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八　 圆锥曲线中的对称问题
掌握解决两种对称问题的一般方法，会求解与对称有关的综合问题．
考点1 关于点对称
【例1】　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P（，1），F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且·＝1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|，设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
【解】　(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则1＝（－c－，－1），2＝（c－，－1）.因为·＝－c2＋2＋1＝1，所以c＝.又P（，1）在椭圆上，故＋＝1，又a2＝b2＋2，解得a2＝4，b2＝2，
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ>0，得m2<4k2＋2(*)，且x1＋x2＝，因此y1＋y2＝，
所以D.
又N(0，－m)，所以|ND|2＝＋，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3，
故2k2＋1＝，
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，所以y′＝1－，
当t≥3时，y′>0，从而y＝t＋在[3，＋∞）上单调递增，
因此t＋≥，当且仅当t＝3时等号成立，此时k＝0，所以≤1＋3＝4，
由(*)得－设∠EDF＝2θ，则sin θ＝≥，所以θ的最小值为，
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率为0.
综上所述，当k＝0，m∈（－，0）∪（0，）时，∠EDF取得最小值.
“中心对称”利用的几何特征是“中点”，即设(x0，y0)为已知曲线f(x，y)＝0上任一点，其关于点(a，b)的对称点为(x，y)，则从而解得而f(x0，y0)＝0，即可得到f(2a－x，2b－y)＝0.
【对点训练1】　已知F(c，0)是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点，M(2c，c)，原点O到直线MF的距离为，点在E上．
(1)求E的方程；
(2)过点F作直线与E交于A，B两点，直线MA，MB与y轴分别交于H，G两点，求证：H，G关于点(0，－1)对称．
解：(1)由题意可得直线MF的方程为y＝(x－c)，即x－y－c＝0.
原点O到直线MF的距离为＝，解得c＝1.因为点在E上，所以2a＝＋＝2，即a＝，又b2＝a2－c2＝1，所以E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：当直线AB的斜率为0时，可得H（0，－1），G（0，－－1），
所以H，G关于点(0，－1)对称．
当直线AB的斜率不为0或不存在时，设过点F的直线方程为x＝my＋1，点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
将直线方程与椭圆方程联立，得
消去x，得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
则y1＋y2＝，y1y2＝.
直线MA的方程为y－1＝(x－2)，令x＝0，得yH＝，
同理可得yG＝.
所以＝
＝＝＝－1.
所以HG的中点为(0，－1)，即H，G关于点(0，－1)对称．
考点2 关于直线对称
【例2】　已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(c，0)，且满足c－b＝－1，c2－b2＝2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若E上存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且满足·＝0（O为坐标原点），求l的方程．
【解】　(1)由c－b＝－1，c2－b2＝2，可得c＋b＝＝＋1，解得c＝，b＝1，a2＝4，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知当k＝0时，直线l：y＝，
此时E上不会存在M，N两点关于直线l：y＝对称，不合题意，
故设直线MN的方程为y＝－x＋t，联立
整理得x2－x＋4t2－4＝0，
需满足Δ＝16>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝，
故y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2t＝－＋2t＝，
y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋t2＝，
故MN的中点坐标为，
即，
由于M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，
故将该点坐标代入y＝kx＋得＝k·＋，化简得t＝－.
由·＝0可得(x1，y1)·(x2，y2)＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以＋＝0，
化简得5k2t2－4k2－4＝0，
将t＝－代入5k2t2－4k2－4＝0中，可得11k4－24k2－80＝0，
解得k2＝4或k2＝－（舍去），
当k2＝4时，t＝－＝－1，满足Δ＝16>0，故k＝±2，
所以l的方程为y＝2x＋或y＝－2x＋.
“轴对称”利用的几何特征是“垂直和平分”，即设(x0，y0)为已知曲线f(x，y)＝0上任一点，其关于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的对称点为(x，y)，则当然有时利用“点差法”也很奏效．
【对点训练2】　在平面直角坐标系中，分别过点A(－2，0)，B(2，0)的直线l1，l2的斜率之积为－.
(1)求l1与l2的交点P的轨迹方程；
(2)已知直线AP与直线x＝2交于点Q，线段QB的中点为M，若点F的坐标为(1，0)，求证：点B关于直线FM的对称点在直线PF上．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则l1的斜率为，l2的斜率为，
由×＝－，化简可得＋＝1(x≠±2)，
所以点P的轨迹方程为＋＝1(x≠±2).
(2)证明：“点B关于直线FM的对称点在直线PF上”等价于“FM平分∠PFB”，如图．
设直线AP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，则Q(2，4k)，M(2，2k)，设点P(x0，y0)，
由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－12＝0，Δ＝144>0，得x0＝且y0＝.
①当PF⊥x轴时，x0＝1，此时k＝±，所以P，Q(2，±2)，M(2，±1)，
此时，点M在∠PFB的平分线所在的直线y＝x－1或y＝－x＋1上，则FM平分∠PFB.
②当k≠±时，直线PF的斜率为kPF＝＝，所以直线PF的方程为4kx＋(4k2－1)y－4k＝0，
所以点M到直线PF的距离d＝＝
＝＝|2k|＝|BM|，
又|BM|即点M到∠PFB的边BF的距离，所以FM平分∠PFB.
