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同步探究学案
课题 16.2整式的乘法（第1课时） 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．探索单项式与单项式相乘的运算法则。 2．会利用法则进行单项式乘单项式的运算。 3．通过将单项式乘单项式转化为同底数幂的乘法，体会转化思想。
重点 单项式与单项式相乘的运算法则。
难点 单项式与单项式相乘的运算法则的探究和应用。
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：说一说同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的运算法则？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助运算律及幂的运算性质，研究单项式与单项式的乘法。 问题：光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？ 分析：距离＝速度×时间， 根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是____________km． 思考：（1）怎样(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？ （2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？ 解：（1）(3×105)×(5×102) ＝(3×5)×(102×105) （应用了乘法_______、________） ＝________ ＝________ 即：地球与太阳的距离约是________ km． （2）ac5·bc2是单项式____与_____相乘，由于其中的字母表示数，所以同样可以利用乘法交换律、结合律以及____________的运算性质来计算： ac5·bc2 ＝(a·b)·(c5·c2) （乘法的交换律、结合律） ＝abc5＋2 （________的运算性质） ＝______． 归纳：单项式与单项式相乘的运算法则 单项式与单项式相乘，把它们的_____、_________分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的_______作为积的一个因式． 例1：计算. （1）3xy2 2y3； （2）(-5a2b)(-3a)； （3）(2x)3(-5xy2)； （4）(-3x2y)2(-xy3)2. 归纳：单项式与单项式相乘需注意 （1）积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． （2）相同字母相乘是同底数幂的乘法，要按“底数不变，指数相加”进行计算． （3）不要遗漏只在一个单项式因式里出现的字母，要将字母连同它的指数一起作为积的一个因式． （4）单项式乘单项式，结果仍为单项式． 想一想：由(ab)n=a n b n，可知a n b n=(ab)n，据此你能给出例1(4)的其他解法吗？ 例2：计算. （1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc)； （2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2． 归纳：（1）当单项式的个数大于等于3时，单项式与单项式相乘的运算法则同样适用． （2）运算顺序：先进行乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后进行加减运算．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 2．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 3．计算： (1) (2) 选做题： 4．，括号中应填 ． 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：，其中，．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．设，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 3．计算： (1)； (2)． 选做题： 4．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？
【综合拓展类作业】 5．小东家所在小区的物业打算修建一个长方形的活动场地，其长米，宽为a米，在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉，剩下的部分为草坪，求草坪的面积．
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第十六章 整式的乘法
16.2整式的乘法
（第1课时）
1．探索单项式与单项式相乘的运算法则．
2．会利用法则进行单项式乘单项式的运算．
3．通过将单项式乘单项式转化为同底数幂的乘法，体会转化思想．
am·an＝am＋n（m，n都是正整数）．
即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
(am)n＝amn（m，n都是正整数）．
即：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(ab)n＝anbn（n为正整数）．
即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
问题：说一说同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的运算法则？
前面，我们学习了幂的运算性质．本节我们将以运算律及幂的运算性质为基础，研究整式的乘法．
问题：光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？
分析：距离＝速度×时间，
根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是
(3×105)×(5×102)km．
思考：（1）怎样(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？
(3×105)×(5×102)
观察上式可得：
1．式子是乘积的形式，可以使用乘法运算律；
2．式子含有同底数幂，可以使用同底数幂的乘法法则．
思考：（1）怎样(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？
(3×105)×(5×102)
＝(3×5)×(102×105)
＝15×107
＝1.5×108．
地球与太阳的距离约是1.5×108 km．
乘法交换律
乘法结合律
思考：（1）怎样(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？
ac5·bc2
ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘，由于其中的字母表示数，所以同样可以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算：
思考：（1）怎样(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？
（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？
ac5·bc2
＝(a·b)·(c5·c2)
＝abc5＋2
＝abc7．
（乘法的交换律、结合律）
（同底数幂的运算性质）
单项式与单项式相乘的运算法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例1：计算.
（1）3xy2 2y3； （2）(-5a2b)(-3a)；
（3）(2x)3(-5xy2)； （4）(-3x2y)2(-xy3)2.
解：（1）3xy2 2y3
=(3×2)x (y2 y3)
=6xy5；
（2）(-5a2b)(-3a)
=[(-5)×(-3)](a2 a) b
=15a3b；
（1）积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．
（2）相同字母相乘是同底数幂的乘法，要按“底数不变，指数相加”进行计算．
（3）不要遗漏只在一个单项式因式里出现的字母，要将字母连同它的指数一起作为积的一个因式．
（4）单项式乘单项式，结果仍为单项式．
单项式与单项式相乘需注意
例1：计算.
