x∈[－1，1]，x2>a，则 p为 x∈[－1，1]，x2≤a．
解析：由存在量词命题的否定为全称量词命题可得 p为 x∈[－1，1]，x2≤a.
10．（5分）方程x2－ax＋a－1＝0有一正一负根的充要条件是a<1．
解析：x2－ax＋a－1＝0有一正一负根 a－1<0 a<1.
11．（16分）已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＋1>0为真命题．
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设B＝{x|2m解：(1)依题意，关于x的不等式x2＋4x＋a＋1>0在R上恒成立，
于是得Δ＝16－4(a＋1)<0，解得a>3，所以实数a的取值集合A＝{a|a>3}．
(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B为A的真子集．
又B＝{x|2m所以实数m的取值范围为.
12．（16分）求证：等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.
证明：充分性：若a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2，则等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2显然对任意实数x恒成立，充分性成立；
必要性：由于等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立，分别将x＝0，x＝1，x＝－1代入可得
解得必要性成立．
故等式a1x2＋b1x＋c1＝a2x2＋b2x＋c2对任意实数x恒成立的充要条件是a1＝a2，b1＝b2，c1＝c2.
13．（5分）命题“ x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是(　A　)
A．a≥0 B．a≥1
C．a≥2 D．a≥3
解析：因为命题“ x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题，所以x2－2a≤0对x∈[－2，1]有解，即2a≥x2对x∈[－2，1]有解，所以2a≥(x2)min，又函数y＝x2在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，当x＝0时，y＝x2取得最小值0，所以2a≥0，即a≥0，故命题“ x∈[－2，1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥0.故选A.
14．（5分）“x>”是“x>2-1”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为2-1>20.7>20.5＝，所以x>2-1能推出x>，且x>不能推出x>2-1，所以“x>”是“x>2-1”的必要不充分条件．故选B.
15．（6分）（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔三模）已知a，b>0，则使得“a>b”成立的一个充分条件可以是(　AD　)
A．<
B．|a－2|>|b－2|
C．a2b－ab2>a－b
D．ln (a2＋1)>ln (b2＋1)
解析：对于A，因为ab>0，<，所以a>b，故A正确；对于B，取a＝1，b＝2，此时满足1>0，但aa－b可得a2b＋b>ab2＋a，则b(a2＋1)>a(b2＋1)，因为a，b>0，即>，所以a＋>b＋，因为函数y＝x＋在(0，＋∞)上不单调，故C错误；对于D，由ln (a2＋1)>ln (b2＋1)可知，a2>b2，因为a，b>0，所以a>b，故D正确．故选AD.

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