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8．3　圆的方程
1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．
2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．圆的方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
(2)圆的标准方程：我们把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)称为圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2(r>0)，表示以原点O为圆心，r为半径的圆．
(3)圆的一般方程：对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方得到＋＝.
①当D2＋E2－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆，该方程叫做圆的一般方程；
②当D2＋E2－4F＝0时，该方程表示点；
③当D2＋E2－4F<0时，该方程不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系
已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.
位置 关系 d与r的 大小关系 图示 点P的坐标 满足条件
点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋ (y0－b)2＞r2
点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2
点在 圆内 d教材拓展
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
2．圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
3．圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数．该方程可用来设圆上的点的坐标．
4．阿波罗尼斯圆：古希腊数学家阿波罗尼斯发现，平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆．(　×　)
(3)已知圆的方程为x2－2x＋y2＝0，过点A(1，2)可作该圆的两条切线．(　√　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)
2．(人教A版选择性必修第一册P85T1改编)已知圆的圆心为(－3，4)，半径为5，则它的方程为(　C　)
A．(x－3)2＋(y－4)2＝5
B．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
C．(x＋3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y－4)2＝5
解析：因为圆心为(－3，4)，半径为5，所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝25.故选C.
3．(人教A版选择性必修第一册P102T7改编)若方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　B　)
A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)
C．(－∞，5) D．(5，＋∞)
解析：因为方程x2＋y2＋4x＋2y－m＝0表示一个圆，所以42＋22＋4m>0，解得m>－5，即m的取值范围为(－5，＋∞).故选B.
4．(人教A版选择性必修第一册P85T2改编)已知点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，则实数a的取值范围为(　C　)
A．(－1，＋∞)
B．(－1，0)
C．(－1，0)∪(4，＋∞)
D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析：因为点(1，1)在圆x2＋y2＋ax＋a＝0外，所以解得a∈(－1，0)∪(4，＋∞).故选C.
考点1 圆的方程
【例1】　(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(　D　)
A．(x＋)2＋(y－)2＝
B．(x－)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y＋)2＝
D．(x＋)2＋(y－)2＝2
【解析】　由题意设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a<0，b>0，r>0)，
则即
解得b＝－a＝r＝，所以圆C的方程为(x＋)2＋(y－)2＝2.故选D.
(2)(2024·吉林长春三模)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三点的圆的方程为(　C　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
【解析】　设经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意可得
解得
所以经过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1.故选C.
求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
【对点训练1】　(1)若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则过A，B及原点O三点的圆的方程是(　A　)
A．x2＋y2＋4x－3y＝0
B．x2＋y2－4x－3y＝0
C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0
D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0
解析：直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为(－4，0)，(0，3)，不妨令A(0，3)，B(－4，0)，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得则所求圆的方程为x2＋y2＋4x－3y＝0.故选A.
(2)(2024·北京西城区二模)已知圆C经过点(－1，0)和(3，0)，且与直线y＝2相切，则圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4．
解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则由题意可得
解得所以圆C的方程为(x－1)2＋y2＝4.
考点2 与圆有关的轨迹问题
【例2】　(1)长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　D　)
A．＋＝1 B．－＝1
C．y2＝16x D．x2＋y2＝25
【解析】　设A(x0，0)，B(0，y0)，则x＋y＝100.设M(x，y)，则x＝，y＝，即x0＝2x，y0＝2y，所以(2x)2＋(2y)2＝100，得x2＋y2＝25.故选D.
(2)已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是(　B　)
A．y2＝4x
B．x2＋y2－2x－2y－3＝0
C．x2＋y2－2y－3＝0
D．y2＝－4x
【解析】　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆心C(1，1)，半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，又AM与圆C相切，且|AM|＝2，则|AC|＝＝.设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.故选B.
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
【对点训练2】　(1)平面上一动点P满足|PM|2＋|PN|2＝6，且M(－1，0)，N(1，0)，则动点P的轨迹方程为(　C　)
A．(x＋1)2＋y2＝3 B．(x－1)2＋y2＝3
C．x2＋y2＝2 D．x2＋y2＝3
解析：设P(x，y)，由|PM|2＋|PN|2＝6，所以(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝6，整理得x2＋y2＝2，即动点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.故选C.
