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第七讲　一元二次方程
知识要点 对点练习
1.一元二次方程的概念 (1)定义:只含有 个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程. (2)一般形式: . 1.下列方程中是一元二次方程的是( ) A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 　 D.xy+2=1
2.一元二次方程的解法 解法形式方程的根直接 开平方法x2=p(p≥0)x= (mx+n)2= p(p≥0,m≠0)x= 配方法(x-m)2=n(n≥0)x= 公式法ax2+bx+c=0 (a≠0,b2-4ac≥0)x= 因式 分解法(x-x1)(x-x2)=0x=
2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是( ) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况 (1)Δ=b2-4ac>0 方程 的实数根. (2)Δ=b2-4ac=0 方程 的实数根. (3)Δ=b2-4ac<0 方程 实数根. 3.(教材再开发·湘教九上P44例变式)下列一元二次方程无实数根的是( ) .x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
4.根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2= , x1·x2= . 4.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2= .
5.一元二次方程的应用 常考类型及公式: (1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高; (2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量; (3)互赠、握手、比赛赛制问题: x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1); 单循环赛:n支球队,总比赛次数为; 双循环赛:n支球队,总比赛次数为n(n-1) (4)营销问题:总利润=一件利润×销售量. 5.某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆,由于市场需求量不断增大,六月份的产量提高到1 210辆,则该厂五、六月份的月平均增长率为( ) A.10% B.11% C.12.1% D.21%
考点1　一元二次方程的解法
【示范题1】(2025·齐齐哈尔)解方程:x2-7x=-12.
【答题关键指导】
1.用公式法解一元二次方程,在确定系数a,b,c时,易忘记先将一元二次方程化为一般式.
2.用因式分解法解一元二次方程,易出现方程的右边没有化为0,左边直接因式分解的错误.
3.一元二次方程的解法选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.
1.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为( )
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
2.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为( )
A.2 B.-2 C.2或-2 　D.
3.(2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是 .
考点2　一元二次方程根的判别式及应用
【示范题2】(2025·安徽)下列方程中,有两个不相等的实数根的是( )
A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0
C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0
【答题关键指导】
1.在解决方程有无实数根的问题时要注意区分是否为一元二次方程.
2.一元二次方程有实数根包括有两个不相等的实数根和两个相等的实数根两种情况.
3.根据一元二次方程根的情况确定未知系数时,不仅要考虑b2-4ac的符号,还要考虑二次项系数不为0.
1.(2025·扬州)关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况,下列结论正确的是( )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
2.(2025·甘肃)关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是( )
A.m<3　 B.m≤3
C.m>3　 D.m≥3
考点3　一元二次方程根与系数的关系及应用
【示范题3】(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答题关键指导】
1.利用根与系数的关系求某些代数式的值的步骤
(1)算:计算出两根的和与两根的积.
(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与两根的积的形式.
(3)代:代入求值.
2.利用根与系数的关系的两个前提条件
(1)二次项的系数a≠0.
(2)方程有实数根.
1.(2024·眉山)已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1,x2,则+的值为 .
2.(2025·眉山)已知方程x2-2x-5=0的两根分别为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 .
3.(2025·泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为 .
考点4　一元二次方程的应用
【示范题4】(2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
1.(2025·云南)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是( )
A.6 000(1+x)2=6 200
B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200
D.6 000x2=6 200
2.(2025·福建)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程( )
A.5x2=6　 B.5(1+x2)=6
C.x(5-x)=6　 D.5(1+x)2=6
3.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为( )
A.10%　 B.20%　
C.22%　 D.44%
1.(2025·广西)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,则x1+x2=( )
A.-25　　 B.-20　　 C.20　　 D.25
2.(2023·广西)国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别约为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为( )
A.3.2(1-x)2=3.7　 B.3.2(1+x)2=3.7
C.3.7(1-x)2=3.2　 D.3.7(1+x)2=3.2第七讲　一元二次方程
知识要点 对点练习
1.一元二次方程的概念 (1)定义:只含有　1　个未知数,并且未知数的最高次数是　2　的整式方程. (2)一般形式:　ax2+bx+c=0(a≠0)　. 1.下列方程中是一元二次方程的是(B) A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 　 D.xy+2=1
2.一元二次方程的解法 解法形式方程的根直接 开平方法x2=p(p≥0)x=　± (mx+n)2= p(p≥0,m≠0)x= 配方法(x-m)2=n(n≥0)x=　m±　 公式法ax2+bx+c=0 (a≠0,b2-4ac≥0)x= 因式 分解法(x-x1)(x-x2)=0x=　x1或x2　
2.(教材再开发·人教九上P7例1改编)一元二次方程x2+4x-8=0的解是(D) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2
3.根的判别式与一元二次方程的根的情况 (1)Δ=b2-4ac>0 方程　有两个不相等　的实数根. (2)Δ=b2-4ac=0 方程　有两个相等　的实数根. (3)Δ=b2-4ac<0 方程　没有　实数根. 3.(教材再开发·湘教九上P44例变式)下列一元二次方程无实数根的是(C) .x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0
4.根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=　-　,x1·x2= 　. 4.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=　-1　.