（1）3xy2 2y3； （2）(-5a2b)(-3a)；
（3）(2x)3(-5xy2)； （4）(-3x2y)2(-xy3)2.
解：（3）(2x)3(-5xy2)
=8x3 (-5xy2)
=[8×(-5)](x3 x) y2
=-40x4y2；
（4）(-3x2y)2(-xy3)2
=9x4y2 x2y6
=9(x4 x2)(y2 y6)
=9x6y8.
由(ab)n=a n b n，可知a n b n=(ab)n，据此你能给出例1(4)的其他解法吗？
例2：计算.
（1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc)；（2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2．
解：（1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc)
＝(－8ab2)·(a2b2)·(3abc)
＝(－8×1×3)·(a·a2·a)·(b2·b2·b)·c
＝－24a4b5c；
当单项式的个数大于等于3时，单项式与单项式相乘的运算法则同样适用．
解：（2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2
＝－4x6·x2＋9x8
＝－4x8＋9x8
＝5x8．
运算顺序：先进行乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后进行加减运算．
例2：计算.
（1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc)；（2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2．
【知识技能类练习】必做题：
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
A
【知识技能类练习】必做题：
3．计算：
(1) (2)
解：（1）原式．
（2）原式．
【知识技能类练习】选做题：
4．，括号中应填 ．
解：，
，
，
【综合拓展类练习】
5．先化简，再求值：，其中，．
解：原式
．
当，时，原式．
单项式与单项式
相乘
几点注意事项
单项式与单项式相乘的运算法则
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
【知识技能类作业】必做题：
2．设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)；
(2)．
解：（1）
；
【知识技能类作业】必做题：
3．计算：(1)；
(2)．
（2）
．
【知识技能类作业】选做题：
4．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ．
账号：shulishijie
密码：前四位：SLSJ
后四位：？
解：，，
∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字，
∴，
∴密码是．
【综合拓展类作业】
5．小东家所在小区的物业打算修建一个长方形的活动场地，其长米，宽为a米，在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉，剩下的部分为草坪，求草坪的面积．
解：长方形的活动场地，其长米，宽为a米，
（平方米），
在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉，
（平方米），
（平方米），
答：草坪的面积为平方米．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第三课时《16.2整式的乘法（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版数学八年级上册16.2“整式的乘法”的第一课时，承接前面所学的幂的运算性质（同底数幂相乘、积的乘方等），是整式乘法运算体系的基础环节。单项式与单项式相乘的运算法则是后续学习单项式乘多项式、多项式乘多项式的核心依据，同时为分式运算、因式分解等后续知识提供必要铺垫，在整个代数运算知识链中起到承上启下的关键作用。教材通过实际问题情境引入，体现了数学与实际生活的联系，让学生感受运算的实际意义。
学习者分析 学生已系统学习有理数乘法法则、乘法交换律与结合律，且在上一阶段掌握了幂的运算性质：同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方，这为单项式与单项式相乘的法则推导提供了核心知识支撑。学生虽掌握单个运算规则，但在单项式相乘的综合运算中，易忽略细节，需引导学生注意符号的处理、指数运算和单独字母等情况，避免出现计算上的失误。
教学目标 1．探索单项式与单项式相乘的运算法则。 2．会利用法则进行单项式乘单项式的运算。 3．通过将单项式乘单项式转化为同底数幂的乘法，体会转化思想。
教学重点 单项式与单项式相乘的运算法则。
教学难点 单项式与单项式相乘的运算法则的探究和应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．探索单项式与单项式相乘的运算法则。 2．会利用法则进行单项式乘单项式的运算。 3。通过将单项式乘单项式转化为同底数幂的乘法，体会转化思想。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：说一说同底数幂相乘、幂的乘方和积的乘方的运算法则？ am·an＝am＋n（m，n都是正整数）． 即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (am)n＝amn（m，n都是正整数）． 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘． (ab)n＝anbn（n为正整数）． 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 引言：前面，我们学习了幂的运算性质．本节我们将以运算律及幂的运算性质为基础，研究整式的乘法．学生活动2： 学生积极参与老师提出的问题活动意图说明： 通过复习幂的运算性质，为探索单项式乘单项式的计算法则做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 问题：光的速度约是3×105 km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102 s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？ 