资源简介

1．5　一元二次方程、不等式与二次函数
1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．
2．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
3．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
1．一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．三个“二次”之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是 ，要注意区别．
3．分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
4．简单的绝对值不等式
绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为(－a，a).记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
教材拓展
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0.
(3)若a可以为0，则需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.(　√　)
(3)不等式x2≤a的解集为[－，].(　×　)
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0(a<0)的解集为R.(　×　)
2．（人教A版必修第一册P53T1(5)改编）不等式－2x2＋x≤－3的解集为（－∞，－1]∪．
解析：由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，即(2x－3)(x＋1)≥0，解得x≤－1或x≥，故不等式的解集为（－∞，－1]∪.
3．（人教A版必修第一册P55T5改编）已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝R．
解析：已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－40}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R.
4．（人教A版必修第一册P58T6改编）若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（－3，0]．
解析：当k＝0时，满足题意；当k≠0时，
解得－3考点1 一元二次不等式的解法
命题角度1　不含参一元二次不等式的解法
【例1】　（多选）下列选项中，正确的是(　ABD　)
A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}
B．不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2}
C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}
D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件
【解析】　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确；因为－1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0且x－2≠0，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确；由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误；由|x－1|<1，可得－1命题角度2　含参一元二次不等式的解法
【例2】　解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
【解】　原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0，即(ax－2)(x＋1)≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a>0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a<0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当>－1，即a<－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1，满足题意；
当<－1，即－2综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a>0时，不等式的解集为
；
当－2；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；
当a<－2时，不等式的解集为
.
对含参的一元二次不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、为负及为零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的大小关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根之间的大小关系进行讨论．
【对点训练1】　解关于x的不等式：
(1)≤3；
(2)ax2－(2a－1)x－2≥0.
解：(1)由题意得－3＝≤0，
可得
解得x≤或x>1，
所以不等式的解集为∪(1，＋∞).
(2)不等式ax2－(2a－1)x－2≥0可化为(ax＋1)(x－2)≥0，
当a＝0时，x－2≥0，不等式的解集为[2，＋∞）；
当a>0时，不等式化为(x－2)≥0，其解集为∪[2，＋∞）；
当a<0时，不等式化为(x－2)≤0，
①当－<2，即a<－时，不等式的解集为；
②当－＝2，即a＝－时，不等式的解集为{2}；
③当－>2，即－考点2 三个“二次”之间的关系
【例3】　（多选）若存在m，n(mA．x2＋ax＋b≥0的解集为{x|x≤m＋1或x≥n}
B．x2＋ax＋b≤c－x的解集为{x|m＋1≤x≤n}
C．c＝－n
D．a2＋2a>4b－4c
【解析】　对于A，B，因为m1，n－m＝＝，故
>1，两边平方得a2＋2a>4b－4c，D正确．故选AD.
1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值．
2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入法或根与系数的关系求待定系数．
【对点训练2】　（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则(　CD　)
A.a>0
B．a＋b＋c>0
C．bx＋c>0的解集是
D．cx2－bx＋a<0的解集是
解析：由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0，由韦达定理可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a，对于A，因为a<0，故A错误；对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误；对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，解得x>，所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确；对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0，则(5x＋1)(x＋1)>0，解得x>－或x<－1，即解集为，故D正确．故选CD.
考点3 一元二次不等式的恒成立问题
命题角度1　在实数集R上的恒成立问题
【例4】　若命题p：“ x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，则k的取值范围是(　B　)
A．(1，7) B．[1，7）
C．(－7，1) D．（－7，1]
【解】　因为命题“ x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，所以命题“ x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3>0”是真命题，若k2－1＝0，则k＝1或k＝－1，当k＝1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意；当k＝－1时，不等式为8x＋3>0，不恒成立，不满足题意；若k2－1≠0，则需要满足
即解得1命题角度2　在给定区间上的恒成立问题
【例5】　（2025·八省联考）已知函数f(x)＝x|x－a|－2a2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，1] B．[－2，1]
C．[－1，2] D．[－1，＋∞)
【解析】　①若a>2，当22时，f(x)>0，故a>2不符合题意；②若02时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>2a，由于当x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得02时，f(x)＝x2>0恒成立，符合题意；④若a<0，当x>2时，f(x)＝x|x－a|－2a2＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0，解得x>－a，由于当x>2时，f(x)>0，故－a≤2，解得－2≤a<0.综上，a的取值范围为[－2，1].故选B.
命题角度3　给定参数范围的恒成立问题
【例6】　若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　D　)
A．[－1，3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】　不等式x2＋px>4x＋p－3，可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，可得
解得x<－1或x>3.故选D.
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)对于一元二次不等式在R上恒成立问题，可用判别式Δ进行解决；对于一元二次不等式在给定区间上恒成立问题，不能用判别式Δ进行解决，一般用分离参数求最值或分类讨论的方法．
【对点训练3】　已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若不等式对任意x∈(1，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若不等式对任意m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)不存在．理由：原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，原不等式化为－2x＋1＜0，不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立．
(2)因为x＞1，所以m＜.
设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝，
所以m＜＝.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，显然g(t)在(1，＋∞)上单调递增．
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，所以m≤0.
所以m的取值范围是(－∞，0].
（3)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立，
当且仅当
即
由①得＜x＜.
由②得x＜或x＞.
取交集，得＜x＜.