(2)已知圆C：x2＋y2＝3，直线l过点A(－2，0)，线段AB的端点B在圆C上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程为(　B　)
A．(x－1)2＋y2＝
B.(x＋1)2＋y2＝
C．x2＋(y－1)2＝
D．(x＋1)2＋y2＝
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，由点M是AB的中点，得可得又点B在圆C上运动，所以x＋y＝3，将上式代入可得(2x＋2)2＋(2y)2＝3，化简整理得点M的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝.故选B.
考点3 与圆有关的最值问题
命题角度1　利用几何性质求最值
【例3】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【解】　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆．设＝k，即y＝kx(x≠0)，则圆心(2，0)到直线y＝kx(x≠0)的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．
由＝，解得k2＝3，
∴kmax＝，kmin＝－.
∴＝，＝－.
(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－.
(3)x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方，
设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，如图，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.
命题角度2　利用函数求最值
【例4】　若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆M：(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为(　D　)
A．－1 B．－1
C．2 D．－1
【解析】　设P(y，y0)，由(x－3)2＋y2＝1可知圆心坐标为M(3，0)，半径r＝1，则|PM|＝＝＝.因此|PM|的最小值为，从而|PQ|的最小值为－1.故选D.
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2的式子的最值问题．
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值．
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
【对点训练3】　(1)(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4y＋1＝0，则下列说法正确的是(　AC　)
A．y－x的最大值为＋2
B．x2＋y2的最大值为2＋
C．x＋y的最大值为＋2
D．的最大值为
解析：方程x2＋y2－4y＋1＝0可化为x2＋(y－2)2＝3，表示圆，设圆的圆心为M，半径r，可得圆心坐标为M(0，2)，半径为r＝，设y－x＝t，即x－y＋t＝0，由≤，解得－＋2≤t≤＋2，即y－x的最大值为＋2，所以A正确；x2＋y2＝[]2，表示原点到圆上点的距离的平方，又|OM|＝2，则的最大值为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2，所以B错误；设x＋y＝n，即x＋y－n＝0，由≤，解得－＋2≤n≤＋2，即x＋y的最大值为＋2，所以C正确；设＝k，即kx－y＝0(x≠0)，由≤，解得k≥或k≤－，所以D错误．故选AC.
(2)已知x2＋y2＋x＋y＝0，则x＋y的取值范围为[－2，0]．
解析： x2＋y2＋x＋y＝0化为＋＝，表示以为圆心，为半径的圆，令x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由题可知，直线和圆有公共点，所以≤，即|t＋1|≤1，解得－2≤t≤0，即x＋y的取值范围为[－2，0].
【例】　已知实数a，b满足 a2＋b2－|a|－|b|＝0(a，b不同时为0)，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　C　)
A．4 B．5
C．6 D．7
【解析】　易知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0(x，y不同时为0)上，当x≥0且y≥0时，曲线方程可化为x2＋y2－x－y＝0，即＋＝，该曲线是以为圆心，为半径的圆在第一象限及x轴、y轴的正半轴上的部分．根据对称性可知曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0既关于原点对称，又关于x轴、y轴对称，而d＝表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，如图所示，当点(a，b)位于点A时，距离最小，当点(a，b)位于点B时，距离最大，易求得A点的坐标为(1，1)，dmin＝＝，则|a＋b－3|min＝1，易求得B点的坐标为(－1，－1)，dmax＝＝，则|a＋b－3|max＝5，故|a＋b－3|的最小值与最大值之和为1＋5＝6.故选C.
本题本质上考查了直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式，但是题目设置上需要学生对题干条件进行转化后，才能利用已有知识解决．本题落实通过“材料信息的丰富性、试题要素的灵活性”的高考命题改革要求，引导学生提升思维品质，减少死记硬背和机械化刷题．
课时作业55
1．（5分）若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　B　)
A．1　　　 B．2
C．3　　　 D．4
解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＝－3a2－4a＋4>0 (3a－2)(a＋2)<0，解得－22．（5分）点(－1，－1)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　A　)
A．－1C．a<－1或a>1 D．a＝±1
解析：因为点(－1，－1)在圆(x＋a)2＋(y－a)2＝4的内部，所以(－1＋a)2＋(－1－a)2<4，化简得a2<1，解得－13．（5分）已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹方程为(　C　)
A．(x－1)2＋y2＝4
B．x2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋1)2＋y2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析：由题可知|PA|2＝4|PO|2，所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，化简得(x＋1)2＋y2＝4.故选C.
