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第六讲　分式方程
知识要点 对点练习
1.分式方程的定义及解法 (1)定义: 中含有未知数的方程. (2)解法 ①基本思想:将分式方程转化为 方程. ②方法:去分母,即方程两边同乘 . ③解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程必须检验. 1.(1)(2025·湖南)将分式方程=去分母后得到的整式方程为( ) A.x+1=2x　 B.x+2=1　 C.1=2x　 　 D.x=2(x+1) (2)(教材再开发·湘教八上P33例1改编)分式方程=的解是( ) A.x=1　 　 B.x=-1 C.x=3 　 　 D.x=-3
2.列分式方程解应用题 与列一元一次方程解应用题相同,基本步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答. 2.将5 kg浓度为98%的酒精,稀释为75%的酒精.设需要加水x kg,根据题意可列方程为( ) A.0.98×5=0.75x　　 B.=0.75 C.0.75×5=0.98x 　 D.=0.98
考点1　分式方程及其解法
【示范题1】(2025·北京)方程+=0的解为 .
【答题关键指导】
(1)解分式方程时,最简公分母要乘方程的每一项.
(2)若分子是多项式,去分母后要把分子用括号括起来.
1.(2025·甘肃)方程=1的解是x= .
2.(2025·宜宾)分式方程+=0的解为 .
3.(2025·广东)在解分式方程=-2时,小李的解法如下:
第一步:·(x-2)=-·(x-2)-2,
第二步:1-x=-1-2,
第三步:-x=-1-2-1,
第四步:x=4.
第五步:检验:当x=4时,x-2≠0.
第六步:∴原分式方程的解为x=4.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程.
考点2　分式方程的应用
【示范题2】(2025·山西)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
【答题关键指导】
(1)列分式方程先分析题意,准确找出实际问题中的数量关系,恰当地设出未知数,列出方程.
(2)注意解方程后要检验,既要检验所求的解是否满足所列分式方程,又要检验所求的解是否符合实际问题.
1.(2025·河北)“这么近,那么美,周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm,笔的实际长度为14 cm,则该化石的实际长度为( )
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.(2025·绥化)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
3.(2025·重庆)列方程解下列问题:某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
考点3　与分式方程的解有关的问题
【示范题3】(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程+=2无解,那么实数m的值是( )
A.m=1 B.m=-1
C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1
【答题关键指导】
列方程(组)解应用题的一般步骤
解含有待定字母的分式方程时,通常先化为整式方程,把未知数用待定字母表示,且考虑到分式方程无解的情况,进而得到有关不等式求解.
1.(2025·遂宁)若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为( )
A.2　 B.3　
C.0或2　 D.-1或3
2.(2025·龙东地区)已知关于x的分式方程-=3的解为负数,则k的值为( )
A.k<-4 B.k>-4
C.k<-4且k≠- D.k>-4且k≠-
3.(2025·眉山)若关于x的不等式组至少有两个正整数解,且关于x的分式方程=2-的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值之和为( )
A.8 B.14 C.18 D.38
1.(2023·广西)解分式方程:=.
2.(2024·广西)综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5 kg水.
浓度关系式:d后=,其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度,w为单次漂洗所加清水量(单位:kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水
(2)如果把4 kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.第六讲　分式方程
知识要点 对点练习
1.分式方程的定义及解法 (1)定义:　分母　中含有未知数的方程. (2)解法 ①基本思想:将分式方程转化为　整式　方程. ②方法:去分母,即方程两边同乘　最简公分母　. ③解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程必须检验. 1.(1)(2025·湖南)将分式方程=去分母后得到的整式方程为(A) A.x+1=2x　 B.x+2=1　 C.1=2x　 　 D.x=2(x+1) (2)(教材再开发·湘教八上P33例1改编)分式方程=的解是(D) A.x=1　 　 B.x=-1 C.x=3 　 　 D.x=-3
2.列分式方程解应用题 与列一元一次方程解应用题相同,基本步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答. 2.将5 kg浓度为98%的酒精,稀释为75%的酒精.设需要加水x kg,根据题意可列方程为(B) A.0.98×5=0.75x　　 B.=0.75 C.0.75×5=0.98x 　 D.=0.98
考点1　分式方程及其解法
【示范题1】(2025·北京)方程+=0的解为　x=2　.
