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第八讲　一元一次不等式(组)
知识要点 对点练习
1.不等式的性质 (1)性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向　不变　. 即如果a>b,那么a±c　>　b±c. (2)性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向　不变　. 即如果a>b,c>0,那么ac　>　　bc. (3)性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向　改变　. 即如果a>b,c<0,那么ac　<　bc. 1.(教材再开发·人教七下P117例1改编)若-3a>1,两边都除以-3,得(A) A.a<-　　　B.a>- C.a<-3 D.a>-3
2.一元一次不等式组的解集的四种类型(设ab　 同大取大(2)　x2.(教材再开发·人教七下P128例1改编)解不等式组:,并把它的解集在数轴上表示出来. 不等式组的解集为-23.一元一次不等式的实际应用 (1)用不等式解实际问题的一般步骤: 实际问题列不等式解不等式检验答 (2)关键词: 解答不等式的实际应用问题时常见关键词与符号的对应关系: ①大于,多于,超过,高于用　>　表示; ②小于,少于,不足,低于用　<　表示; ③至少,不低于,不小于,不少于用　≥　表示; ④至多,不超过,不高于,不大于用　≤　表示. 3.某品牌衬衫进价为120元,标价为240元,商家规定可以打折销售,但其利润率不能低于20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折 (B) A.八 B.六 C.七 D.九
考点1　不等式的性质
【示范题1】(2024·安徽)已知实数a,b满足a-b+1=0,0A.-C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0
【答题关键指导】
1.在不等式的两边同加或减同一个数或整式,不等号方向不变,要注意两个“同”的意义.
2.在不等式的两边同乘(或除以)一个数时,根据这个数是正数(用性质2)还是负数(用性质3),判断不等式的符号变化与否.
1.(2024·上海)如果x>y,那么下列正确的是(C)
A.x+5≤y+5 B.x-5C.5x>5y D.-5x>-5y
2.(2024·苏州)若a>b-1,则下列结论一定正确的是(D)
A.a+1C.a>b D.a+1>b
考点2　一元一次不等式(组)的解法
【示范题2】(2025·福建)不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是(C)
【答题关键指导】
1.在系数化为1时,注意用的是不等式的性质2还是不等式的性质3,当应用不等式的性质3时,注意改变不等号的方向.
2.解不等式,有时为了去分母在不等式的两边乘各分母的最小公倍数,不要忘记将分子(如果是多项式)作为一个整体加上括号,也不要漏乘没有分母的项.
3.解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小无解了”的原则是解答此题的关键.
1.(2025·吉林)不等式x-3>2的解集为(A)
A.x>5 B.x<5
C.x>-1 D.x<-1
2.(2025·山西)不等式组的解集是(C)
A.x<2　 B.x≥3
C.23.(2025·南充)不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是　m≤3　.
考点3　一元一次不等式(组)的应用
【示范题3】(2025·遂宁)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料:
材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的.
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二:有哪几种购买方案
任务三:哪种方案更省钱 最低购买费用是多少元
【自主解答】
任务一:设A型号的新型垃圾桶的单价是x元,B型号的新型垃圾桶的单价是y元,
根据题意得:,解得:.
答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元.
任务二:设购买m个A型号的新型垃圾桶,则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶,
根据题意得:,
解得:≤m≤120,
又∵m为正整数,∴m可以为118,119,120,∴共3种购买方案,
方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶;
方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶;
方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶.
任务三:选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元);
选择方案2所需费用为60×119+100×81=15 240(元);
选择方案3所需费用为60×120+100×80=15 200(元),
∵15 280>15 240>15 200,
∴方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶更省钱,最低购买费用是15 200元.
【答题关键指导】
1.设未知数时,表示不等关系的文字如“至少”等不能出现,即应给出肯定的未知数的设法.
2.在最后写答时,应把表示不等关系的文字补上.
3.利用不等式在限制条件下探究不同的方案时,注意挖掘问题中的隐含条件,由在解集范围的正整数解来设计具体的方案.
1.(2025·湖南)同学们准备在劳动课上制作艾草香包,需购买A,B两种材料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元,且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
(1)求A种材料和B种材料的单价;
(2)若需购买A种材料和B种材料共50件,且总费用不超过360元,则最多能购买A种材料多少件
【解析】(1)设A种材料的单价为x元,则B种材料的单价为(x-3)元,
由题意得:4x=6(x-3),解得:x=9,
∴x-3=6.
答:A种材料的单价为9元,B种材料的单价为6元.
(2)设能购买A种材料m件,则能购买B种材料(50-m)件,
由题意得:9m+6(50-m)≤360,解得:m≤20.
答:最多能购买A种材料20件.
2.(2025·湖北)某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
(2)妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果m千克.
①若这两种水果按标价出售,求m的取值范围;
②小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折;一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折(注:“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元,求m的值.
【解析】(1)设购买A种水果x千克,B种水果y千克,
依题意得,
解得:.
答:购买A种水果2千克,B种水果1千克.
