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微专题14　圆中常用辅助线的探寻
类型1　见弦连半径,得等腰三角形
图形 示例
辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解
思路 结论 OA=OB,∠OAB=∠OBA
1.如图,△ABC内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=(A)
A.44° B.45° C.54° D.67°
2.(2024·山东)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB=　40°　.
3.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 　.
类型2　见弦作垂径,得直角三角形
图形 示例
辅助 线 在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解
思路 结论 AC=BC,OC2+BC2=OB2
4.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是(C)
A. B. C. D.
5.(2023·广安)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为　7　.
6.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.
(1)求此下水管道横截面的半径;
(2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少.
【解析】(1)过点O作OD⊥AB于点C,交圆O于点D,连接OB,则CD=0.1米,
∴BC=AB=0.3米,
设此下水管横截面的半径为r米,则OB=OD=r米,∴OC=(r-0.1)米,
在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2,
∴r2=(r-0.1)2+0.32,解得:r=0.5,
即此下水管道横截面的半径为0.5米;
(2)如图,过点O作OH⊥MN于点H,
∴MH=NH=MN,
根据题意得:CH=0.7米,
ON=0.5米,
∴OH=0.7-(0.5-0.1)=0.3(米),
∴NH==0.4米,
∴MN=0.8米,
∴此时水面的宽度增加了0.8-0.6=0.2米.
类型3　见直径作弦,得90°圆周角
图形 示例
辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解
思路 结论 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2
7.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是(C)
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.如图,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=45°,AC=,则☉O的半径是　1　.
9.如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=,求AD的长.
【解析】(1)连接AC,
∵AB为直径,
∴∠ACB=∠ACE=90°,
又∵点C是的中点,
∴∠CAE=∠CAB,CD=CB,
又∵AC=AC,∴△ACE≌△ACB(ASA),
∴CE=CB,∴CE=CD;
(2)∵△ACE≌△ACB,AB=3,
∴AE=AB=3,
又∵四边形ABCD内接于圆O,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠ADC+∠CDE=180°,
∴∠CDE=∠ABE,
又∵∠E=∠E,∴△EDC∽△EBA,∴=,即=,
解得DE=2,∴AD=AE-DE=1.
类型4　见切线连圆心和切点,得切线垂直半径
图形 示例
辅助 线 在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质解决问题
思路 结论 OA⊥PA
10.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是(C)
A.3 B.4 C.3 D.4
11.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为(C)
A.28° B.50° C.56° D.62°
12.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接PO并延长与☉O交于点C,D,若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值为(A)
A. B. C. D.
13.(2024·南宁模拟)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD,OE交CD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:直线BE与☉O相切;
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
【解析】(1)连接OD,
∵CD与☉O相切于点D,
∴∠ODE=90°,
∵AD∥OE,
∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB,
∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,
∴∠DOE=∠EOB,
∵OD=OB,OE=OE,
∴△DOE≌△BOE(SAS),
∴∠OBE=∠ODE=90°,
∵OB是☉O的半径,
∴直线BE与☉O相切;
(2)设☉O的半径为R,
在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC2,
∴R2+42=(R+2)2,
∴R=3,∴AB=2R=6,
∴BC=AC+AB=2+6=8,
由(1)得△DOE≌△BOE,∴DE=BE,
在Rt△BCE中,BC2+BE2=CE2,
∴82+BE2=(4+DE)2,
∴64+DE2=(4+DE)2,
∴DE=6,∴DE的长为6.
类型5　连半径证垂直或作垂直证半径,得相切
图形 示例
辅助 线 图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,来证明PA是圆O的切线; 图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径,来证明PA是圆O的切线;
思路 结论 PA是圆O的切线
14.如图,点P是☉O上一点,AB是一条弦,点C是上一点,与点D关于AB对称,AD交☉O于点E,CE与AB交于点F,且BD∥CE.给出下面四个结论:①CD平分∠BCE;②BE=BD;③AE2=AF·AB;④BD为☉O的切线.
其中所有正确结论的序号是　①②④　.