【答题关键指导】
(1)解分式方程时,最简公分母要乘方程的每一项.
(2)若分子是多项式,去分母后要把分子用括号括起来.
1.(2025·甘肃)方程=1的解是x=　-1　.
2.(2025·宜宾)分式方程+=0的解为　x=1　.
3.(2025·广东)在解分式方程=-2时,小李的解法如下:
第一步:·(x-2)=-·(x-2)-2,
第二步:1-x=-1-2,
第三步:-x=-1-2-1,
第四步:x=4.
第五步:检验:当x=4时,x-2≠0.
第六步:∴原分式方程的解为x=4.
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程.
【解析】第一步是去分母,去分母的依据是:等式两边同时乘一个不为0的数(或式子),等式仍然成立;
小李的解答过程不正确,正确解答如下:
=-2,1-x=-1-2(x-2)
1-x=-1-2x+4,-x+2x=-1+4-1,
解得:x=2,经检验,x=2是增根,∴原方程无解.
考点2　分式方程的应用
【示范题2】(2025·山西)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里.
【自主解答】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里.
根据题意得:-=22.解得:x=2.
经检验,x=2是原方程的解,且符合题意.
答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里.
【答题关键指导】
(1)列分式方程先分析题意,准确找出实际问题中的数量关系,恰当地设出未知数,列出方程.
(2)注意解方程后要检验,既要检验所求的解是否满足所列分式方程,又要检验所求的解是否符合实际问题.
1.(2025·河北)“这么近,那么美,周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览,发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm,笔的实际长度为14 cm,则该化石的实际长度为(C)
A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.(2025·绥化)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨,则可列方程为(C)
A.= B.=
C.= D.=
3.(2025·重庆)列方程解下列问题:某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个
(2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
【解析】(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个,则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个,根据题意得:3x-4(x-50)=100,解得:x=100,∴x-50=100-50=50.
答:该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个,每天生产乙种文创产品的数量是50个.
(2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个,根据题意得:-=10,
解得:y=20,
经检验,y=20是所列方程的解,且符合题意.
答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
考点3　与分式方程的解有关的问题
【示范题3】(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程+=2无解,那么实数m的值是(C)
A.m=1 B.m=-1
C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1
【答题关键指导】
列方程(组)解应用题的一般步骤
解含有待定字母的分式方程时,通常先化为整式方程,把未知数用待定字母表示,且考虑到分式方程无解的情况,进而得到有关不等式求解.
1.(2025·遂宁)若关于x的分式方程=-1无解,则a的值为(D)
A.2　 B.3　
C.0或2　 D.-1或3
2.(2025·龙东地区)已知关于x的分式方程-=3的解为负数,则k的值为(A)
A.k<-4 B.k>-4
C.k<-4且k≠- D.k>-4且k≠-
3.(2025·眉山)若关于x的不等式组至少有两个正整数解,且关于x的分式方程=2-的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值之和为(B)
A.8 B.14 C.18 D.38
1.(2023·广西)解分式方程:=.
【解析】=,方程两边同乘x(x-1)得2x=x-1,移项解得x=-1.
将x=-1代入x(x-1)≠0,
∴x=-1是原分式方程的解.
2.(2024·广西)综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干.重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5 kg水.
浓度关系式:d后=,其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度,w为单次漂洗所加清水量(单位:kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水
(2)如果把4 kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
【解析】(1)把d后=0.01%,d前=0.2%,代入d后=,得0.01%=,
解得w=9.5.经检验符合题意,
∴只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5 kg清水;
(2)第一次漂洗:把w=2 kg,d前=0.2%代入d后=,∴d后==0.04%,
第二次漂洗:把w=2 kg,d前=0.04%代入d后=,∴d后==0.008%,
而0.008%<0.01%,
∴进行两次漂洗,能达到洗衣目标;
(3)由(1)(2)的计算结果发现:经过两次漂洗既能达到洗衣目标,还能大幅度节约用水,
∴从洗衣用水策略方面来讲,采用两次漂洗的方法值得推广学习.(合理即可)
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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