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第二十九讲　概率初步
知识要点 对点练习
1.确定性事件与随机事件 (1)必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中 发生的事件. (2)不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中 发生的事件. (3)随机事件:在一定条件下, 的事件. (4)事件的分类: 事件 1.下列事件中,是随机事件的是( ) A.太阳每天早晨从西边升起 B.△ABC中,AB+AC>BC C.两个负数相乘,积为正 D.两个数相加,和大于其中的一个加数
2.事件的概率及求法 (1)随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生 的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P( ). (2)概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都 ,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P( )= . (3)事件A发生的概率的取值范围是 . 特别地,①当A为必然事件时,P( )= . ②当A为不可能事件时,P( )= . ③当A为随机事件时, . (4)求概率的方法:用频率估计概率、列举法、列表法、画树状图法. 2.(1)(教材再开发·人教九上P132例2改编)如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形,在这个图形内任取一点P,则点P落在阴影部分的概率为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. (2)某校准备组织红色研学活动,需要从革命烈士纪念馆、邓颖超纪念馆、红色中山教育基地、红色工运教育体验馆四个红色教育基地中任选一个前往研学,选中革命烈士纪念馆的概率是( ) A. B. C. D.
3.用频率估计概率 在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P( )= ,其中p满足 . 3.掷一枚质地不均匀的骰子,做了大量的重复试验,发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6,那么,掷一次该骰子,“朝上一面为1点”的概率为 .
考点1　事件类型及其发生可能性的大小
【示范题1】(2024·连云港)下列说法正确的是( )
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗骰子全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答题关键指导】
判断确定性事件与随机事件的方法
(1)事件肯定会发生,是确定性事件;事件根本不会发生,也是确定性事件.
(2)对于确定性事件,肯定发生的是必然事件,肯定不会发生的是不可能事件.
(3)根据描述事件的句子的正确性,可以判断事件是必然事件或不可能事件.
　(2025·湖北)在下列事件中,不可能事件是( )
A.投掷一枚硬币,正面向上　　　
B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆,它是轴对称图形
D.射击运动员射击一次,命中靶心
考点2　概率的求法
【示范题2】(2025·山东)某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是( )
A. B. C. D.
【答题关键指导】
简单事件的概率计算
(1)若一次试验中所有的结果数是有限的,并且每一种可能的结果出现的可能性是一样的,这样的概率模型称为等可能模型,等可能模型的概率计算公式为:
P(E)=.
(2)当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法.
(3)当一次试验涉及三个因素或三个以上的因素时,通常用画树状图法.
1.(2025·湖南)某校开展了五类社团活动:舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧,现从中随机抽取一类社团活动进行展示,则抽中戏剧类社团活动的概率是( )
A. B. C. D.
2.(2025·苏州)一只不透明的袋子中,装有3个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为,则红球的个数为( )
A.1　 B.2 C.3　 D.4
3.(2025·河南)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是( )
A.　 B. C.　 D.
考点3　用频率估计概率
【示范题3】(2024·扬州)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后,整理的试验数据如表:
累计抛掷 次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面朝上 次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面朝上 频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为 .(精确到0.01)
【答题关键指导】
用频率估计概率
(1)用频率估计概率时,一般是通过观察所计算的各频数数值的变化(集中)趋势,即观察各数值主要集中在哪个常数附近,这个常数就是所求概率的估计值,同时要明确,频率只是一个估计值,不同的试验受试验次数及试验条件的影响,所得到的结果可能有所不同.
(2)在用频率估计概率时,要注意试验的次数越多,事件发生的频率越接近于概率,计算时用事件发生的次数除以试验的总次数,一般可用多个频率的平均数来估计事件发生的概率.
考点4　概率的应用
【示范题4】(2024·重庆)甲、乙两人分别从A,B,C三个景区中随机选取一个景区前往游览,则他们恰好选择同一景区的概率为 .
1.(2025·齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化,那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是( )
A.　 B.　 C.　 D.
2.(2025·上海)小明手中有1,2,3,4四张牌,小军手中有2,4,6,8四张牌,若小明从小军手中抽一张牌,抽到任何牌的概率相等,那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为 .
3.(2025·安徽)在一个平衡的天平左、右两端托盘上,分别放置质量为20 g和70 g的物品后,天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为 .
　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2024·广西)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是( )
A.1 B. C. D.
2.(2025·广西)从3,4,5三个数字中任选两个,则选出的两个数字之和是偶数的概率为 .
