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第五讲　一次方程(组)
知识要点 对点练习
1.等式的性质 等式的性质1:如果a=b,那么a±c=　b±c　; 等式的性质2:如果a=b,那么ac=　bc　; 如果a=b,那么= 　(c≠0). 1.(教材再开发·湘教七上P88例2改编)根据等式的性质,下列各式变形正确的是(A) A.若=,则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-x=6,则x=-2
2.一元一次方程及其解法 (1)定义:含有　一个　未知数,且未知数的　次数为1　,等号两边都是　整式　的方程. (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右两边　相等　的未知数的值. (3)解一元一次方程的步骤:去分母、　去括号　、　移项　、　合并同类项　、系数化为1. 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的个数为(B) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)方程3(x+3)=6的解是　x=-1　.
3.二元一次方程组及其解法 (1)定义:含有　两　个未知数,并且含有　未知数的项　的次数都是1的　整式　方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组. (2)二元一次方程组的解:能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值. (3)解二元一次方程组的思想:　消元　. (4)解法:①　代入　消元法. ②　加减　消元法. 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是(A) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= (2)已知二元一次方程组,则x-y的值为　1　. (3)解方程组:.
考点1　一次方程(组)的相关概念
【示范题1】(2023·眉山)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,则m的值为(B)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答题关键指导】
1.当已知某个数(数对)为一次方程(组)的解时,把解代入方程(组),消去原来的未知数,得到新的方程(组),求解方程(组),得出所求字母的取值.
2.关于x的一元一次方程ax+b=0,二元一次方程ax+by=c中,未知数的系数不等于0,如(k-1)+3=0是一元一次方程的条件为k=-1,而非k=±1.
　(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
考点2　一次方程(组)的解法
【示范题2】(2025·遂宁)已知x=2是方程3a-2x=2的解,则a=　2　.
1.(2025·眉山)解方程:2(x-1)=2+x.
【解析】2(x-1)=2+x,
2x-2=2+x,
2x-x=2+2,
x=4.
2.(2025·新疆)解方程组:.
【解析】①+②,得4x=8,解得x=2,
把x=2代入②,得2+y=3,
解得y=1,
∴原方程组的解为.
3.(2024·苏州)解方程组:.
【自主解答】,
①-②得:4y=4,即y=1,
将y=1代入①得:x=3,
则方程组的解为.
4.(2023·台州)解方程组:.
【解析】,
①+②得3x=9,解得x=3,
把x=3代入①,得3+y=7,解得y=4.
∴方程组的解是.
考点3　一次方程(组)的应用
【示范题3】(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
【自主解答】设游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒,
由题意得:,解得:.
答:游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒.
【答题关键指导】
列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.
(2)设元:找出题中的未知量,并用字母表示出来.
(3)列方程(组):挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组.
(4)求解.
(5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答.
1.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣,学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观,计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租),若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位,则租车方案有(B)
A.3种　 B.4种　 C.5种　 D.6种
2.(2024·山西)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
【解析】设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克,
根据题意得:,
解得:,
答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克.
1.(2024·广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩 设出租的田有x亩,可列方程为(B)
A.++=1 B.++=100
C.3x+4x+5x=1 D.3x+4x+5x=100
2.(2024·广西)解方程组:
【解析】,
①+②,得2x=4,解得x=2;
①-②,得4y=2,解得y=;
∴方程组的解为.
3.(2025·广西)自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境内 路段 广西境内 特定路段 广西境内 其他路段
周一至 周四 9.5折
周五至 周日 9.5折 全免 5折
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元.求此行程的高速费实付多少元 比原价优惠了多少元 (用代数式表示)
(2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.
【解析】(1)此行程高速费原价总共为(a+b+c)元,此行程的高速费实付0.95a+0+0.5c=(0.95a+0.5c)元,比原价优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元.
(2)设广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是x元和y元,
,
解得,
故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元.
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知识要点 对点练习
1.等式的性质 等式的性质1:如果a=b,那么a±c= ; 等式的性质2:如果a=b,那么ac= ; 如果a=b,那么= (c≠0). 1.(教材再开发·湘教七上P88例2改编)根据等式的性质,下列各式变形正确的是( ) A.若=,则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-x=6,则x=-2
2.一元一次方程及其解法 (1)定义:含有 未知数,且未知数的 ,等号两边都是 的方程. (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右两边 的未知数的值. (3)解一元一次方程的步骤:去分母、 、 、 、系数化为1. 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一次方程的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)方程3(x+3)=6的解是 .
3.二元一次方程组及其解法 (1)定义:含有 个未知数,并且含有 的次数都是1的 方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组合在一起叫做二元一次方程组. (2)二元一次方程组的解:能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值. (3)解二元一次方程组的思想: . (4)解法:① 消元法. ② 消元法. 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= (2)已知二元一次方程组,则x-y的值为 . (3)解方程组:.
考点1　一次方程(组)的相关概念
【示范题1】(2023·眉山)已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答题关键指导】
1.当已知某个数(数对)为一次方程(组)的解时,把解代入方程(组),消去原来的未知数,得到新的方程(组),求解方程(组),得出所求字母的取值.
2.关于x的一元一次方程ax+b=0,二元一次方程ax+by=c中,未知数的系数不等于0,如(k-1)+3=0是一元一次方程的条件为k=-1,而非k=±1.
　(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
考点2　一次方程(组)的解法
【示范题2】(2025·遂宁)已知x=2是方程3a-2x=2的解,则a= .
1.(2025·眉山)解方程:2(x-1)=2+x.
2.(2025·新疆)解方程组:.
3.(2024·苏州)解方程组:.
4.(2023·台州)解方程组:.
考点3　一次方程(组)的应用
【示范题3】(2025·吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
【答题关键指导】
列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)审题:找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.
(2)设元:找出题中的未知量,并用字母表示出来.
(3)列方程(组):挖掘题目中的关系,找出两个等量关系,列出方程组.
(4)求解.
(5)检验作答:检验所求解是否符合实际意义,并作答.
1.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣,学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观,计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租),若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位,则租车方案有( )
A.3种　 B.4种　 C.5种　 D.6种
2.(2024·山西)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
1.(2024·广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱,第二年4亩1钱,第三年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩 设出租的田有x亩,可列方程为( )
A.++=1 B.++=100
C.3x+4x+5x=1 D.3x+4x+5x=100
2.(2024·广西)解方程组:
3.(2025·广西)自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:
湖南境内 路段 广西境内 特定路段 广西境内 其他路段
周一至 周四 9.5折
周五至 周日 9.5折 全免 5折
(1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元.求此行程的高速费实付多少元 比原价优惠了多少元 (用代数式表示)
(2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元.

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