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第二十八讲　数据的分析
知识要点 对点练习
1.数据的代表 (1)平均数: ①算术平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么= . ②加权平均数:若n个数x1,x2,x3,…,xn的权分别是ω1,ω2,ω3,…,ωn,则 叫做这n个数的加权平均数. (2)中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,若有奇数个数时,则取 的一个数为中位数;若有偶数个数时,则取中间两个数的 为中位数. (3)众数:一组数据中出现 的数据,称为该组数据的众数. 1.(1)一组数据-3,-1,2,0,3,2中,则这组数据的中位数和众数分别是( ) A.1.5,2 B.0,2 C.1,2 D.1,3 　(2)小明参加“喜迎建国75周年,我为国旗添光增彩”主题演讲比赛,其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分.若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩,则小明的最终比赛成绩为 分. (3)南宁市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如表,则这组数据的众数是 分钟. 作业时长 (单位:分钟)5060708090人数(单位:人)14622
2.数据的波动 方差:n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则这组数据的方差为s2= . 2.(1)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次,射击成绩的平均数均是9.1环,方差分别为=0.52,=0.60,=0.50,=0.43,则成绩最稳定的是 . (2)一组数据2 022,2 022,2 022,2 022,2 022的方差是 .
考点1　平均数
【示范题1】(2025·自贡)某校举行“唱红歌”歌咏比赛,甲、乙、丙三位选手的得分如表所示.三项评分所占百分比如图所示,平均分最高的是( )
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
A.甲　
B.乙
C.丙　
D.平均分都相同
【答题关键指导】
求算术平均数的方法
对于由n个数据x1,x2…xn组成的一组数据,如果将这组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数a(a>0),这组新数据的平均数为 ',那么原数据的平均数为= '-(+)a.
(2025·宜宾)一组数据:4,5,5,6,a的平均数为6,则a的值是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
考点2　中位数与众数的计算
【示范题2】(2025·内江)某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋,其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示:
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是( )
A.24.5,25 B.25,25
C.25,25.5 D.25.5,26
【答题关键指导】
平均数、众数、中位数的概念及求法
名称 求法 个数
平均数 根据定义 一组数据中的平均数是唯一的
众数 根据定义 一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数
中位数 根据定义 一组数据中的中位数是唯一的
1.(2025·南充)一次体质健康检测中,某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计,并制作如下统计表:
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是( )
A.6　 B.9　 C.11　 D.15
2.(2025·凉山州)数据0,-4,2,-1,2,3的中位数是 .
考点3　方差
【示范题3】(2025·山西)下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况,下列说法正确的是( )
日期 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 -2 -1 0 2
A.日最高气温的波动大
B.日最低气温的波动大
C.一样大
D.无法比较
【答题关键指导】
关于方差的常见题型
方差就是衡量一组数据中心偏离程度大小的标准,在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.常见的题目类型有:(1)在已知一组数据方差大小的情况下,可直接比较方差的大小,作出判断.(2)对于已知一组数据,可先根据方差的计算公式,计算出方差大小,最后作出判断.
1.(2025·烟台)求一组数据方差的算式为s2=×[++++].由算式提供的信息,下列说法错误的是( )
A.n的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
2.(2025·德阳)甲、乙两射击运动员参加射击选拔比赛,若他们射击训练成绩的平均数相同,且甲运动员训练成绩的方差=1.3,乙运动员训练成绩的方差=0.6,你认为应该选择 参加比赛.(填“甲”或“乙”)
1.(2025·广西)在第30个全国“爱眼日”来临之际,某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比,其中九年级6个班得分为:8,9,7,9,10,9,则这组数据的众数为( )
A.7　 B.8　 C.9　 D.10
2.(2023·广西)甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练,他们成绩的平均数相同,方差如下:=2.1,=3.5,=9,=0.7,则成绩最稳定的是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.(2025·广西)某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔,班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查.全班同学投票确定了各项所占的百分比,结果如图1,再对甲、乙进行考查并逐项打分,成绩如图2.
