资源简介

微专题13　隐形圆模型
模型1　定点定长模型
特点 有多条共顶点的相等线段
示例
思路 结论 由于OA=OB=OC,所以点A,B,C都在以定点O为圆心的同一个圆上
1.如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到A'B'处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是(B)
A.直线的一部分 B.圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
2.如图,四边形ABCD中,DA=DB=DC,∠BDC=72°,则∠BAC的度数为　36°　.
3.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为　2-1　.
模型2　90°圆周角模型
特点 有固定线段AB和固定90°角(∠ACB=90°)
示例
思路 结论 点A,B,C(点A,B,C,D)都在以定线段AB的中点O为圆心的同一个圆上
4.如图,△ABC中,∠ABC=45°,∠BCA=75°,BC=6-2,点P是BC上一动点,PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,在点P的运动过程中,线段DE的最小值为(B)
A.3-3　　B.　　C.4-6　　D.2
5.(2025·自贡)如图,正方形ABCD边长为6,以对角线BD为斜边作Rt△BED,∠E=90°,点F在DE上,连接BF.若2BE=3DF,则BF的最小值为(D)
A.6　 B.6-　
C.3　 D.4-2
6.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为　2+1　,最小值为　2-1　.
7.如图,已知正方形ABCD,边长为4,点M是正方形ABCD对角线AC上一点,连接BM,过点A作AH⊥BM,垂足为H,连接CH.在M点从C到A的运动过程中,CH的最小值为　2-2　.
模型3　定弦定角模型
特点 有固定线段AB和固定角(∠ACB度数多为120°和135°)
示例
思路 结论 点A,B,C都在以点O为圆心的同一个圆上
8.如图,等边△ABC边长为2,E,F分别是BC,CA上两个动点,且BE=CF,连接AE,BF,交点为P点,则CP的最小值是(A)
A. B.
C. D.2
9.(2025·宜宾)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,连接AD,使得△ACD的面积为24,连接BD,则BD的最大值是　2+4　.
模型4　四点共圆模型
特点 ∠B=∠D或∠B+∠D=180°
示例
思路 结论 点A,B,C,D都在以点O为圆心的同一个圆上
10.如图,P为等边△ABC外的一个动点(P点与A点分别在BC所在直线的不同侧),且∠APB=60°,AB=1,则PB+PC的最大值为(C)
A. B. C. D.
11.如图,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=4,AC=3,F是DE的中点,若E点是直线BC上的动点,连接BF,则BF的最小值是(B)
A. B.2 C. D.4
12.(2025·南充)如图,AC为正方形ABCD的对角线,CE平分∠ACB,交AB于点E,把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF,延长CE交AF于点M,连接DM,交AC于点N.给出下列结论:①CM⊥AF;②CF=AF;③∠CMD=45°;④=-1.以上结论正确的是　①③④　.(填写序号)
模型5　点圆最值
特点 点P是任意一点,点A在圆上运动
示例
思路 结论 连接OP并延长(反向延长),与圆O交于点B,点C,PA的最小值是PB(半径-OP的绝对值),PA的最大值是PC(半径+OP)
13.如图,点A,B的坐标分别为A(3,0),B(0,3),点C为坐标平面内的一点,且BC=2,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为(A)
A.+1 B.
C.+ D.3+2
14.如图,正方形ABCD的边长为10,点G是边CD的中点,点E是边AD上一动点,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△FBE,连接GF,当GF最小时,AE的长是　5-5　.
15.【问题情境】(1)点A是☉O外一点,点P是☉O上一动点.若☉O的半径为2,且OA=5,则点P到点A的最短距离为　　　　　.
【直接运用】(2)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是　　　　　　.
【构造运用】(3)如图2,已知正方形ABCD的边长为6,点M,N分别从点B,C同时出发,以相同的速度沿边BC,CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,求点P到点C的最短距离,并说明理由.
【解析】(1)当点P是OA与☉O的交点时,PA为最短,AP=AO-OP=5-2=3.
答案:3
(2)如图,连接AO,当A,P,O在同一直线上时,点P到点A的最短,
∵AC=BC=2,∴r=BC=1,
∴AO==,
∴AP的最小值为AO-r=-1.
答案:-1
(3)∵AB=BC,∠ABM=∠BCN,BM=CN,
∴△ABM≌△BCN(SAS),∴∠BAM=∠CBN,∴∠CBN+∠ABN=90°,∴∠BAM+∠ABN=90°,∴AM⊥BN,故点P点在以AB为直径的圆上运动,连接OC,与☉O相交,此交点P即为PC最小时的位置;
∵AB=6,∴OC==3,
∴PC的最小值为3-3.
模型6　线圆最值
特点 有一条直线,圆上一个动点
示例
思路 结论 P到直线AB的最小值就是圆心O到直线AB的距离减半径的绝对值,P到直线AB的最大值就是圆心O到直线AB的距离加半径
16.如图,已知直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A,B两点,以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上找一动点P,连接PA,PB,则△PAB面积的最大值是(A)
A.10 B.9 C.6+ D.9
17.如图所示,在☉O中,AB为弦,OC⊥AB交AB于点D.且OD=DC.P为☉O上任意一点,连接PA,PB,若☉O的半径为,则S△PAB的最大值为(A)
A. B. C. D.
18.如图,在Rt△AOB中,OB=2,∠A=30°,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为　2　.
