资源简介

简单的分段函数
【教学目标】
1.了解分段函数的定义；能够从简单的实际问题中抽象出分段函数解析式；会画分段函数的图像；会研究分段函数的简单性质；
2.经历由实际问题抽象出数学解析式的过程，让学生更加深入的感悟分段函数的特征；通过例题与课堂练习加深对分段函数概念、图像的理解与认识；
3.通过分段函数的研究过程，提升学生用数学知识解决实际问题的能力，体会数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法的重要性.
【教学重点】分段函数的定义、性质；分段函数的图像.
【教学难点】分段函数的图像及由实际问题抽象出数学解析式.
【教学方法】教师启发讲授，学生通过讨论、练习进行探究式学习.
【教学手段】PPT演示、投影仪.
【核心素养】数学抽象，逻辑推理，数学建模.
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
课前布置任务：
（1）通过多种形式了解分段计价的一些实例；
（2）收集家里近三个月的电费缴纳单，观察具体的收费标准，探求其中规律，尝试用学过的函数知识，建立缴纳电费与用电量之间的函数关系式.
课上通过小组交流，发现每家的电费收取标准都是一样的，由于用电量不同，每月缴纳的电费也不同，但电费却与用电量之间有着某种关系。为了数据统一，结合具体实际，给出例题：
例6 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100false，按0.57元/（false）计费；每月用电量超过100false，其中100false仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（false）计费．
(1)设月用电falsefalse，应交电费false元，写出false关于false的函数解析式；
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
月份
1
2
3
合计
计费金额/元
114
75
45.6
234.6
问：小赵家第一季度共用电多少？
带领学生认真读题，理解如何从实际问题抽象出数学模型，启发学生思考.通过小组讨论的形式，引导学生共同写出电费与用电量之间的函数关系式.
预案：不同的用电量，对应着不同的电费收取方式，对应到函数关系就是当自变量false取值范围不同时，有不同的false的表达式，所以要分开写.
归纳总结：从函数观点看，就是对于自变量的不同取值范围，函数有不同的解析式表达.
【设计意图】由生活情境引入新课，激发学生兴趣.
二、归纳探索，形成概念
电费在用电量的不同范围内会有不同的变化规律，用函数来表示时，对于自变量的不同取值范围也就有不同的解析式。
1.实例引导，形成概念
观察例6题目条件，由小组回答解题思路.
预设：能够写出用电量不超过100false时的表达式false，但是对于超过100false时，还需要进一步的引导.
解答：当false时，月电费=100false的电费+超过100false部分的电费，即为false.
两段都表示用户月电费与用电量之间的关系，因此它们是一个函数，合起来用大括号表示为false
归纳总结（分段函数的定义）：在自变量的不同取值范围内，函数由不同的解析式给出，这种需要分段表达的函数叫做分段函数，它是一个函数，而不是几个函数,只不过自变量在不同的取值范围内有不同的对应法则.
2.深化概念，理性认识
问题1：有了第一问的基础，大家对于第二问的解答是否已经有了想法？
分小组解答，给出答案.
解答：由(1)可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100false；当电费超过57元时，说明月用电量超过100false .因此用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即false，false，分别算出1月份用电138false，2月份用电112 false；而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有false，算出3月份用电80false.
因此，小赵家第一季度共用电330false.
问题2：若小赵家7月份用电量为150false，他应该交多少电费？
预设：代入第二个表达式进行求解.
归纳总结（如何利用分段函数的解析式求函数值）：求分段函数的函数值false时，应先判断false所处的取值区间，再代入相应的解析式；
问题3：还能举出几个生活中常见的分段函数的例子吗？
预设：交水费问题，出租车计价问题，地铁收费问题，邮局寄信问题等.
掌握证法，适当延展
在对分段函数的概念有了清晰的认识之后，通过例题加深对分段函数的理解.
例7 画出函数false的图象，并求false的值．
问题4：该函数定义域是什么？
预设：false.
问题5：对于定义域内false的不同取值，对应法则一样吗？你能用分段函数的形式来表达该函数并画出其图像吗？
3839210208915解答：falsefalse
false函数false的图像为过原点且平分第一、第二象限的一条折线.如图3.1-3所示.
false，false，
false，false.
问题6：该分段函数的值域是什么？
预设：从图像观察是false.
归纳总结：
（1）要解决与分段函数有关的问题，通常要“分段讨论”，但需注意的是最后要有一个统一的结论并用规范的形式表达；
（2）分段函数图像要分段画出，各段图像合起来就是整个分段函数的图像；
（3）分段函数的定义域是各段false取值集合的并集，值域是各段false取值集合的并集.
例8 画出函数false的图象.
问题7：这是分段函数吗？怎样把它变成规范的分段函数表达式？
师生活动：学生思考后进行小组讨论解答，教师用投影仪展示学生答案.
预设：利用绝对值定义去绝对值符号；利用分段讨论的方法同时去掉两个绝对值符号.
解答：
3909695270510当false时，false；
当false时，false；
当false时，false.
综上，false.
分段画出该函数图像，如图3.1-4所示.
问题8：根据图像，说出该函数的定义域是什么？值域是什么？
预设：定义域为false.值域为false.
归纳总结：例8是在例7的基础上，进一步的拓展与延伸，希望大家借助这两道例题对分段函数表示方法、定义域、值域、函数值、图像画法有一个更加清晰的认识.
【设计意图】在明确了分段函数的定义之后，通过例7掌握分段函数的图像，例8采用小组讨论的形式，对分段函数的定义、图像以及定义域、值域有更深入、清晰的认识。
339661547625练习1 作出函数false的图像.
解答：
false
即false
其图像如右图所示.
练习2 某市一条旅游专线的收费标准为：（1）3公里以内（含3公里），票价2元；（2）3公里以上，每增加2公里，票价增加1元（不足2公里的按2公里计算）.
如果该条线路的总里程为10公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并用图像法表示这函数.
3460750955675分析：由题意可知，票价false是里程false的函数，false在false内取值，根据该条旅游线路的收费标准可知该函数是分段函数，因此要根据不同的false的取值范围，列出相应的false的解析式.
解答:设票价为false，里程为false，由题意可得false关于false的函数解析式为：
false
可知该函数为分段函数，其图像如右图所示.
练习3 设函数false，则false，若false，则false .
解答：false，false或4.
归纳小结，提高认识
小结
学生通过小组讨论的形式，根据教师的问题从知识方面、能力方面总结本节课所学内容。
（1）知识方面：分段函数的概念、表达形式、研究方法.
（2）解决数学应用题的步骤：抽象出数学模型，解决数学问题，进而解决实际问题.
（3）数学思想方法：数形结合，分类讨论，函数与方程，图像法等.
（4）分段函数的意义：在现实生活中存在着大量分段函数的实例，因此研究分段函数对于培养大家数学抽象、数学建模的能力至关重要。在今后的学习和生活中可以多多观察、实践，体会数学的生活美.
（5）注意事项：分段函数是一个函数，只是当自变量取值范围不同时，有不同的对应法则，因此在画图像以及求函数值的过程中应特别注意取值范围问题.
2.作业
（1）课本75页练习题；
（2）课后探究：搜集水费单、打车票等列出函数关系式，并检验结果是否合理.

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