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微专题1　一元二次方程根与系数的关系
角度1　已知一根,求另一根及字母系数
【解答思路】
　方法一:先利用根与系数的关系求出另一根,再根据方程的两根及根与系数的关系求出字母系数.
方法二:先把已知根代入方程,求出字母系数,再解方程求出另一根.
1.若x=-1是方程x2-3x+k+1=0的一个根,则此方程的另一个根是(D)
A.-5 B.0 C.3 D.4
2.(2025·达州)已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值为　2　.
3.(2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为　-1　,另一个根为 　2　.
角度2　求关于两根代数式的值
【解答思路】
常用五种“变形”
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;
(2)+=;
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5)x1+x2=x1x2(x1+x2).
4.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2 019的值是(A)
A.2 023 B.2 021
C.2 020 D.2 019
5.已知x1,x2是方程x2-x-2 023=0的两个实数根,则代数式-2 023x1+的值是(A)
A.4 047 B.4 045
C.2 023 D.1
6.(2025·广安)已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b,则代数式a2-4a+b的值为　29　.
7.(2023·鄂州)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= 　.
8.(2024·内江)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)填空:x1+x2=　　　,x1x2=　　　;
(2)求+,x1+;
(3)已知+=2p+1,求p的值.
【解析】(1)由根与系数的关系得:x1+x2=p,x1x2=1,
答案:p　1
(2)∵x1+x2=p,x1x2=1,
∴+===p;
∵关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2,
∴-px1+1=0,
∴x1-p+=0,即x1+=p;
(3)由根与系数的关系得:x1+x2=p,x1x2=1,
∵+=2p+1,∴(x1+x2)2-2x1x2=2p+1,∴p2-2=2p+1,解得:p1=3,p2=-1,当p=3时,Δ=p2-4=9-4=5>0;
当p=-1时,Δ=p2-4=-3<0;∴p=3.
9.先化简再求值:(+)÷,其中a,b是一元二次方程x2-(+1)x+2=0的两个根.
【解析】原式=[+]÷=(+)·=·=,
∵a,b是一元二次方程x2-(+1)x+2=0的两个根,
∴a+b=+1,ab=2,
∴原式===.
角度3　确定方程中待定字母的值或范围
【解答思路】
一元二次方程根与系数的关系常与根的判别式相结合,一般按下面方法解题:
10.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,且+=3,则p的值为(A)
A.- B. C.-6 D.6
11.(2025·北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,则实数a的值为(C)
A.-4　 B.-1　 C.1　 D.4
12.(2025·山东)若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是　m>-4　.
13.(2025·南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时,求x2及m的值.
(2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0.
【解析】(1)把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6,∴m=±.
∴(x-1)(x-2)=6,
即x2-3x-4=0,
∴(x-4)(x+1)=0,
∴x1=-1,x2=4.
(2)方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0.
∴Δ=9-4(2-m2)=4m2+1>0,∴方程有两个不相等的实数根.
∵方程(x-1)(x-2)=m2的两根为x1,x2,∴x1+x2=3,x1·x2=2-m2.
∴(x1-1)(x2-1)
=x1·x2-(x1+x2)+1
=2-m2-3+1
=-m2.
∵m2≥0,∴-m2≤0,
即(x1-1)(x2-1)≤0.
角度4　由方程的根的关系求作新方程
【解答思路】
(1)设原方程的两个根为x1,x2,同时写出新方程的两根(用x1,x2表示);
(2)写出原方程两根之和与两根之积;
(3)写出新方程两根之和与两根之积;
(4)写出新方程.
14.若x1+x2=,x1x2=-,则以x1,x2为根的一元二次方程是(C)
A.-7x2+x-13=0 B.x2-7x-13=0
C.7x2-x-13=0 D.x2+7x+13=0
15.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是(B)
A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0
16.在已知方程x2-3x+1=0,求一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是　x2-3x+1=0　.
17.已知,x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根,
(1)求+的值;
(2)求一个新的一元二次方程,使它的两根分别是原方程两根的相反数.
【解析】(1)∵x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根,
∴x1+x2=2,x1·x2=-3,
∴+===-.
(2)∵x1+x2=2,x1·x2=-3,
∴(-x1)+(-x2)=-(x1+x2)=-2,(-x1)·(-x2)=x1·x2=-3,
∴当a=1时,-x1和-x2是方程x2+2x-3=0的根,则新方程为x2+2x-3=0.