3.(2023·广西)某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会,第一小组有2名男同学和3名女同学,现从中随机抽取1名同学分享个人感悟,则抽到男同学的概率是 . 第二十九讲　概率初步
知识要点 对点练习
1.确定性事件与随机事件 (1)必然事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中　一定会　发生的事件. (2)不可能事件:在一定条件下重复进行试验时,在每次试验中　一定不会　发生的事件. (3)随机事件:在一定条件下,　可能发生也可能不发生　的事件. (4)事件的分类: 事件 1.下列事件中,是随机事件的是(D) A.太阳每天早晨从西边升起 B.△ABC中,AB+AC>BC C.两个负数相乘,积为正 D.两个数相加,和大于其中的一个加数
2.事件的概率及求法 (1)随机事件的概率:对于一个随机事件A,我们把刻画其发生　可能性大小　的数值,称为随机事件A发生的概率,记为P(A). (2)概率的求法:如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都　相等　,事件A包含其中m种结果,那么事件A发生的概率P(A)= 　. (3)事件A发生的概率的取值范围是　0≤P(A)≤1　. 特别地,①当A为必然事件时,P(A)=　1　. ②当A为不可能事件时,P(A)=　0　. ③当A为随机事件时,　03.用频率估计概率 在大量重复试验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率为P(A)=　p　,其中p满足　0≤p≤1　. 3.掷一枚质地不均匀的骰子,做了大量的重复试验,发现“朝上一面为1点”出现的频率越来越稳定于0.6,那么,掷一次该骰子,“朝上一面为1点”的概率为　0.6　.
考点1　事件类型及其发生可能性的大小
【示范题1】(2024·连云港)下列说法正确的是(C)
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗骰子全是6点朝上是随机事件
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
【答题关键指导】
判断确定性事件与随机事件的方法
(1)事件肯定会发生,是确定性事件;事件根本不会发生,也是确定性事件.
(2)对于确定性事件,肯定发生的是必然事件,肯定不会发生的是不可能事件.
(3)根据描述事件的句子的正确性,可以判断事件是必然事件或不可能事件.
　(2025·湖北)在下列事件中,不可能事件是(B)
A.投掷一枚硬币,正面向上　　　
B.从只有红球的袋子中摸出黄球
C.任意画一个圆,它是轴对称图形
D.射击运动员射击一次,命中靶心
考点2　概率的求法
【示范题2】(2025·山东)某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是(A)
A. B. C. D.
【答题关键指导】
简单事件的概率计算
(1)若一次试验中所有的结果数是有限的,并且每一种可能的结果出现的可能性是一样的,这样的概率模型称为等可能模型,等可能模型的概率计算公式为:
P(E)=.
(2)当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时,通常采用列表法.
(3)当一次试验涉及三个因素或三个以上的因素时,通常用画树状图法.
1.(2025·湖南)某校开展了五类社团活动:舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧,现从中随机抽取一类社团活动进行展示,则抽中戏剧类社团活动的概率是(D)
A. B. C. D.
2.(2025·苏州)一只不透明的袋子中,装有3个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同,搅匀后从中任意摸出一个球,摸到白球的概率为,则红球的个数为(B)
A.1　 B.2 C.3　 D.4
3.(2025·河南)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是(B)
A.　 B. C.　 D.
考点3　用频率估计概率
【示范题3】(2024·扬州)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后,整理的试验数据如表:
累计抛掷 次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000
盖面朝上 次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650
盖面朝上 频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530
根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为　0.53　.(精确到0.01)
【答题关键指导】
用频率估计概率
(1)用频率估计概率时,一般是通过观察所计算的各频数数值的变化(集中)趋势,即观察各数值主要集中在哪个常数附近,这个常数就是所求概率的估计值,同时要明确,频率只是一个估计值,不同的试验受试验次数及试验条件的影响,所得到的结果可能有所不同.
(2)在用频率估计概率时,要注意试验的次数越多,事件发生的频率越接近于概率,计算时用事件发生的次数除以试验的总次数,一般可用多个频率的平均数来估计事件发生的概率.
考点4　概率的应用
【示范题4】(2024·重庆)甲、乙两人分别从A,B,C三个景区中随机选取一个景区前往游览,则他们恰好选择同一景区的概率为 　.
1.(2025·齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化,那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是(D)
A.　 B.　 C.　 D.
2.(2025·上海)小明手中有1,2,3,4四张牌,小军手中有2,4,6,8四张牌,若小明从小军手中抽一张牌,抽到任何牌的概率相等,那么抽到的牌和自己原有的牌的数字相等的概率为 　.
3.(2025·安徽)在一个平衡的天平左、右两端托盘上,分别放置质量为20 g和70 g的物品后,天平倾斜(如图所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为 　.
　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2024·广西)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是(D)
A.1 B. C. D.
2.(2025·广西)从3,4,5三个数字中任选两个,则选出的两个数字之和是偶数的概率为 　.
3.(2023·广西)某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会,第一小组有2名男同学和3名女同学,现从中随机抽取1名同学分享个人感悟,则抽到男同学的概率是 　.
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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