模型7　最大张角
特点 两定点AB在∠C的一条边CM上,另一动点P在∠C的另一条边CN上
示例
思路 结论 当过A,B,P三点的圆与CN相切时,∠APB最大
19.如图,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.连接BD,CE,将△ADE绕点A旋转一周,在旋转的过程中当∠DBA最大时,△ACE的面积为(A)
A.6 B.6 C.9 D.9
20.如图,在正方形ABCD中,边长为4,M是CD的中点,点P是BC上一个动点,当∠DPM的度数最大时,则BP=　4-2　. 微专题13　隐形圆模型
模型1　定点定长模型
特点 有多条共顶点的相等线段
示例
思路 结论 由于OA=OB=OC,所以点A,B,C都在以定点O为圆心的同一个圆上
1.如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到A'B'处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是( )
A.直线的一部分 B.圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
2.如图,四边形ABCD中,DA=DB=DC,∠BDC=72°,则∠BAC的度数为 .
3.(2023·宜宾)如图,M是正方形ABCD边CD的中点,P是正方形内一点,连接BP,线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ的最小值为 .
模型2　90°圆周角模型
特点 有固定线段AB和固定90°角(∠ACB=90°)
示例
思路 结论 点A,B,C(点A,B,C,D)都在以定线段AB的中点O为圆心的同一个圆上
4.如图,△ABC中,∠ABC=45°,∠BCA=75°,BC=6-2,点P是BC上一动点,PD⊥AC于D,PE⊥AB于E,在点P的运动过程中,线段DE的最小值为( )
A.3-3　　B.　　C.4-6　　D.2
5.(2025·自贡)如图,正方形ABCD边长为6,以对角线BD为斜边作Rt△BED,∠E=90°,点F在DE上,连接BF.若2BE=3DF,则BF的最小值为( )
A.6　 B.6-　
C.3　 D.4-2
6.(2024·河南)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋转,过点B作AD的垂线,交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 ,最小值为 .
7.如图,已知正方形ABCD,边长为4,点M是正方形ABCD对角线AC上一点,连接BM,过点A作AH⊥BM,垂足为H,连接CH.在M点从C到A的运动过程中,CH的最小值为 .
模型3　定弦定角模型
特点 有固定线段AB和固定角(∠ACB度数多为120°和135°)
示例
思路 结论 点A,B,C都在以点O为圆心的同一个圆上
8.如图,等边△ABC边长为2,E,F分别是BC,CA上两个动点,且BE=CF,连接AE,BF,交点为P点,则CP的最小值是( )
A. B.
C. D.2
9.(2025·宜宾)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,连接AD,使得△ACD的面积为24,连接BD,则BD的最大值是 .
模型4　四点共圆模型
特点 ∠B=∠D或∠B+∠D=180°
示例
思路 结论 点A,B,C,D都在以点O为圆心的同一个圆上
10.如图,P为等边△ABC外的一个动点(P点与A点分别在BC所在直线的不同侧),且∠APB=60°,AB=1,则PB+PC的最大值为( )
A. B. C. D.
11.如图,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=4,AC=3,F是DE的中点,若E点是直线BC上的动点,连接BF,则BF的最小值是( )
A. B.2 C. D.4
12.(2025·南充)如图,AC为正方形ABCD的对角线,CE平分∠ACB,交AB于点E,把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF,延长CE交AF于点M,连接DM,交AC于点N.给出下列结论:①CM⊥AF;②CF=AF;③∠CMD=45°;④=-1.以上结论正确的是 .(填写序号)
模型5　点圆最值
特点 点P是任意一点,点A在圆上运动
示例
思路 结论 连接OP并延长(反向延长),与圆O交于点B,点C,PA的最小值是PB(半径-OP的绝对值),PA的最大值是PC(半径+OP)
13.如图,点A,B的坐标分别为A(3,0),B(0,3),点C为坐标平面内的一点,且BC=2,点M为线段AC的中点,连接OM,则OM的最大值为( )
A.+1 B.
C.+ D.3+2
14.如图,正方形ABCD的边长为10,点G是边CD的中点,点E是边AD上一动点,连接BE,将△ABE沿BE翻折得到△FBE,连接GF,当GF最小时,AE的长是 .
15.【问题情境】(1)点A是☉O外一点,点P是☉O上一动点.若☉O的半径为2,且OA=5,则点P到点A的最短距离为 .
【直接运用】(2)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧CD上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 .
【构造运用】(3)如图2,已知正方形ABCD的边长为6,点M,N分别从点B,C同时出发,以相同的速度沿边BC,CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN交于点P,求点P到点C的最短距离,并说明理由.
模型6　线圆最值
特点 有一条直线,圆上一个动点
示例
思路 结论 P到直线AB的最小值就是圆心O到直线AB的距离减半径的绝对值,P到直线AB的最大值就是圆心O到直线AB的距离加半径
16.如图,已知直线y=x-4与x轴、y轴分别交于A,B两点,以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上找一动点P,连接PA,PB,则△PAB面积的最大值是( )
A.10 B.9 C.6+ D.9
17.如图所示,在☉O中,AB为弦,OC⊥AB交AB于点D.且OD=DC.P为☉O上任意一点,连接PA,PB,若☉O的半径为,则S△PAB的最大值为( )
A. B. C. D.
18.如图,在Rt△AOB中,OB=2,∠A=30°,☉O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(其中点Q为切点),则线段PQ长度的最小值为 .
模型7　最大张角
特点 两定点AB在∠C的一条边CM上,另一动点P在∠C的另一条边CN上
示例
思路 结论 当过A,B,P三点的圆与CN相切时,∠APB最大
19.如图,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.连接BD,CE,将△ADE绕点A旋转一周,在旋转的过程中当∠DBA最大时,△ACE的面积为( )
A.6 B.6 C.9 D.9
20.如图,在正方形ABCD中,边长为4,M是CD的中点,点P是BC上一个动点,当∠DPM的度数最大时,则BP= .

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