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第二十三讲　圆的有关计算
知识要点 对点练习
1.正多边形和圆 (1)定义:各边 ,各角也都 的多边形是正多边形. (2)正多边形和圆的关系:把一个圆 ,依次连接 可作出圆的内接正n边形. 1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是( ) A.72°　　　　　B.70° C.60°　　　　　D.45°
2.圆中的弧长与扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= . (2)扇形面积: ①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= . ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= . 2.(教材再开发·人教九上P115T1改编)(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为( ) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为 .
3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧= ; ②S圆柱全= ; ③V圆柱= . (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:①S圆锥侧= ; ②S圆锥全= ; ③V圆锥=πR2h. 3.(1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是( ) A.96π cm2　　B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是 . (3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为 cm2.
考点1　正多边形和圆的有关计算
【示范题1】(2025·上海)已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边,那么这个角的度数为 度.
【答题关键指导】
正多边形的有关计算的常用公式
1.有关角的计算:
(1)正n边形的内角和=(n-2)180°,外角和=360°.
(2)正n边形的每个内角=,每个外角=.
(3)正n边形的中心角=.
2.有关边的计算:
(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).
(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).
1.如图,已知☉O的周长等于6π,则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为( )
A.3 B. C. D.3
2.(2025·山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是( )
A.π B.2π C.3π D.4π
考点2　弧长和扇形面积的有关计算
【示范题2】(2025·连云港)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=45°.若☉O的半径为2,则劣弧BC的长为 .
【示范题3】(2024·遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米,计算出淤泥横截面的面积为( )
A.π-平方米 B.π-平方米
C.π-平方米 D.π-平方米
【答题关键指导】
1.在解决弧长和扇形的相关计算时,首先找出扇形的圆心角与半径.
2.熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解决问题的关键.
1.(2025·绥化)在☉O中,如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么☉O的半径是( )
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
2.(2025·青岛)如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).
考点3　与圆有关的阴影面积的计算
【示范题4】(2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形,边CD与☉O相切于点E,连接BE,∠ABE=15°,连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 .
【答题关键指导】
求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法;③割补法.
1.(2025·山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心、BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8
2.(2024·甘肃)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术,是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品,它的部分设计图如图2,其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O=100°,若OA=120 cm,OB=60 cm,则阴影部分的面积是 cm2.(结果用π表示)
考点4　圆锥的有关计算
【示范题5】(2025·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径为40 cm,母线长为90 cm,则其侧面展开图的圆心角为 度.
【答题关键指导】
立体图形与平面图形的联系
1.圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长为圆锥的底面圆的周长,扇形的半径为圆锥的母线长,圆锥的侧面积=扇形的面积=圆锥底面圆的周长与母线长乘积的一半.
2.圆锥的高、底面半径和母线可以构成一个直角三角形,从而应用勾股定理帮助计算.
3.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
1.(2025·云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为( )
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
2.(2025·龙东)若圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥侧面展开图的面积为 .
3.(2025·达州)如图,圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知圆锥的底面半径为2,则扇形的弧长是 . 第二十三讲　圆的有关计算
知识要点 对点练习
1.正多边形和圆 (1)定义:各边　相等　,各角也都　相等　的多边形是正多边形. (2)正多边形和圆的关系:把一个圆　n等分　,依次连接　各分点　可作出圆的内接正n边形. 1.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,连接AC,则∠ACD的度数是(A) A.72°　　　　　B.70° C.60°　　　　　D.45°
2.圆中的弧长与扇形面积 (1)半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l= 　. (2)扇形面积: ①半径为R的圆中,圆心角为n°的扇形面积为S扇形= 　. ②半径为R,弧长为l的扇形面积为S扇形= lR　. 2.(教材再开发·人教九上P115T1改编)(1)用一张半圆形铁皮,围成一个底面半径为4 cm的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计),则圆锥的母线长为(B) A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm (2)已知圆心角为135°的扇形面积为24π,则扇形的半径为　8　.
