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第二十一讲　圆的认识
知识要点 对点练习
1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转　一周　,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是　轴对称图形　,任何一条　直径所在直线　都是它的对称轴. 1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.(√)
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径　平分弦　, 并且平分弦所对的　两条弧　. (2)推论:平分弦(不是直径)的直径　垂直于弦　, 并且平分弦所对的　两条弧　. 2.(教材再开发·人教九上P83练习T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于　3　cm.
3.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角　相等　,都等于这条弧所对的圆心角的　一半　. (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是　直角　,90°的圆周角所对的弦是　直径　. ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角　相等　,它们所对的弧一定　相等　. 3.如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于(C) A.10° B.14° C.16° D.26°
4.圆心角、弧、弦之间的关系 名称内容表示形式定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧　相等　,所对的弦　相等　 如图, ∵∠AOB=∠COD, ∴=,AB=CD推论1.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;1.如图,∵=,, ∴∠AOB=　∠COD　, AB=　CD　 2.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等2.如图,∵AB=CD, ∴∠AOB=　∠COD　, =,
4.(1)(教材再开发·人教九上P88T5改编)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于(A) A.40° B.50° C.60° D.70° (2)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为(C) A.55° B.60° C.65° D.70°
5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角　互补　. 5.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则∠C=　105　°.
考点1　垂径定理及推论
【示范题1】(2025·新疆)如图,CD是☉O的直径,AB是弦,AB⊥CD,∠ADC=30°,则∠BOC=(C)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答题关键指导】
垂径定理运用中的“两注意”
1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.
2.方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题,这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.
(2024·凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为(C)
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
考点2　圆周角和圆心角
【示范题2】(2025·湖北)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线MN交AC于点D,连接BD并延长交☉O于点E,连接OA,OE,则∠AOE的度数是(C)
A.30° B.50° C.60° D.75°
【答题关键指导】
1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应.
2.在解决圆周角问题时,常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系,利用此关系进行角之间的转化和计算.
3.由于直径所对的圆周角是直角,所以在圆中,有直径时,构造直径所对的圆周角,利用解直角三角形的知识解决问题,这是圆中最常用的方法.
1.(2025·重庆)如图,点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,∠C的度数是(B)
A.40° B.50° C.80° D.100°
2.(2024·苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A=　62　°.
考点3　弧、弦、圆心角
【示范题3】(2025·山西)如图,AB为☉O的直径,点C,D是☉O上位于AB异侧的两点,连接AD,CD.若=,则∠D的度数为(B)
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答题关键指导】
圆心角、弧、弦三者的关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.
1.(2025·甘肃)如图,四边形ABCD内接于☉O,=,连接BD,若∠ABC=70°,则∠BDC的度数为(C)
A.20° B.35° C.55° D.70°
2.(2025·陕西)如图,AB为☉O的直径,=,∠CDB=24°,则∠ACD的度数为　66°　.
考点4　圆内接四边形
【示范题4】(2025·广安)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为　6　.
【答题关键指导】
圆内接四边形的角的“两种”关系
1.对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
2.任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
1.(2025·泸州)如图,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°,则∠CBD=(B)
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.(2024·武汉)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是(A)
A. B. C. D.
1.(2023·广西)如图,点A,B,C,在☉O上,∠C=40°.则∠AOB的度数是(D)
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.(2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为(B)
A.20 m　 B.28 m C.35 m　 D.40 m
3.(2025·广西)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ABC=65°,BC=CD.
(1)求证:△BOC≌△DOC;
(2)求∠ABD的度数.
【解析】(1)∵OC=OC,BC=CD,OB=OD,
∴△BOC≌△DOC(SSS);
(2)∵OC=OB,
∴∠OCB=∠ABC=65°,
∴∠COB=180°-65°×2=50°,
∵△BOC≌△DOC,
∴∠DOC=∠COB=50°,
∴∠DOB=100°,
∵OD=OB,
∴△DOB是等腰三角形,
∴∠ABD=∠ODB==40°.