(2)①设小明买A种水果m千克,则B种水果购买了(m+1)千克,
∴14m+18(m+1)≤50,
解得:m≤1,
∴结合实际可得:0②设小明买A种水果m千克,则B种水果购买了(m+1)千克,
∴14m×0.75+18+18m×0.75=48,
解得:m=1.25.
1.(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,a>b,都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是(A)
A.a+c>b+c B.a+c=b+c
C.a+c2.(2023·广西)x≤2在数轴上表示正确的是(C)
3.(2024·广西)不等式7x+5<5x+1的解集为　x<-2　.
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知识要点 对点练习
1.不等式的性质 (1)性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向 . 即如果a>b,那么a±c b±c. (2)性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向 . 即如果a>b,c>0,那么ac bc. (3)性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向 . 即如果a>b,c<0,那么ac bc. 1.(教材再开发·人教七下P117例1改编)若-3a>1,两边都除以-3,得( ) A.a<-　　　B.a>- C.a<-3 D.a>-3
2.一元一次不等式组的解集的四种类型(设a2.(教材再开发·人教七下P128例1改编)解不等式组:,并把它的解集在数轴上表示出来. 不等式组的解集为-23.一元一次不等式的实际应用 (1)用不等式解实际问题的一般步骤: 实际问题列不等式解不等式检验答 (2)关键词: 解答不等式的实际应用问题时常见关键词与符号的对应关系: ①大于,多于,超过,高于用 表示; ②小于,少于,不足,低于用 表示; ③至少,不低于,不小于,不少于用 表示; ④至多,不超过,不高于,不大于用 表示. 3.某品牌衬衫进价为120元,标价为240元,商家规定可以打折销售,但其利润率不能低于20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折 ( ) A.八 B.六 C.七 D.九
考点1　不等式的性质
【示范题1】(2024·安徽)已知实数a,b满足a-b+1=0,0A.-C.-2<2a+4b<1 D.-1<4a+2b<0
【答题关键指导】
1.在不等式的两边同加或减同一个数或整式,不等号方向不变,要注意两个“同”的意义.
2.在不等式的两边同乘(或除以)一个数时,根据这个数是正数(用性质2)还是负数(用性质3),判断不等式的符号变化与否.
1.(2024·上海)如果x>y,那么下列正确的是( )
A.x+5≤y+5 B.x-5C.5x>5y D.-5x>-5y
2.(2024·苏州)若a>b-1,则下列结论一定正确的是( )
A.a+1C.a>b D.a+1>b
考点2　一元一次不等式(组)的解法
【示范题2】(2025·福建)不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
【答题关键指导】
1.在系数化为1时,注意用的是不等式的性质2还是不等式的性质3,当应用不等式的性质3时,注意改变不等号的方向.
2.解不等式,有时为了去分母在不等式的两边乘各分母的最小公倍数,不要忘记将分子(如果是多项式)作为一个整体加上括号,也不要漏乘没有分母的项.
3.解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小无解了”的原则是解答此题的关键.
1.(2025·吉林)不等式x-3>2的解集为( )
A.x>5 B.x<5
C.x>-1 D.x<-1
2.(2025·山西)不等式组的解集是( )
A.x<2　 B.x≥3
C.23.(2025·南充)不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是 .
考点3　一元一次不等式(组)的应用
【示范题3】(2025·遂宁)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料:
材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的.
请根据以上材料,完成下列任务:
任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价.
任务二:有哪几种购买方案
任务三:哪种方案更省钱 最低购买费用是多少元
【自主解答】
【答题关键指导】
1.设未知数时,表示不等关系的文字如“至少”等不能出现,即应给出肯定的未知数的设法.
2.在最后写答时,应把表示不等关系的文字补上.
3.利用不等式在限制条件下探究不同的方案时,注意挖掘问题中的隐含条件,由在解集范围的正整数解来设计具体的方案.
1.(2025·湖南)同学们准备在劳动课上制作艾草香包,需购买A,B两种材料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元,且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
(1)求A种材料和B种材料的单价;
(2)若需购买A种材料和B种材料共50件,且总费用不超过360元,则最多能购买A种材料多少件
2.(2025·湖北)某商店销售A,B两种水果.A水果标价14元/千克,B水果标价18元/千克.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A,B两种水果共3千克,合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
(2)妈妈让小明再到这家商店买A,B两种水果,要求B水果比A水果多买1千克,合计付款不超过50元.设小明买A水果m千克.
①若这两种水果按标价出售,求m的取值范围;
②小明到这家商店后,发现A,B两种水果正在进行优惠活动:A水果打七五折;一次购买B水果不超过1千克不优惠,超过1千克后,超过1千克的部分打七五折(注:“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元,求m的值.
1.(2025·广西)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,a>b,都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( )
A.a+c>b+c B.a+c=b+c
C.a+c2.(2023·广西)x≤2在数轴上表示正确的是( )
3.(2024·广西)不等式7x+5<5x+1的解集为 .

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