(1)在所考查的四项内容中,甲比乙更具优势的有哪些
(2)按照图1的各项占比计算甲、乙的综合成绩,并确定推荐人选.
4.(2024·广西)某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取20名女同学进行测试,每人定点投篮5次,进球数统计如表:
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
(1)求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数;
(2)若进球数为3以上(含3)为“优秀”,七年级共有200名女同学,请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数.
5.(2023·广西)4月24日是中国航天日,为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动,为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如图表:
学生成绩统计表
项目 七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出统计表中a,b,c的值;
(2)若该校八年级有600名学生,请估计该校八年级学生成绩合格的人数;
(3)从中位数和众数中任选其一,说明其在本题中的实际意义.第二十八讲　数据的分析
知识要点 对点练习
1.数据的代表 (1)平均数: ①算术平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么= (x1+x2+…+xn)　. ②加权平均数:若n个数x1,x2,x3,…,xn的权分别是ω1,ω2,ω3,…,ωn,则 　叫做这n个数的加权平均数. (2)中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列后,若有奇数个数时,则取　中间　的一个数为中位数;若有偶数个数时,则取中间两个数的　平均数　为中位数. (3)众数:一组数据中出现　次数最多　的数据,称为该组数据的众数. 1.(1)一组数据-3,-1,2,0,3,2中,则这组数据的中位数和众数分别是(C) A.1.5,2 B.0,2 C.1,2 D.1,3 　(2)小明参加“喜迎建国75周年,我为国旗添光增彩”主题演讲比赛,其演讲形象、内容、效果三项分别是9分、8分、8分.若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩,则小明的最终比赛成绩为　8.3　分. (3)南宁市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查,15名同学的作业时长统计如表,则这组数据的众数是 　70　分钟. 作业时长 (单位:分钟)5060708090人数(单位:人)14622
2.数据的波动 方差:n个数据x1,x2,…,xn的平均数为,则这组数据的方差为s2= [(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2]　. 2.(1)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10次,射击成绩的平均数均是9.1环,方差分别为=0.52,=0.60,=0.50,=0.43,则成绩最稳定的是　丁　. (2)一组数据2 022,2 022,2 022,2 022,2 022的方差是　0　.
考点1　平均数
【示范题1】(2025·自贡)某校举行“唱红歌”歌咏比赛,甲、乙、丙三位选手的得分如表所示.三项评分所占百分比如图所示,平均分最高的是(B)
选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分
甲 7 7 9
乙 8 7 8
丙 7 8 8
A.甲　
B.乙
C.丙　
D.平均分都相同
【答题关键指导】
求算术平均数的方法
对于由n个数据x1,x2…xn组成的一组数据,如果将这组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数a(a>0),这组新数据的平均数为 ',那么原数据的平均数为= '-(+)a.
(2025·宜宾)一组数据:4,5,5,6,a的平均数为6,则a的值是(D)
A.7 B.8 C.9 D.10
考点2　中位数与众数的计算
【示范题2】(2025·内江)某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋,其中几种尺码运动鞋的销售量如表所示:
尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26
销售量/双 1 3 10 4 2
这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是(B)
A.24.5,25 B.25,25
C.25,25.5 D.25.5,26
【答题关键指导】
平均数、众数、中位数的概念及求法
名称 求法 个数
平均数 根据定义 一组数据中的平均数是唯一的
众数 根据定义 一组数据中,可能不止一个众数,也可能没有众数
中位数 根据定义 一组数据中的中位数是唯一的
1.(2025·南充)一次体质健康检测中,某班体育委员对该班20名男生在一分钟内“引体向上”的个数进行了统计,并制作如下统计表:
个数 6 9 11 12 15
人数 2 5 8 3 2
则这20名男生在一分钟内“引体向上”的个数的众数是(C)
A.6　 B.9　 C.11　 D.15
2.(2025·凉山州)数据0,-4,2,-1,2,3的中位数是　1　.