综上，点B关于直线FM的对称点在直线PF上．
课时作业62
1．（15分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一动点到两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)的距离之和为4，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)试确定m的取值范围，使得C上存在不同的两点关于l：y＝4x＋m对称．
解：(1)依题意，令动点为P，|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，所以a＝2，又＝，所以c＝1，b2＝3，则椭圆方程为＋＝1.
(2)设存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于l对称，且AB中点Q(x0，y0)，则两式相减，得kAB＝－＝－，所以y0＝3x0，又y0＝4x0＋m，所以
所以＋<1，
所以m∈.
2．（15分）在圆O：x2＋y2＝4上取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E.
(1)求E的方程．
(2)试问：在E上是否存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)设M(x，y)，则点P(x，2y)，将P(x，2y)代入圆O：x2＋y2＝4，可得x2＋4y2＝4，
∴E的方程为＋y2＝1.
(2)存在．
显然，直线MN的斜率存在且不为0，设直线MN的方程为y＝－x＋m，
联立消去y并整理得(k2＋4)x2－8mkx＋4k2(m2－1)＝0，
Δ＝(－8mk)2－16(k2＋4)k2(m2－1)>0，化为k2＋4>k2m2.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
依题意OM⊥ON，可得·＝0，
∴x1x2＋y1y2＝0，
又y1y2＝＝x1x2－(x1＋x2)＋m2，
∴x1x2＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋m2＝0，
即－·＋m2＝0，解得k2＝，
由MN的中点在直线y＝kx＋上，得＝k·＋，
即＝k·＋，化为＋＝0，
把k2＝代入化为10m2＋m－6＝0，
解得m＝（舍去）或m＝－，
∴k2＝＝2，解得k＝±，
满足k2＋4>k2m2，即满足Δ>0，
∴在E上存在M，N两点关于直线l：y＝kx＋对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点，直线l的方程为y＝±x＋.
3．（15分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，（0，）是椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(－2，1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值．如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
解：(1)由题意知b＝，又离心率e＝，所以a＝c，于是有所以a＝2，c＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)是．
由于直线l的斜率为，所以可设直线l的方程为y＝x＋t，
代入椭圆C：x2＋4y2＝8，可得x2＋2tx＋2t2－4＝0.
由于直线l交椭圆C于P，Q两点，所以Δ＝4t2－4(2t2－4)>0，解得－2设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，于是有x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.由于点P与点E关于原点对称，故点E(－x1，－y1)，
设直线AE与AQ的斜率分别为kAE，kAQ，由于点A(－2，1)，
则kAE＋kAQ＝＋＝，
又y1＝x1＋t，y2＝x2＋t，
于是有(2－x1)(y2－1)－(2＋x2)(y1＋1)＝2(y2－y1)－(x1y2＋x2y1)＋x1－x2－4＝x2－x1－(x1x2＋tx1＋tx2)＋x1－x2－4＝－x1x2－t(x1＋x2)－4＝－(2t2－4)－t(－2t)－4＝0，
即kAE＋kAQ＝0.故直线AE与AQ的斜率之和为0.
4．（15分）已知点B(1，0)，点M是圆A：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，线段MB的垂直平分线交半径MA于点P，当点M在圆A上运动时，记点P的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程；
(2)作BQ⊥x轴，交轨迹E于点Q（点Q在x轴的上方），直线l：x＝my＋n(m，n∈R)与轨迹E交于C，D两点（l不过点Q），若CQ和DQ关于直线BQ对称，试求m的值．
解：(1)圆A：(x＋1)2＋y2＝16的圆心A(－1，0)，半径r＝4，
∵点P为线段MB的垂直平分线与半径MA的交点，∴|PM|＝|PB|，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PM|＝|AM|＝4>|AB|＝2，
∴点P的轨迹E是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，2c＝2，∴a＝2，c＝1，b＝＝，
∴轨迹E的方程为＋＝1.
(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
∵BQ⊥x轴，点Q在x轴的上方，
将x＝1代入方程＋＝1，可得y＝±，则Q，
联立可得(3m2＋4)y2＋6mny＋3n2－12＝0，
Δ＝36m2n2－12(3m2＋4)(n2－4)>0，可得n2<3m2＋4，
由根与系数的关系可得y1＋y2＝－，y1y2＝.
∵CQ，DQ关于直线BQ对称，∴kCQ＋kDQ＝0，
则＋＝0 (x1－1)·
＋(x2－1)＝0，
又x1＝my1＋n，x2＝my2＋n，
则2my1y2＋(y1＋y2)－3n＋3＝0，即2m·＋·－3n＋3＝0，
化简得3m2＋(2n－8)m－4n＋4＝0，即(m－2)(3m＋2n－2)＝0，
则m＝2或3m＋2n－2＝0，
当3m＋2n－2＝0时，n＝1－m，
此时，直线l的方程为x＝my＋1－m＝m＋1，
直线l过点Q，不符合题意．
综上所述，m＝2.

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