15.(等角转换证垂直)如图,AB为☉O的弦,OC⊥OA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin A=,OA=8,求CB的长.
【解析】(1)直线BC与☉O相切,
理由:如图,连接OB,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∵CP=CB,∴∠CPB=∠CBP,
∵∠APO=∠CPB,∴∠APO=∠CBP,
∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°,
∴∠OBA+∠CBP=90°,∴∠OBC=90°,
∵OB为半径,∴直线BC与☉O相切;
(2)在Rt△AOP中,sin A=,
∵sin A=,∴设OP=x,则AP=5x,
∵OP2+OA2=AP2,∴(x)2+82=(5x)2,
解得:x=或-(不符合题意,舍去),
∴OP=×=4,
∵∠OBC=90°,∴BC2+OB2=OC2,
∵CP=CB,OB=OA=8,
∴BC2+82=(BC+4)2,解得BC=6,
∴CB的长为6.
16.(平行证垂直)如图,已知半径为5的☉M经过x轴上一点C,与y轴交于A,B两点,连接AM,AC,AC平分∠OAM,AO+CO=6.
(1)判断☉M与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)求AB的长;
(3)连接BM并延长交☉M于点D,连接CD,求直线CD的解析式.
【解析】(1)猜测☉M与x轴相切,理由如下:
如图,连接CM,
∵AC平分∠OAM,∴∠OAC=∠CAM,
又∵MC=AM,∴∠CAM=∠ACM,
∴∠OAC=∠ACM,∴OA∥MC,
∵OA⊥x轴,∴MC⊥x轴,
∵CM是半径,∴☉M与x轴相切.
(2)如图,过点M作MN⊥y轴于点N,
∴AN=BN=AB,
∵∠MCO=∠AOC=∠MNA=90°,∴四边形MNOC是矩形,
∴NM=OC,MC=ON=5,
设AO=m,则OC=6-m,
∴AN=5-m,
在Rt△ANM中,由勾股定理可知,AM2=AN2+MN2,∴52=(5-m)2+(6-m)2,
解得m=2或m=9(舍去),
∴AN=3,∴AB=6.
(3)如图,连接AD与CM交于点E,
∵BD是直径,∴∠BAD=90°,
∴AD∥x轴,∴AD⊥MC,
由勾股定理可得AD=8,∴D(8,-2).
由(2)可得C(4,0),
设直线CD的解析式为y=kx+b,
∴,解得.
∴直线CD的解析式为y=-x+2.
17.(全等证垂直)如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.
【解析】(1)连接OD,∵AD∥OC,
∴∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,
∴∠BOC=∠DOC,
在△BOC和△DOC中,,
∴△BOC≌△DOC(SAS),
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∵OD为☉O的半径,∴CD是☉O的切线;
(2)过点D作DH⊥BC于H,
∵ED∥BC,∴∠OED=180°-∠ABC=90°,则四边形EBHD为矩形,
∴BH=ED,DH=BE,
∵AB=8,AE=1,∴OE=3,BE=7,
∴ED===.
∵CB,CD是☉O的切线,∴CB=CD,
设CB=CD=x,则CH=x-,
在Rt△DHC中,DH2+CH2=CD2,
即72+(x-)2=x2,
解得x=4,即BC=4,
∵ED∥BC,∴=,即=,
解得EF=.
类型6　见内心连顶点,得角平分线
图形 示例
辅助 线 点I是三角形ABC的内心,连接内心I和顶点A,用三角形内心的性质解决问题
18.如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是(A)
A. B. C. D.
19.如图,已知△ABC的周长是20,点O为三角形内心,连接OB,OC,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是(C)
A.20 B.25 C.30 D.35
20.如图,AB为☉O的直径,C为圆上一点,I为△ABC的内心,AI交☉O于D,OI⊥AD于I,连接BD,则AB与BD的关系是(C)
A.AB=2BD B.AB=BD
C.AB=BD D.AB=BD微专题14　圆中常用辅助线的探寻
类型1　见弦连半径,得等腰三角形
图形 示例
辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解
思路 结论 OA=OB,∠OAB=∠OBA
1.如图,△ABC内接于☉O,∠C=46°,连接OA,则∠OAB=( )
A.44° B.45° C.54° D.67°
2.(2024·山东)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB= .
