资源简介

一定是直角三角形吗
1.2一定是直角三角形吗
（30分提至70分用）
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知识点 页码 传送门
复习 三角形 2 课前复习
方程的解法
勾股定理的内容
勾股定理的证明方法
新课探索 勾股数 勾股数的概念 4 勾股数
常用的勾股数
勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理概念 5 逆定理
勾股定理逆定理实质
题型练习 勾股数问题 6 题型练习
判断三边能否构成直角三角形
在网格中判断直角三角形
利用勾股定理的逆定理求解
易错点 15 易错点
总结 15 总结
直角三角形
等腰三角形与等边三角形
三角形的底和高
三角形的面积：S = x底 x 高
方程的解法
去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母
去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号
移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式
系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么：
赵爽证明
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c ,
四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a) .
∴ 4×2ab+(b-a) =c
∴ a +b =c .
∴
勾股数
勾股数：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数.
说明：
(1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a +b =c ,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数.
(2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.
(3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如：
3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;……
【练习】
1、下列各组数中，不是勾股数的是（）
A. 7，24，25
B. 8，15，17
C. 9，12，15
D. 10，11，12
解析： 选项A：，是勾股数。
选项B：，是勾股数。
选项C：，是勾股数。
选项D：，，，不是勾股数。
故选D。
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足：a +b =c ,那么这个三角形就是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题.
【练习】
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A. 2，3，4
B. 3，4，5
C. 4，5，6
D. 5，6，7
解析： 选项A：，，，不是直角三角形。
选项B：，，，是直角三角形。
选项C：，，，不是直角三角形。
选项D：，，，不是直角三角形。
故选B。
勾股数问题
1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进 行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能组成直角三角形，不是勾股数，故此选项符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股数，若三个整数中两个较小的数的平方和等于最大数的平方，则 称这组数为勾股数，根据勾股数的定义判断即可，掌握勾股数的定义是解题的关 键．
【详解】解：、，不是勾股数，该选项不合题意；
、，是勾股数，该选项符合题意；
、不是整数，不是勾股数，该选项不合题意；
、，不是勾股数，该选项不合题意；
故选：．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．10，15，18 B． C．0.3，0.4，0.5 D．7，24，25
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股 数必须同时满足两个条件：①三个数都是正整数，②两个较小正整数的平方和等 于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可．
【详解】解：A、，故A选项错误；
B、不是正整数，故B选项错误；
C、，但不是正整数，故C选项错误；
D、，故D选项正确；
故选：D．
判断三边能否构成直角
1．将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握两个定理的内容是关键；设原三角形的两 直角边分别为a，b，斜边为c，则新三角形的三边分别为，，利用勾 股定理及逆定理即可完成．
【详解】解：设原三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵直角三角形的各边都扩大4倍，
∴则新三角形的三边分别为，，
由题意知，，
∵，
∴得到的新三角形是直角三角形．
故选：A．
2．若△ABC的三条边a，b，c满足，则是 （ ） 三角形．
【答案】等腰直角
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那 么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义与非负数的性质．
根据非负数的性质求出，且，进而判断出的形状．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
3．如图，在中，已知，，，请说明是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三 条边，如果，那么这个三角形是直角三角形．
只需要利用勾股定理的逆定理验证即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形．
在网格中判断直角三角形
1．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，BC，AB，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是 等腰直角三角形，从而可求∠ABC．
【详解】解：连接AC，如图所示：
根据勾股定理可得：=10，＝20，
∵＋＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是得到△ABC是等腰直角三角形．
2．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据， 即可求解；
【详解】解：由题意可得：，， ，
∵，
∴；
3．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．请判断的形状，并说明理由．

【答案】直角三角形；理由见解析
【分析】先根据勾股定理求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判定出三角形的形状即可．
【详解】解：是直角三角形，理由如下：
由题意可得
=+=20
=+=25
=+=5
，
是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是关键．
利用勾股定理的逆定理求解
1.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的运用，掌握勾股定理及其逆定理的计算是关键．
根据勾股定理得到，则是直角三角形，，由图 形面积 的计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴
，
故答案为：16 ．
2.如图所示，在锐角三角形中，，，，，则的长是多少？
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，可证明得到， 则，由线段的和差关系求出的长，再利用勾股定理可求出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
=+=225
∴AB=15
如图，，求的面积．
【答案】30
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状， 根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，得出是直角三角形是解答 此题的关键．
【详解】解：，
=+=225
∴AC=5
在中，，
，
，
即为直角三角形，且，
的面积．
勾股数
勾股数：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数.
说明：
(1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a +b =c ,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数.
(2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.
(3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如：
3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;……
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足：a +b =c ,那么这个三角形就是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题.一定是直角三角形吗
1.2一定是直角三角形吗
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勾股定理的内容
勾股定理的证明方法
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常用的勾股数
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勾股定理逆定理实质
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判断三边能否构成直角三角形
在网格中判断直角三角形
利用勾股定理的逆定理求解
易错点 易错点
总结 总结
直角三角形
等腰三角形与等边三角形
三角形的底和高
三角形的面积：S = x底 x 高
方程的解法
去分母（若方程含分母）：等式两边同乘各分母的最小公倍数，消除分母
去括号（若方程含括号）：利用乘法分配律展开括号，注意符号
移项：将含未知数的项移到等式一边，常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：将同类项合并，化为 （）的形式
系数化为1：等式两边同除以未知数的系数 (a)，得
勾股定理的内容：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边分别为 a和 b，斜边为 c，那么：
赵爽证明
以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等 于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
容易证到四边形ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于 c ,
四边形EFGH是一个边长为(b-a)的正方形，它的面积等于(b-a) .
∴ 4×2ab+(b-a) =c
∴ a +b =c .
∴
勾股数
勾股数：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数.
说明：
(1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a +b =c ,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数.
(2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.
(3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如：
3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;……
【练习】
1、下列各组数中，不是勾股数的是（）
A. 7，24，25
B. 8，15，17
C. 9，12，15
D. 10，11，12
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足：a +b =c ,那么这个三角形就是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题.
【练习】
下列长度的三条线段能组成直角三角形的是
A. 2，3，4
B. 3，4，5
C. 4，5，6
D. 5，6，7
勾股数问题
1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．10，15，18 B． C．0.3，0.4，0.5 D．7，24，25
判断三边能否构成直角
1．将一个直角三角形的三边都扩大4倍，则得到的新三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．若△ABC的三条边a，b，c满足，则是 （ ） 三角形．
3．如图，在中，已知，，，请说明是直角三角形．
在网格中判断直角三角形
1．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
2．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数．
3．如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上．请判断的形状，并说明理由．

利用勾股定理的逆定理求解
1.如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为 ．
2.如图所示，在锐角三角形中，，，，，则的长是多少？
如图，，求的面积．
勾股数
勾股数：满足a +b =c 的三个正整数，称为勾股数.
说明：
(1)三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a +b =c ,但它们不是正整数，所以它们 不是勾股数.
(2)一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.
(3)记住常用的勾股数，在做题过程中，可以提高做题速度.如：
3、4、5;
6、8、10;
5、12、13;……
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a,b,c满足：a +b =c ,那么这个三角形就是直角三角形.
运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他 已知条件来解决问题.

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