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知识要点 对点练习
1.圆的定义及圆的轴对称性 (1)定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转 ,另一个端点A所形成的图形. (2)轴对称性:圆是 ,任何一条 都是它的对称轴. 1.判断:(填“√”或“×”) 圆有无数条对称轴.(√)
2.垂径定理及推论 (1)垂径定理:垂直于弦的直径 , 并且平分弦所对的 . (2)推论:平分弦(不是直径)的直径 , 并且平分弦所对的 . 2.(教材再开发·人教九上P83练习T1改编)如图,在直径为10 cm的☉O中,AB=8 cm,弦OC⊥AB于点C,则OC等于 cm.
3.圆周角定理及推论 (1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ,都等于这条弧所对的圆心角的 . (2)推论: ①半圆(或直径)所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对的弦是 . ②在同圆或等圆中,如果两个圆周角 ,它们所对的弧一定 . 3.如图,AB是半圆的直径,C,D是半圆上的两点,∠ADC=106°,则∠CAB等于( ) A.10° B.14° C.16° D.26°
4.圆心角、弧、弦之间的关系 名称内容表示形式定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 ,所对的弦 如图, ∵∠AOB=∠COD, ∴=,AB=CD推论1.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;1.如图,∵=,, ∴∠AOB= , AB= 2.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的优弧和劣弧分别相等2.如图,∵AB=CD, ∴∠AOB= , =,
4.(1)(教材再开发·人教九上P88T5改编)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,A为中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70° (2)如图,四边形ABCD的外接圆为☉O,BC=CD,∠DAC=35°,∠ACD=45°,则∠ADB的度数为( ) A.55° B.60° C.65° D.70°
5.圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角 . 5.如图所示,四边形ABCD是圆内接四边形,其中∠A=75°,则∠C= °.
考点1　垂径定理及推论
【示范题1】(2025·新疆)如图,CD是☉O的直径,AB是弦,AB⊥CD,∠ADC=30°,则∠BOC=( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答题关键指导】
垂径定理运用中的“两注意”
1.两条辅助线:一是过圆心作弦的垂线,二是连接圆心和弦的一端(即半径),这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中,运用勾股定理求解.
2.方程思想:在直接运用垂径定理求线段的长度时,常常将未知的一条线段设为x,利用勾股定理构造关于x的方程解决问题,这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路.
(2024·凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为( )
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
考点2　圆周角和圆心角
【示范题2】(2025·湖北)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线MN交AC于点D,连接BD并延长交☉O于点E,连接OA,OE,则∠AOE的度数是( )
A.30° B.50° C.60° D.75°
【答题关键指导】
1.同弧所对的圆周角、圆心角、弦、弦心距等要对应.
2.在解决圆周角问题时,常要考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系,利用此关系进行角之间的转化和计算.
3.由于直径所对的圆周角是直角,所以在圆中,有直径时,构造直径所对的圆周角,利用解直角三角形的知识解决问题,这是圆中最常用的方法.
1.(2025·重庆)如图,点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,∠C的度数是( )
A.40° B.50° C.80° D.100°
2.(2024·苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= °.
考点3　弧、弦、圆心角
【示范题3】(2025·山西)如图,AB为☉O的直径,点C,D是☉O上位于AB异侧的两点,连接AD,CD.若=,则∠D的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
【答题关键指导】
圆心角、弧、弦三者的关系可理解为:在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.
1.(2025·甘肃)如图,四边形ABCD内接于☉O,=,连接BD,若∠ABC=70°,则∠BDC的度数为( )
A.20° B.35° C.55° D.70°
2.(2025·陕西)如图,AB为☉O的直径,=,∠CDB=24°,则∠ACD的度数为 .
考点4　圆内接四边形
【示范题4】(2025·广安)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为 .
【答题关键指导】
圆内接四边形的角的“两种”关系
1.对角互补:若四边形ABCD为☉O的内接四边形,则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°.
2.任一外角与其相邻的内角的对角相等,简称圆内接四边形的外角等于其内对角.
1.(2025·泸州)如图,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°,则∠CBD=( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
2.(2024·武汉)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是( )
A. B. C. D.
1.(2023·广西)如图,点A,B,C,在☉O上,∠C=40°.则∠AOB的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.(2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为( )
A.20 m　 B.28 m C.35 m　 D.40 m
3.(2025·广西)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠ABC=65°,BC=CD.
(1)求证:△BOC≌△DOC;
(2)求∠ABD的度数.

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