4．（5分）已知圆M过点O(0，0)，A(2，0)，B(2，－2)，则圆M的标准方程是(　A　)
A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
解析：由O(0，0)，A(2，0)在圆M上，故圆心在直线x＝1上，由A(2，0)，B(2，－2)在圆M上，故圆心在直线y＝－1上，即圆心M(1，－1)，半径r＝＝，故圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.
5．（5分）已知点A，B在直线l：x－2y－2＝0上运动，且|AB|＝2，点C在圆(x＋1)2＋y2＝5上，则△ABC的面积的最大值为(　A　)
A．8　　　 B．5
C．2　　　 D．1
解析：设圆心到直线的距离为d，C到直线的距离为d1，又圆心坐标为(－1，0)，则d＝＝，又半径为，则当d1最大时，d1＝d＋＝＋，此时△ABC面积也最大，(S△ABC)max＝×2 ×＝8.故选A.
6．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A(2，0)，B（3，2－），C（1，2＋），D(4，a)，若它们都在同一个圆周上，则a的值为(　C　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　 D．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得
解得所以x2＋y2－4x－4y＋4＝0，又因为点D(4，a)在圆上，所以42＋a2－4×4－4a＋4＝0，解得a＝2.故选C.
7．（6分）（多选）已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆
B．当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆
C．当a＝0时，表示的圆的半径为2
D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切
解析：由题意，方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0可化为(x－2)2＋(y＋4)2＝20－2a，当a＝10时，20－2a＝0，方程不表示圆，所以A错误；当a<10时，20－2a>0，方程表示圆心为(2，－4)的圆，所以B正确；当a＝0时，方程表示的圆的半径为2，所以C正确；当a＝8时，可得20－2a＝4，方程表示的圆的半径为2，又圆心坐标为(2，－4)，所以圆心到y轴的距离等于半径，所以圆与y轴相切，所以D正确．故选BCD.
8．（6分）（多选）圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P(m，n)为圆C上的动点，则下列结论正确的是(　AC　)
A．的最大值为
B．m2＋n2的最大值为3
C．m2＋n2的最大值为9
D．无最大值
解析：如图，圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心为C(2，0)，半径为r＝1，设k＝(m≠0)，则km－n＝0，因为点P在圆上，所以≤1，解得－≤k≤，故的取值范围是，故A正确，D错误；因为m2＋n2的几何意义为点P到原点距离的平方，又点P到原点的距离的取值范围为[1，3]，所以m2＋n2的取值范围为[1，9]，故m2＋n2的最大值为9，故B错误，C正确．故选AC.
9．（5分）点A(－2，2)为圆C：(x－2)2＋(y－a)2＝16上一点，点B在圆C上运动，点M满足＝，则点M的轨迹方程为x2＋(y－2)2＝4Ｗ．
解析：因为点A(－2，2)在圆上，所以(－2－2)2＋(2－a)2＝16，解得a＝2.设点M(x，y)，B(x0，y0)，则由＝，可得(x＋2，y－2)＝(x0＋2，y0－2)，解得x0＝2x＋2，y0＝2y－2，又因为点B(x0，y0)满足圆的方程，代入可得(2x＋2－2)2＋(2y－2－2)2＝16，化简得x2＋(y－2)2＝4.
10．（5分）（2024·江西九江二模）欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．这条线称为三角形的欧拉线．已知A(0，2)，B(4，2)，C(a，－1)，且△ABC为圆x2＋y2＋Ex＋Fy＝0的内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为y＝1．
解析：依题意解得所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5，故圆心坐标为(2，1)，即△ABC的外心坐标为(2，1)，△ABC的重心坐标为，又点(2，1)，均在直线y＝1上，所以△ABC的欧拉线方程为y＝1.
11．（16分）已知圆C的圆心为直线x＋y－2＝0与直线3x－y－6＝0的交点，且圆C的半径为.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点P为圆C上任意一点，M(8，0)，点Q满足＝2，求点Q的轨迹方程．
解：(1)由解得则圆心为(2，0)，半径为，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝5.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y).
