资源简介

一元二次不等式及其解法
【教学目标】
1.掌握一元二次不等式的解法；能利用一元二次函数与一元二次方程来求解一元二次不等式，理解它们三者之间的内在联系.
2.经历探索“一元二次不等式与其对应一元二次函数及一元二次方程之间的关系” 的过程，渗透数形结合数学思想方法，理解“三个二次”之间的关系.培养学生观察、归纳、抽象的能力；培养从具体到抽象、从特殊到一般的归纳概括能力.通过从函数的动态角度看不等式问题，体会数学的整体性与联系性.
3.通过一系列富有探究性的问题，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，养成严谨的科学态度及勇于探索的精神.培养与他人交流、合作的意识.
【教学重点】一元二次不等式的解法，能从图象上找一元二次不等式的解集.
【教学难点】从函数的观点看不等式，理解一元二次不等式与其对应的一元二次方程、一元二次函数之间的关系.
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.
【教学手段】计算机、投影仪.
【核心素养】数学运算，数学抽象，逻辑推理.
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
课前布置任务：
1.分别求一元一次不等式x+9>0；x+9<0的解集，联系一次函数y= x+9的图象，填空：
x+9>0的解集与函数y= x+9的图象在x轴____________的点的横坐标的集合相同；
x+9<0的解集与函数y= x+9的图象在x轴____________的点的横坐标的集合相同.
2.你能根据一元一次函数y=-x+3的图象，直接写出它所对应的一元一次不等式-x+3>0的解集吗？
【设计意图】学生在初中阶段就已经会解一元一次不等式，但主要是根据不等式的性质进行求解.现在在问题的引导下，学生观察、思考一元一次函数与其所对应的一元一次不等式解集之间的关系，为本节课探究一元二次函数与其所对应的一元二次不等式解集之间关系的学习做准备.
新课引入
问题1：什么是一元二次不等式？
【设计意图】开门见山，提出问题，激发学生思考.
二、归纳探索，形成概念
引入概念：一般地，形如ax2+bx+c≤0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“≥”“＞”“＜”等.
问题2：你能写出其他的一元二次不等式吗？
根据学生举例，得到一元二次不等式的一般表达式.二次项系数，不等号可以是≤、＞或者≥.
【设计意图】学生在自主举例过程中加深对一元二次方程不等式这一概念的认识.
问题3：如何求或的解集？
【探究1】从一元一次函数角度看一元一次不等式.
以课前作业为例，师生共同归纳“三个一次”（一元一次方程、一元一次函数、一元一次不等式）之间的关系.
【师生活动1】教师用几何画板展示一次函数y= x+9上的一个动点P，设其坐标为（x，y），因为P在直线上，所以纵坐标y=x+9，所以P点坐标可以记为（x，x+9）.请学生观察P点移动过程中，P点纵坐标x+9随着x的变化何时=0？何时>0？何时<0？
【预案】
①x+9>0的解集与函数y= x+9的图象在x轴上方的点的横坐标的集合相同；
②x+9<0的解集与函数y= x+9的图象在x轴下方的点的横坐标的集合相同.
【设计意图】教师引导学生从函数的角度看不等式，通过多媒体展示，学生能具体直观感受P点纵坐标y的正负与横坐标x之间的关系，加深学生对“三个一次”之间关系的认识，为总结“三个一次”之间关系做准备.其次，巩固之前的学习经验，并利用已有的学习经验帮助学生在本节课的学习中，突破难点、掌握重点.
【探究2】从一元二次函数角度看一元二次不等式
师生共同归纳“三个二次”（一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式）之间的关系.
教师几何画板展示之前，首先请学生根据探究1，猜测一元二次不等式解集与其函数图像的关系，并尝试对自己的猜想进行合理的解释.
【师生活动2】教师用几何画板展示一次函数上的一个动点P，设其坐标为（x，y），因为点P在抛物线上，所以P点纵坐标又等于，即P（）。请学生观察P点移动过程中，P的横坐标x在什么范围时，P点纵坐标y<0，何时P点纵坐标y>0.
【预案】
的解集与函数的图象在x轴下方的点的横坐标的集合相同.
的解集与函数的图象在x轴上方的点的横坐标的集合相同.
【设计意图】多媒体展示过程中，教师再次引导学生从函数运动变化的角度看不等式，加深学生对一元二次函数与一元二次不等式之间关系的认识.
【总结】解一元二次不等式的一般步骤.
学生根据上述探究过程总结一元二次不等式求解集的解题步骤.
【设计意图】学生根据上述探究过程总结一元二次不等式求解集的解题步骤，让学生有意识进行总结归纳，培养学生数学表达能力.
问题4：解形如或（其中a＞0）的一元二次不等式，一般可分为三步：
（1）确定对应一元二次方程=0的根；
（2）画出对应二次函数y=的大致图象；
（3）由图象得出不等式的解集.
对于二次项系数是负数（即a＜0）的一元二次不等式，可以先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解.
【设计意图】由特殊到一般，培养学生抽象归纳能力.
例题讲解
例1：解不等式
【设计意图】，方程有两个不相等实数根，带领学生感受大于取两边，小于取中间解题的正确性及便捷性.写解题时教师指出需要注意取端点值.
例2：解不等式
【设计意图】，方程有两个相等实数根，解题步骤不变，仍是“三步走”，但解集形式与时稍有不同，提醒学生注意答案的书写.
例3：用两种方法解不等式.
【设计意图】第一，本例二次项系数a<0，有两种解法，两种解法都有需要注意的问题.
【法一】不等号两边同时乘以-1，教师指出要注意不等号方向改变.
【法二】二次项系数a<0，抛物线注意开口方向向下.
此外，，方程没有实数根，解题步骤不变，仍是“三步走”，但解集形式与，时均不同，提醒学生注意答案的书写.
问题6：讨论一元二次不等式的解集.
引导学生思考，二次项系数 a＜0的不等式可以转化为a＞0的情形求解。所以只需讨论a> 0的不等式解集即可。当a>0时，不等式的解集情况是否需要分情况讨论？分类依据是什么？
【预案】可知，分类讨论的依据是，分三种情况讨论.学生完成下述表格.
判别式
二次函数 的图象
一元二次方程 的根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
三、掌握证法，适当延展
例4：已知不等式的解集为（-3，-1），求实数a，b的值.
例5：若对于任意实数x，一元二次不等式恒成立，求实数k的取值范围。
例6：解不等式.
【设计意图】这两个例题都是已知不等式的解集求不等式的系数。与求不等式的解集是一个互逆过程.教师教会学生抓住问题的本质：不等式解集的结构与对应一元二次方程及一元二次函数之间的关系.
四、归纳小结，提高认识
问题7：通过本节课的学习，你有哪些收获？
【预案】
（1）会解一元二次不等式，能从图象上找一元二次不等式的解集.
（2）会根据不等式的解集求不等式的系数.
（3）能从函数的观点看不等式，理解一元二次不等式与其对应的一元二次方程、一元二次函数之间的关系，能用联系的观点看问题.
（4）学习了从特殊到一般的数学研究方法.我们先研究具体例子，在具体问题的探究过程中找到一般性情况的研究思路及研究方法，再推广到一般，最后通过严谨的论证得到相应的结论.
【设计意图】同学们畅所欲言，分享自己的学习体会，在分享中反思自己的学习过程，观察别人的学习行为，提高学生对本节课所学知识的认识，培养学生归纳总结能力.
四、课后探究
1.若不等式的解集是{x|22.设关于x的不等式的解集为（），求实数a的取值范围。
【设计意图】这两个题是课堂例题的变式延伸，帮助学生巩固课堂学习成果。

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