资源简介

第二十二讲　与圆有关的位置关系
知识要点 对点练习
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 　d>r　;点P在圆上 　d=r　;点P在圆内 　d2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:　相交　、　相切　、　相离　. (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有　唯一　公共点的直线. ②性质:圆的切线　垂直于　过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且　垂直　于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长　相等　,这一点和圆心的连线　平分　两条切线的夹角. 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是　0≤d<2.5　. (2) (教材再开发·湘教九下P76T11改编)如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为　10 cm　.
3.三角形的外接圆与内切圆 名称三角形的外接圆三角形的内切圆图形圆心三角形的　外心　,三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的内心,三角形三条　角平分线　的交点 性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离 　相等　 三角形的内心到三角形三边的距离 　相等　
3.如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A=　20　°.
考点1　点、直线与圆位置关系的判定
【示范题1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是(C)
A.2 B.3 C.4 D.5
【示范题2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是(B)
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
【答题关键指导】
直线与圆的三种位置关系
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,
(1)直线与圆相交 d(2)直线与圆相切 d=r.
(3)直线与圆相离 d>r.
(2025·云南)已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为　5　cm.
考点2　切线的判定与性质
【示范题3】(2025·自贡)PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB的度数为(D)
A.50° B.100°　
C.130° D.50°或130°
【答题关键指导】
切线判定的两种思路
1.“连半径,证垂直”:若直线与圆有公共点时,则连接半径,证半径与直线垂直.
2.“作垂直,证半径”:若未给出直线和圆有公共点时,可过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径.
1.(2025·福建)如图,PA与☉O相切于点A,PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC,且交☉O于点B.若∠P=30°,则∠BCP的大小为(C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.(2025·安徽)如图,AB是☉O的弦,PB与☉O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,则∠PAB的大小为　20　°.
考点3　三角形的外接圆和内切圆
【示范题4】(2023·仙桃)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD=　35°　.
【答题关键指导】
三角形外心的性质
(1)三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.
(2)三角形的外接圆有且只有一个,对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形有无数个,这些三角形的外心重合.
(3)三角形的内心是三角形内切圆的圆心,它是三角形三个内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
(4)一个三角形只有一个内切圆,但一个圆有无数个外切的三角形.
如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则AD∶AB=(B)
A.2∶ B.∶
C.∶ D.∶2
1.(2024·广西)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)求证:AF与☉O相切;
(3)若tan∠BAC=,BC=12,求☉O的半径.
【解析】(1)∵点D,E分别是BC,AC的中点,
∴BD=DC,AE=EC,
在△EDC和△EFA中,
,
∴△EDC≌△EFA(SAS),
∴DC=AF,∠EDC=∠F,
∴BC∥AF,BD=AF,
∴四边形ABDF是平行四边形;
(2)连接AD,如图,
∵AB=AC,BD=DC
∴AD⊥BC,
∴AD垂直平分BC,
∴AD经过圆心O,
由(1)知:AF∥BC,
∴DA⊥AF,
∵OA为☉O半径,
∴AF与☉O相切;
(3)连接OB,OC,OD,如图,
∵OB=OC,BD=CD=BC=6,
∴OD⊥BC,∠BOD=∠BOC,
∵∠BAC=∠BOC,
∴∠BOD=∠BAC.
∵tan∠BAC=,
∴tan∠BOD=,
∵tan∠BOD=,
∴=,
∴OD=8,
∴OB==10,
∴☉O的半径为10.
2.(2023·广西)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长.
【解析】(1)因为PA与☉O相切于点A,且OA是☉O的半径,∴PA⊥OA,
∵PO平分∠APD,OB⊥PD于点B,OA⊥PA于点A,
∴OB=OA,∴点B在☉O上,
∵OB是☉O的半径,且PB⊥OB,
∴PB是☉O的切线.
(2)∵OA=OB=4,OC=5,
∴AC=OA+OC=4+5=9,
∵∠OBC=90°,
∴BC===3,
∵∠A=90°,
∴==tan ∠ACP=,
∴PA=AC=×9=12,
∴PA的长是12.
跟踪诊断,请使用“校本作业”第二十二讲　与圆有关的位置关系
知识要点 对点练习
1.点与圆的位置关系 (1)设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外 ;点P在圆上 ;点P在圆内 . (2)确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定 圆. (3)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的 的交点. 1.(1)若☉O的半径是4,点A在☉O内,则OA的长可能是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 (2)给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是( ) A.已知圆心 B.已知半径 C.已知直径 D.不在同一直线上的三个点 (3)△ABC的三边长分别为6,8,10,则△ABC的外接圆的半径为 .
2.直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系: 、 、 . (2)切线的定义、性质与判定: ①定义:和圆有 公共点的直线. ②性质:圆的切线 过切点的直径. ③判定:经过半径的外端,并且 于这条半径的直线是圆的切线. (3)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 2.(1)已知☉O的直径为5,设圆心O到直线l的距离为d,当直线l与☉O相交时,d的取值范围是 . (2) (教材再开发·湘教九下P76T11改编)如图,P是☉O外一点,PA,PB分别和☉O切于A,B,C是上任意一点,过C作☉O的切线分别交PA,PB于D,E,若△PDE的周长为20 cm,则PA长为 .
3.三角形的外接圆与内切圆 名称三角形的外接圆三角形的内切圆图形圆心三角形的 ,三角形三条边的垂直平分线的交点 三角形的内心,三角形三条 的交点 性质三角形的外心到三角形三个顶点的距离 三角形的内心到三角形三边的距离
3.如图,O是△ABC的内心,∠BOC=100°,则∠A= °.
考点1　点、直线与圆位置关系的判定
【示范题1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【示范题2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
【答题关键指导】
直线与圆的三种位置关系
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,
(1)直线与圆相交 d(2)直线与圆相切 d=r.
(3)直线与圆相离 d>r.
(2025·云南)已知☉O的半径为5 cm.若点P在☉O上,则点P到圆心O的距离为 cm.
考点2　切线的判定与性质
【示范题3】(2025·自贡)PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则∠ACB的度数为( )
A.50° B.100°　
C.130° D.50°或130°
【答题关键指导】
切线判定的两种思路
1.“连半径,证垂直”:若直线与圆有公共点时,则连接半径,证半径与直线垂直.
2.“作垂直,证半径”:若未给出直线和圆有公共点时,可过圆心作直线的垂线段,证明垂线段的长等于半径.
1.(2025·福建)如图,PA与☉O相切于点A,PO的延长线交☉O于点C.AB∥PC,且交☉O于点B.若∠P=30°,则∠BCP的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.(2025·安徽)如图,AB是☉O的弦,PB与☉O相切于点B,圆心O在线段PA上.已知∠P=50°,则∠PAB的大小为 °.
考点3　三角形的外接圆和内切圆
【示范题4】(2023·仙桃)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
【答题关键指导】
三角形外心的性质
(1)三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离相等.
(2)三角形的外接圆有且只有一个,对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形有无数个,这些三角形的外心重合.
(3)三角形的内心是三角形内切圆的圆心,它是三角形三个内角平分线的交点,它到三角形三边的距离相等.
(4)一个三角形只有一个内切圆,但一个圆有无数个外切的三角形.
如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则AD∶AB=( )
A.2∶ B.∶
C.∶ D.∶2
1.(2024·广西)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)求证:AF与☉O相切;
(3)若tan∠BAC=,BC=12,求☉O的半径.
2.(2023·广西)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B.
(1)求证:PB是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长.

展开更多......

收起↑