3.如图,☉O的直径AB经过弦CD的中点H,若cos∠CDB=,BD=5,则☉O的半径为 .
类型2　见弦作垂径,得直角三角形
图形 示例
辅助 线 在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径,组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解
思路 结论 AC=BC,OC2+BC2=OB2
4.如图,☉O是等边△ABC的外接圆,若AB=3,则☉O的半径是( )
A. B. C. D.
5.(2023·广安)如图,△ABC内接于☉O,圆的半径为7,∠BAC=60°,则弦BC的长度为 .
6.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米.
(1)求此下水管道横截面的半径;
(2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少.
类型3　见直径作弦,得90°圆周角
图形 示例
辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解
思路 结论 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2
7.如图,△ABC内接于☉O,AD是☉O的直径,若∠B=20°,则∠CAD的度数是( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
8.如图,△ABC是☉O的内接三角形.若∠ABC=45°,AC=,则☉O的半径是 .
9.如图,四边形ABCD内接于圆O,AB是直径,点C是的中点,延长AD交BC的延长线于点E.
(1)求证:CE=CD;
(2)若AB=3,BC=,求AD的长.
类型4　见切线连圆心和切点,得切线垂直半径
图形 示例
辅助 线 在圆中,出现切线,连接圆心和切点,得到垂直,进而用直角三角形的相关性质解决问题
思路 结论 OA⊥PA
10.如图,AB是☉O的切线,B为切点,连接AO交☉O于点C,延长AO交☉O于点D,连接BD.若∠A=∠D,且AC=3,则AB的长度是( )
A.3 B.4 C.3 D.4
11.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为( )
A.28° B.50° C.56° D.62°
12.如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接PO并延长与☉O交于点C,D,若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值为( )
A. B. C. D.
13.(2024·南宁模拟)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD,OE交CD的延长线于点E,连接BE.
(1)求证:直线BE与☉O相切;
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
类型5　连半径证垂直或作垂直证半径,得相切
图形 示例
辅助 线 图1:连接圆心和切点,通过证明OA⊥PA,来证明PA是圆O的切线; 图2:过圆心作OA⊥PM,通过证明OA是圆O的半径,来证明PA是圆O的切线;
思路 结论 PA是圆O的切线
14.如图,点P是☉O上一点,AB是一条弦,点C是上一点,与点D关于AB对称,AD交☉O于点E,CE与AB交于点F,且BD∥CE.给出下面四个结论:①CD平分∠BCE;②BE=BD;③AE2=AF·AB;④BD为☉O的切线.
其中所有正确结论的序号是 .
15.(等角转换证垂直)如图,AB为☉O的弦,OC⊥OA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP.
(1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若sin A=,OA=8,求CB的长.
16.(平行证垂直)如图,已知半径为5的☉M经过x轴上一点C,与y轴交于A,B两点,连接AM,AC,AC平分∠OAM,AO+CO=6.
(1)判断☉M与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)求AB的长;
(3)连接BM并延长交☉M于点D,连接CD,求直线CD的解析式.
17.(全等证垂直)如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.
类型6　见内心连顶点,得角平分线
图形 示例
辅助 线 点I是三角形ABC的内心,连接内心I和顶点A,用三角形内心的性质解决问题
18.如图,等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
19.如图,已知△ABC的周长是20,点O为三角形内心,连接OB,OC,OD⊥BC于点D,且OD=3,则△ABC的面积是( )
A.20 B.25 C.30 D.35
20.如图,AB为☉O的直径,C为圆上一点,I为△ABC的内心,AI交☉O于D,OI⊥AD于I,连接BD,则AB与BD的关系是( )
A.AB=2BD B.AB=BD
C.AB=BD D.AB=BD

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