由＝2，可得(8－x0，－y0)＝2(8－x，－y)，则又点P在圆C上，所以(x0－2)2＋y＝5，即(2x－10)2＋4y2＝5，
化简得(x－5)2＋y2＝，
所以点Q的轨迹方程为(x－5)2＋y2＝.
12．（17分）已知圆C的方程为x2＋y2－2x＋4y－m＝0.
(1)若点A(m，－2)在圆C的内部，求m的取值范围；
(2)当m＝4时，设P(x，y)为圆C上的一个动点，求(x－4)2＋(y－2)2的最小值．
解：(1)圆C的方程即(x－1)2＋(y＋2)2＝5＋m，所以m>－5，
再根据点A(m，－2)在圆C的内部，可得(m－1)2＋(－2＋2)2<5＋m，
解得－1(2)当m＝4时，圆C的方程即(x－1)2＋(y＋2)2＝5＋4＝9，而(x－4)2＋(y－2)2表示圆C上的点P(x，y)到点H(4，2)的距离的平方，由于|HC|＝＝5，故(x－4)2＋(y－2)2的最小值为(5－3)2＝4.
13．（5分）（2024·陕西商洛三模）已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，则的最大值为(　D　)
A．－2 B．－
C． D．
解析：设k＝(x0≠3)，变形可得k(x0－3)－y0－1＝0，则的几何意义为直线k(x－3)－y－1＝0(x≠3)的斜率，圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆C的圆心为(1，1)，半径为1.因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，所以圆C与直线k(x－3)－y－1＝0(x≠3)有公共点，即圆心C(1，1)到直线k(x－3)－y－1＝0(x≠3)的距离不大于圆C的半径，所以≤1，解得≤k≤，即的最大值为.故选D.
14．（5分）在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝
，其中p＝，该公式称为海伦公式，该公式可推广到平面四边形：若四边形ABCD内接于圆E，且四边长分别为a，b，c，d，则四边形ABCD的面积S＝，其中p＝.若面积为12的四边形ABCD内接于圆E，A(－1，0)，B(5，0)，点C，D在x轴上方，且|AD|＝6，|BC|＝|CD|，则圆E的标准方程为(　D　)
A．(x－3)2＋（y－）2＝
B．(x－2)2＋＝
C．(x－3)2＋（y－）2＝12
D．(x－2)2＋（y－）2＝12
解析：由题意得|AB|＝6，设|BC|＝|CD|＝x，则p＝＝6＋x，则四边形ABCD的面积S＝＝6x＝12，所以x＝2.在△ABD中，由余弦定理得|BD|2＝62＋62－2×62×cos A＝72－72cos A，在△BCD中，|BD|2＝（2）2＋（2）2－2×（2）2cos C＝24－24cos C，又四边形ABCD内接于圆E，所以C＝π－A，所以72－72cos A＝24＋24cos A，解得cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝，所以圆E是正三角形BAD的外接圆，其半径r＝＝2，又A(－1，0)，B(5，0)，其中AB的垂直平分线的方程为x＝＝2，故圆心横坐标为2，设圆心纵坐标为n(n>0)，故(5－2)2＋n2＝r2＝12，解得n＝，故等边三角形ABD的外接圆的圆心为（2，），故所求圆的方程为(x－2)2＋（y－）2＝12.故选D.
15．（5分）（2024·湖南长沙一中月考）已知动点P在圆M：(x－m＋1)2＋(y－m)2＝1上，动点Q在曲线y＝ln x上．若对任意的m∈R，|PQ|≥n恒成立，则n的最大值是－1Ｗ．
解析：由题意可知|PQ|≥|QM|－r＝|QM|－1，当且仅当点P在线段QM上时，等号成立，所以求|PQ|的最小值即为求|QM|的最小值，因为⊙M的圆心M(m－1，m)在直线y＝x＋1上，动点Q到直线y＝x＋1的距离即为|QM|的最小值，当动点Q在如图所示位置时动点Q到直线y＝x＋1的距离最小．
对y＝ln x求导，得y′＝，由＝1，得x＝1，则Q(1，0)，则|QM|min＝，因此|PQ|min＝－1，故n的最大值是－1.

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