所以x的取值范围是x|＜x＜．
课时作业5（总分：100分）
1．（5分）不等式x(x＋2)A．
B．
C．∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
解析：不等式x(x＋2)2．（5分）不等式>1的解集为(　C　)
A．{x|x<1，x≠－2}
B．{x|x>1}
C．{x|－2D．{x|x<－2或x>1}
解析：不等式>1等价于<0，等价于(x－1)(x＋2)<0，解集为{x|－23．（5分）不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，则b－a的值是(　D　)
A．－3 B．3
C．－5 D．5
解析：因为不等式ax2＋bx－3<0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，所以a<0，x＝1和x＝3是方程ax2＋bx－3＝0的根，所以
即a＝－1，b＝4，则b－a＝5.故选D.
4．（5分）已知mx2＋mx＋1≥0对一切实数x恒成立，则m的取值范围是(　D　)
A．0C．m≥4 D．0≤m≤4
解析：当m＝0时，原不等式化为1≥0，恒成立．当m≠0时，需满足所以05．（5分）若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是(　C　)
A．(－2，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．（－∞，2]
解析：由 x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0，得m0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，则m<2，所以m的取值范围是(－∞，2).故选C.
6．（5分）已知对任意m∈[1，3]，mx2－mx－1<－m＋5恒成立，则实数x的取值范围是(　D　)
A．
B．∪
C．
D．
解析：对任意m∈[1，3]，不等式mx2－mx－1<－m＋5恒成立，即对任意m∈[1，3]，m(x2－x＋1)<6恒成立，所以对任意m∈[1，3]，x2－x＋1<恒成立，所以对任意m∈[1，3]，x2－x＋1<＝2，所以x2－x＋1<2，解得7．（6分）（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　ABD　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}
C．a＋b＋c>0
D．不等式cx2－bx＋a<0的解集为－∞，－∪
解析：对于A，∵关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a>0，A正确；对于B，已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，不等式bx＋c>0，即－ax－6a>0，即x＋6<0，解得x<－6，B正确；对于C，a＋b＋c＝－6a<0，C错误；对于D，不等式cx2－bx＋a<0，即－6ax2＋ax＋a<0，即6x2－x－1>0，解得x<－或x>，D正确．故选ABD.
8．（6分）（多选）已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　ACD　)
A．
B．{x|x>－2}
C．
D．
解析：当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)>0 x<－2；当a>0时，(ax－2)(x＋2)＝a(x＋2)>0 x>或x<－2，故A正确；当a<0时，(ax－2)(x＋2)＝a(x＋2)>0，若＝－2 a＝－1，则解集为空集，若<－2 －1－2
a<－1，则不等式的解集为，故C，D正确．故选ACD.
9．（5分）满足2解析：由20，(x－1)2>0，解得x≠1，由x2－2x＋3<3，得x2－2x<0，解得010．（5分）命题q： x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0.若q为真命题，则实数a的取值范围是(－∞，2)．
解析：因为 x∈（－∞，－2]，x2＋2x－a＋2>0为真命题，则a11．（16分）已知函数f(x)＝x2－3x＋a.
(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)<0在x∈（－1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，则Δ＝(－3)2－4a<0，得a>，所以实数a的取值范围是.
(2)由题意知，a<－x2＋3x在x∈（－1，2]上恒成立，则a<(－x2＋3x)min，
－x2＋3x＝－＋，当x∈（－1，2]时，－x2＋3x的取值范围是，
所以a≤－4，
则实数a的取值范围是（－∞，－4].
12．（17分）已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式f(x)>x2＋ax－1－a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a∈R，解不等式f(x)>1.
解：(1)f(x)>x2＋ax－1－a对一切实数x恒成立，则ax2＋x－a>x2＋ax－1－a，所以不等式(a－1)x2＋(1－a)x＋1>0的解集为R，
所以当a＝1时，不等式为1>0，解集为R，符合题意；
当a≠1时，则
解得1综上所述，实数a的取值范围是[1，5）.
(2)原不等式可化为ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax＋a＋1)>0，
若a＝0，则x－1>0，解集为{x|x>1}；
若a>0，则1>－，解集为；
若a<0，则(x－1)<0，
因为1－＝，
所以当－当a＝－时，(x－1)2<0，解集为 ，
当a<－时，1>－，解集为．
综上，当a>0时，f(x)>1的解集为；
当a＝0时，f(x)>1的解集为{x|x>1}；
当－1的解集为；
当a＝－时，f(x)>1的解集为 ；
当a<－时，f(x)>1的解集为．
13．（5分）对任意x∈[1，2]，不等式ax2－2x＋3a<0恒成立，则实数a的取值范围是(　D　)
A．（－∞，） B．
C． D．
解析：不等式ax2－2x＋3a<0恒成立，即a<，即a<，x∈[1，2]，y＝＝，y＝x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝时，等号成立，当x∈[1，]时，y＝x＋单调递减，当x∈[，2]时，y＝x＋单调递增，当x＝1时，y＝1＋＝4，当x＝2时，y＝2＋＝，所以y＝x＋的取值范围是[2，4]，所以y＝的取值范围是，所以y＝的最小值是，所以a<.故选D.
14．（5分）若关于x的不等式x2－(m＋2)x＋2m<0的解集中恰有2个整数，则实数m的取值范围为(　A　)
A．[－1，0）∪(4，5] B．[－1，0)∪(2，5]
C．（－2，0)∪(2，5] D．（－2，0)∪（3，5]
解析：由x2－(m＋2)x＋2m<0，得(x－m)(x－2)<0，当m＝2时，不等式的解集为 ，不符合题意，舍去，当m<2时，不等式的解集为{x|m2时，不等式的解集为{x|215．（5分）已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0A．－4 B．－5
C．－6 D．－7
解析：因为一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0

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