考点3　方差
【示范题3】(2025·山西)下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温.比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况,下列说法正确的是(A)
日期 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日
最高/℃ 12 6 10 9 8
最低/℃ 1 -2 -1 0 2
A.日最高气温的波动大
B.日最低气温的波动大
C.一样大
D.无法比较
【答题关键指导】
关于方差的常见题型
方差就是衡量一组数据中心偏离程度大小的标准,在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.常见的题目类型有:(1)在已知一组数据方差大小的情况下,可直接比较方差的大小,作出判断.(2)对于已知一组数据,可先根据方差的计算公式,计算出方差大小,最后作出判断.
1.(2025·烟台)求一组数据方差的算式为s2=×[++++].由算式提供的信息,下列说法错误的是(C)
A.n的值是5
B.该组数据的平均数是7
C.该组数据的众数是6
D.若该组数据加入两个数7,7,则这组新数据的方差变小
2.(2025·德阳)甲、乙两射击运动员参加射击选拔比赛,若他们射击训练成绩的平均数相同,且甲运动员训练成绩的方差=1.3,乙运动员训练成绩的方差=0.6,你认为应该选择　乙　参加比赛.(填“甲”或“乙”)
1.(2025·广西)在第30个全国“爱眼日”来临之际,某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比,其中九年级6个班得分为:8,9,7,9,10,9,则这组数据的众数为(C)
A.7　 B.8　 C.9　 D.10
2.(2023·广西)甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练,他们成绩的平均数相同,方差如下:=2.1,=3.5,=9,=0.7,则成绩最稳定的是(D)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
3.(2025·广西)某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔,班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查.全班同学投票确定了各项所占的百分比,结果如图1,再对甲、乙进行考查并逐项打分,成绩如图2.
(1)在所考查的四项内容中,甲比乙更具优势的有哪些
(2)按照图1的各项占比计算甲、乙的综合成绩,并确定推荐人选.
【解析】(1)由条形统计图可知,甲在口头表达能力和仪容仪表方面得分高于乙,
∴甲比乙更具优势的有口头表达能力和仪容仪表;
(2)甲的综合成绩为9×40%+8×30%+7×20%+9×10%=8.3(分),
乙的综合成绩为8×40%+9×30%+9×20%+8×10%=8.5(分),
∵8.5>8.3,
∴推荐乙同学参加.
4.(2024·广西)某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取20名女同学进行测试,每人定点投篮5次,进球数统计如表:
进球数 0 1 2 3 4 5
人数 1 8 6 3 1 1
(1)求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数;
(2)若进球数为3以上(含3)为“优秀”,七年级共有200名女同学,请估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数.
【解析】(1)由题干统计表可得,女同学进球数的平均数为(0×1+1×8+2×6+3×3+4×1+5×1)÷20=1.9(个),
∵第10,11个数据都是2,
∴女同学进球数的中位数为2,
女同学进球数的众数为2;
(2)样本中优秀率为=,
七年级共有女同学200人,“优秀”等级的女同学为200×=50(人).
答:估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数为50.
5.(2023·广西)4月24日是中国航天日,为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情,航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动,为了解活动效果,从七、八年级学生的知识问答成绩中,各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析(6分及6分以上为合格).数据整理如图表:
学生成绩统计表
项目 七年级 八年级
平均数 7.55 7.55
中位数 8 c
众数 a 7
合格率 b 85%
根据以上信息,解答下列问题:
(1)写出统计表中a,b,c的值;
(2)若该校八年级有600名学生,请估计该校八年级学生成绩合格的人数;
(3)从中位数和众数中任选其一,说明其在本题中的实际意义.
【解析】(1)由扇形统计图可得,
a=8,b=1-20%=80%,
由频数直方图可得,
八年级成绩中5分有3人,6分有2人,7分有5人,8分有4人,9分有3人,10分有3人,
故中位数是c=(7+8)÷2=7.5,
由上可得,a=8,b=80%,c=7.5;
(2)600×85%=510(人),
答:估计该校八年级学生成绩合格的人数为510;
(3)根据中位数的特征可知七、八年级学生成绩的集中趋势表示七、八年级学生成绩数据的中等水平(答案不唯一).
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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