角度5　已知方程,判断两实根的符号
【解答思路】
(1)要使方程有两个实数根,满足a≠0且Δ≥0;
(2)利用两根和x1+x2,两根积x1·x2,结合条件判断.
18.一元二次方程x2+bx-2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是(B)
A.有两个正根
B.有一正根一负根且正根的绝对值大
C.有两个负根
D.有一正根一负根且负根的绝对值大
19.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论:①两个正根;②两个负根;③一个正根,一个负根,正确的是　③　(写出序号).
20.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.
(1)求证:无论k为何实数,此方程总有实数根.
(2)k为何值时,两根异号且负根的绝对值大
【解析】(1)Δ=[-(2k-3)]2-4×(2k-4)=4k2-20k+25=(2k-5)2.
∵(2k-5)2≥0,即Δ≥0,
∴无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)∵两根异号且负根的绝对值大,
∴,∴k<,
∴当k<时,两根异号且负根的绝对值大.微专题1　一元二次方程根与系数的关系
角度1　已知一根,求另一根及字母系数
【解答思路】
　方法一:先利用根与系数的关系求出另一根,再根据方程的两根及根与系数的关系求出字母系数.
方法二:先把已知根代入方程,求出字母系数,再解方程求出另一根.
1.若x=-1是方程x2-3x+k+1=0的一个根,则此方程的另一个根是( )
A.-5 B.0 C.3 D.4
2.(2025·达州)已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值为 .
3.(2023·怀化)已知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一个根为-1,则m的值为 ,另一个根为 .
角度2　求关于两根代数式的值
【解答思路】
常用五种“变形”
(1)+=(x1+x2)2-2x1x2;
(2)+=;
(3)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2;
(4)(x1+a)(x2+a)=x1x2+a(x1+x2)+a2;
(5)x1+x2=x1x2(x1+x2).
4.已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2 019的值是( )
A.2 023 B.2 021
C.2 020 D.2 019
5.已知x1,x2是方程x2-x-2 023=0的两个实数根,则代数式-2 023x1+的值是( )
A.4 047 B.4 045
C.2 023 D.1
6.(2025·广安)已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b,则代数式a2-4a+b的值为 .
7.(2023·鄂州)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则+= .
8.(2024·内江)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)填空:x1+x2= ,x1x2= ;
(2)求+,x1+;
(3)已知+=2p+1,求p的值.
9.先化简再求值:(+)÷,其中a,b是一元二次方程x2-(+1)x+2=0的两个根.
角度3　确定方程中待定字母的值或范围
【解答思路】
一元二次方程根与系数的关系常与根的判别式相结合,一般按下面方法解题:
10.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1,x2,且+=3,则p的值为( )
A.- B. C.-6 D.6
11.(2025·北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,则实数a的值为( )
A.-4　 B.-1　 C.1　 D.4
12.(2025·山东)若关于x的一元二次方程x2+4x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 .
13.(2025·南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根.
(1)当x1=-1时,求x2及m的值.
(2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0.
角度4　由方程的根的关系求作新方程
【解答思路】
(1)设原方程的两个根为x1,x2,同时写出新方程的两根(用x1,x2表示);
(2)写出原方程两根之和与两根之积;
(3)写出新方程两根之和与两根之积;
(4)写出新方程.
14.若x1+x2=,x1x2=-,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )
A.-7x2+x-13=0 B.x2-7x-13=0
C.7x2-x-13=0 D.x2+7x+13=0
15.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是( )
A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0
16.在已知方程x2-3x+1=0,求一个一元二次方程使它的根分别是原方程各根的倒数,则这个一元二次方程是 .
17.已知,x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根,
(1)求+的值;
(2)求一个新的一元二次方程,使它的两根分别是原方程两根的相反数.
角度5　已知方程,判断两实根的符号
【解答思路】
(1)要使方程有两个实数根,满足a≠0且Δ≥0;
(2)利用两根和x1+x2,两根积x1·x2,结合条件判断.
18.一元二次方程x2+bx-2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是( )
A.有两个正根
B.有一正根一负根且正根的绝对值大
C.有两个负根
D.有一正根一负根且负根的绝对值大
19.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数)的根的情况,下列结论:①两个正根;②两个负根;③一个正根,一个负根,正确的是 (写出序号).
20.已知关于x的方程x2-(2k-3)x+2k-4=0.
(1)求证:无论k为何实数,此方程总有实数根.
(2)k为何值时,两根异号且负根的绝对值大

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