3.圆柱和圆锥 (1)设圆柱的高为l,底面半径为R,则有: ①S圆柱侧=　2πRl　; ②S圆柱全=　2πR2+2πRl　; ③V圆柱=　πR2l　. (2)设圆锥的母线长为l,底面半径为R,高为h,则有:①S圆锥侧=　πRl　; ②S圆锥全=　πRl+πR2　; ③V圆锥=πR2h. 3.(1)已知圆锥的母线长为8 cm,底面圆的直径为6 cm,则这个圆锥的侧面积是(D) A.96π cm2　　B.48π cm2 C.33π cm2 D.24π cm2 (2)底面半径为3,母线长为5的圆锥的高是　4　. (3)若圆锥的底面圆半径为2 cm,母线长是5 cm,则它的侧面展开图的面积为　10π　cm2.
考点1　正多边形和圆的有关计算
【示范题1】(2025·上海)已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边,那么这个角的度数为　108或36　度.
【答题关键指导】
正多边形的有关计算的常用公式
1.有关角的计算:
(1)正n边形的内角和=(n-2)180°,外角和=360°.
(2)正n边形的每个内角=,每个外角=.
(3)正n边形的中心角=.
2.有关边的计算:
(1)r2+=R2(r表示边心距,R表示半径,a表示边长).
(2)l=na(l表示周长,n表示边数,a表示边长).
(3)S正n边形=lr(l表示周长,r表示边心距).
1.如图,已知☉O的周长等于6π,则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为(C)
A.3 B. C. D.3
2.(2025·山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是(D)
A.π B.2π C.3π D.4π
考点2　弧长和扇形面积的有关计算
【示范题2】(2025·连云港)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=45°.若☉O的半径为2,则劣弧BC的长为　π　.
【示范题3】(2024·遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)宽AB为1米,计算出淤泥横截面的面积为(A)
A.π-平方米 B.π-平方米
C.π-平方米 D.π-平方米
【答题关键指导】
1.在解决弧长和扇形的相关计算时,首先找出扇形的圆心角与半径.
2.熟练掌握弧长公式及扇形面积公式是解决问题的关键.
1.(2025·绥化)在☉O中,如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么☉O的半径是(A)
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
2.(2025·青岛)如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为　3-π　(结果保留π).
考点3　与圆有关的阴影面积的计算
【示范题4】(2025·河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形,边CD与☉O相切于点E,连接BE,∠ABE=15°,连接OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为 π-2　.
【答题关键指导】
求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,便于求解.这种解题方法也体现了整体思想、转化思想.将不规则图形面积转化为规则图形的面积,常用的方法有:①直接用公式法;②和差法;③割补法.
1.(2025·山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心、BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为(D)
A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8
2.(2024·甘肃)甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术,是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品,它的部分设计图如图2,其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O,且圆心角∠O=100°,若OA=120 cm,OB=60 cm,则阴影部分的面积是　3 000π　cm2.(结果用π表示)
考点4　圆锥的有关计算
【示范题5】(2025·齐齐哈尔)若圆锥的底面半径为40 cm,母线长为90 cm,则其侧面展开图的圆心角为　160　度.
【答题关键指导】
立体图形与平面图形的联系
1.圆锥的侧面展开图是扇形,它的弧长为圆锥的底面圆的周长,扇形的半径为圆锥的母线长,圆锥的侧面积=扇形的面积=圆锥底面圆的周长与母线长乘积的一半.
2.圆锥的高、底面半径和母线可以构成一个直角三角形,从而应用勾股定理帮助计算.
3.圆锥的全面积=圆锥的侧面积+底面积.
1.(2025·云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为(B)
A.9 cm B.10 cm
C.11 cm D.12 cm
2.(2025·龙东)若圆锥的底面半径为3,高为4,则圆锥侧面展开图的面积为　15π　.
3.(2025·达州)如图,圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知圆锥的底面半径为2,则扇形的弧长是　4π　.
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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