分析：距离＝速度×时间， 根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是 (3×105)×(5×102)km． 思考：（1）怎样(3×105)×(5×102) ？计算过程中用到哪些运算律及幂的运算性质？ （2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？ 引导得出： （1）观察(3×105)×(5×102) 可得： 1．式子是乘积的形式，可以使用乘法运算律； 2．式子含有同底数幂，可以使用同底数幂的乘法法则． (3×105)×(5×102) ＝(3×5)×(102×105) （应用了乘法交换律、乘法结合律） ＝15×107 ＝1.5×108． 即：地球与太阳的距离约是1.5×108 km． （2）ac5·bc2是单项式ac5与bc2相乘，由于其中的字母表示数，所以同样可以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算： ac5·bc2 ＝(a·b)·(c5·c2) （乘法的交换律、结合律） ＝abc5＋2 （同底数幂的运算性质） ＝abc7． 归纳：单项式与单项式相乘的运算法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 例1：计算. （1）3xy2 2y3； （2）(-5a2b)(-3a)； （3）(2x)3(-5xy2)； （4）(-3x2y)2(-xy3)2. 解：（1）3xy2 2y3 =(3×2)x (y2 y3) =6xy5； （2）(-5a2b)(-3a) =[(-5)×(-3)](a2 a) b =15a3b； 归纳：单项式与单项式相乘需注意 （1）积的系数等于各系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． （2）相同字母相乘是同底数幂的乘法，要按“底数不变，指数相加”进行计算． （3）不要遗漏只在一个单项式因式里出现的字母，要将字母连同它的指数一起作为积的一个因式． （4）单项式乘单项式，结果仍为单项式． 解：（3）(2x)3(-5xy2) =8x3 (-5xy2) =[8×(-5)](x3 x) y2 =-40x4y2； （4）(-3x2y)2(-xy3)2 =9x4y2 x2y6 =9(x4 x2)(y2 y6) =9x6y8. 追问：由(ab)n=a n b n，可知a n b n=(ab)n，据此你能给出例1(4)的其他解法吗？ 例2：计算. （1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc)；（2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2． 解：（1）(－8ab2)·(－ab)2·(3abc) ＝(－8ab2)·(a2b2)·(3abc) ＝(－8×1×3)·(a·a2·a)·(b2·b2·b)·c ＝－24a4b5c； 归纳：当单项式的个数大于等于3时，单项式与单项式相乘的运算法则同样适用． 解：（2）－(2x3)2·x2＋(－3x4)2 ＝－4x6·x2＋9x8 ＝－4x8＋9x8 ＝5x8． 归纳：运算顺序：先进行乘方运算，再进行单项式乘单项式的运算，最后进行加减运算．学生活动3： 学生独立作答并思考老师提出的问题，然后小组合作探究，班内汇报交流后认真听老师的点评与讲解活动意图说明： 先通过简单的数与数相乘，引出单项式与单项式相乘的方法，然后通过运用乘法运算律、同底数幂的乘法法则得到单项式与单项式相乘的运算法则，让学生体会转化思想并学习新知．并通过例题检验学生对单项式与单项式相乘的运算法则的理解和掌握，指出学生平时计算过程中需要注意的事项．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：16.2整式的乘法（第1课时）一、单项式与单项式相乘的运算法则 二、注意事项教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．已知单项式与的积为，则m，n的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 答案：A 3．计算： (1) (2) 解：（1）原式． （2）原式． 选做题： 4．，括号中应填 ． 答案： 解：， ， ， 故答案为：． 【综合拓展类练习】 5．先化简，再求值：，其中，． 解：原式． 当，时，原式．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式计算正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．设，则的值为（ ） A． B． C．1 D． 答案：A 3．计算： (1)； (2)． 解：（1） ； （2） ． 选做题： 4．某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？
答案： 解：，， ∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字， ∴， ∴密码是． 故答案为：． 【综合拓展类作业】 5．小东家所在小区的物业打算修建一个长方形的活动场地，其长米，宽为a米，在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉，剩下的部分为草坪，求草坪的面积． 解：长方形的活动场地，其长米，宽为a米， （平方米）， 在这个活动场地中间有2个长为米，宽为米的小长方形喷泉， （平方米）， （平方米）， 答：草坪的面积为平方米．
教学反思 本课围绕“探索法则—应用法则—体会转化思想”展开，通过教材的实际问题导入，有效激发了学生兴趣，多数学生能结合乘法运算律和幂的性质推导法则，掌握系数、同底数幂及单独字母的运算要点。但教学中也发现，部分学生对含负号、积的乘方的复杂运算仍存在符号判断失误、步骤跳跃问题，后续需增加针对性专项练习，强化分步书写指导，帮助学生突破细节易错点，进一步落实转化思想的理解。
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