5.一元二次方程的应用 常考类型及公式: (1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高; (2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量; (3)互赠、握手、比赛赛制问题: x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1); 单循环赛:n支球队,总比赛次数为; 双循环赛:n支球队,总比赛次数为n(n-1) (4)营销问题:总利润=一件利润×销售量. 5.某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆,由于市场需求量不断增大,六月份的产量提高到1 210辆,则该厂五、六月份的月平均增长率为(A) A.10% B.11% C.12.1% D.21%
考点1　一元二次方程的解法
【示范题1】(2025·齐齐哈尔)解方程:x2-7x=-12.
【自主解答】x2-7x=-12,
x2-7x+12=0,
(x-4)(x-3)=0,
x-4=0或x-3=0,
∴x1=4,x2=3.
【答题关键指导】
1.用公式法解一元二次方程,在确定系数a,b,c时,易忘记先将一元二次方程化为一般式.
2.用因式分解法解一元二次方程,易出现方程的右边没有化为0,左边直接因式分解的错误.
3.一元二次方程的解法选择顺序:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.
1.(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为(C)
A.17或13 B.13或21
C.17 D.13
2.(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为(A)
A.2 B.-2 C.2或-2 　D.
3.(2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是　x1=1,x2=-1　.
考点2　一元二次方程根的判别式及应用
【示范题2】(2025·安徽)下列方程中,有两个不相等的实数根的是(D)
A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0
C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0
【答题关键指导】
1.在解决方程有无实数根的问题时要注意区分是否为一元二次方程.
2.一元二次方程有实数根包括有两个不相等的实数根和两个相等的实数根两种情况.
3.根据一元二次方程根的情况确定未知系数时,不仅要考虑b2-4ac的符号,还要考虑二次项系数不为0.
1.(2025·扬州)关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况,下列结论正确的是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
2.(2025·甘肃)关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是(B)
A.m<3　 B.m≤3
C.m>3　 D.m≥3
考点3　一元二次方程根与系数的关系及应用
【示范题3】(2025·河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于(C)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答题关键指导】
1.利用根与系数的关系求某些代数式的值的步骤
(1)算:计算出两根的和与两根的积.
(2)变:将所求的代数式表示成两根的和与两根的积的形式.
(3)代:代入求值.
2.利用根与系数的关系的两个前提条件
(1)二次项的系数a≠0.
(2)方程有实数根.
1.(2024·眉山)已知方程x2+x-2=0的两根分别为x1,x2,则+的值为 　.
2.(2025·眉山)已知方程x2-2x-5=0的两根分别为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为　-2　.
3.(2025·泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为　10　.
考点4　一元二次方程的应用
【示范题4】(2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
【解析】设小路的宽度为x m,则9块矩形地块可合成长为(20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形,
根据题意得:(20-4x)(14-4x)=24×9,
整理得:2x2-17x+8=0,
解得:x=或x=8(不符合题意,舍去).
答:小路的宽度为 m.
1.(2025·云南)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是(A)
A.6 000(1+x)2=6 200
B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200
D.6 000x2=6 200
2.(2025·福建)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程(C)
A.5x2=6　 B.5(1+x2)=6
C.x(5-x)=6　 D.5(1+x)2=6
3.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为(B)
A.10%　 B.20%　
C.22%　 D.44%
1.(2025·广西)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,则x1+x2=(C)
A.-25　　 B.-20　　 C.20　　 D.25
2.(2023·广西)国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示,2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别约为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为(B)
A.3.2(1-x)2=3.7　 B.3.2(1+x)2=3.7
C.3.7(1-x)2=3.2　 D.3.7(1+x)2=3.2
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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