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微专题15　求与圆相关阴影部分面积的四种方法
方法1　公式法
图形示例
方法解读 所求阴影部分面积是规则图形的面积,如圆形、扇形等,可以直接利用公式进行计算
思路结论 S阴影=
1.(2023·邵阳)如图,某数学兴趣小组用一张半径为30 cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8 cm,那么这张扇形纸板的面积为 .(结果保留π)
2.如图,在 ABCD中,E为BC的中点,以E为圆心,BE长为半径画弧交对角线AC于点F,若∠BAC=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BEF的面积为 .(结果保留π)
3.如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则正六边形的边长为 .
4.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AD于点E,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
5.如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为 (用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为 .
方法2　和差法
图形 示例
方法 解读 所求阴影部分面积是不规则图形的面积,可以通过转化或作辅助线,把不规则图形变成规则图形(扇形、三角形、特殊四边形),利用规则图形面积的和或差进行计算
思路 结论 S阴影=S扇形AOB-S△AOB; S阴影=S△ABC-S扇形BAD; S阴影=S扇形BOD+S△COD
6.(2024·乐山)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,过点C作☉O的切线CD交BA延长线于点D,点E为上一点,且=.
(1)求证:DC∥AE;
(2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积.
7.(2024·齐齐哈尔)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
方法3　等积转化法
图形 示例
方法 解读 所求阴影部分面积是不规则图形的面积,而且无法分割为规则图形的面积,此时通过等面积转化(等底同高、图形的平移、图形的旋转、图形的对称),再把不规则图形进行转化,为利用公式法和和差法打好基础
思路 结论 S阴影=S扇形COD S阴影=S△CDE
8.如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点.以C为圆心,2为半径作圆弧BD,再分别以E,F为圆心,1为半径作圆弧BO,OD,则图中阴影部分的面积为( )
A.π-1 B.π-3 C.π-2 D.4-π
9. (2023·包头)如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,对角线BD的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为 .
10.如图,等边三角形ABC内接于☉O,BC=2,则图中阴影部分的面积是 .
11.如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A,B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为( )
A.- B.-
C.- D.-
12.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°,则图中阴影部分面积是 .
方法4　容斥原理法
图形 示例
方法 解读 所求阴影部分面积是不规则图形的面积,先把图中各部分标上序号,然后找图中的规则图形,如矩形、正方形、三角形、扇形等,弄清各规则图形面积的组成.最后就是凑阴影部分,利用找到的规则图形进行相加减凑出阴影部分面积.
思路 结论 S大扇形=S1+S2+S3 S矩形=S2+S3+S4 S小扇形=S3+S4 S阴影=S1+S3 S阴影=S大扇形-S矩形+S小扇形
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,分别以AC,BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为( )
A.10π-8 B.10π-16
C.10π D.5π
14.如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC=,以A为圆心,以AB为半径作,以BC为直径作,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
15.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,以点A为圆心,1为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,以点C为圆心,4为半径作弧,分别交AC,BC于点A,F.若图中阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1-S2的值为 . 微专题15　求与圆相关阴影部分面积的四种方法
方法1　公式法
图形示例
方法解读 所求阴影部分面积是规则图形的面积,如圆形、扇形等,可以直接利用公式进行计算
思路结论 S阴影=
1.(2023·邵阳)如图,某数学兴趣小组用一张半径为30 cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子(接缝忽略不计),如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8 cm,那么这张扇形纸板的面积为　240π cm2　.(结果保留π)
2.如图,在 ABCD中,E为BC的中点,以E为圆心,BE长为半径画弧交对角线AC于点F,若∠BAC=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BEF的面积为 　.(结果保留π)
3.如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则正六边形的边长为　6　.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交AD于点E,则图中阴影部分的面积为 π　.(结果保留π)
5.如图,从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形,这个扇形的面积为 　(用含π的代数式表示);如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,圆锥的底面圆直径为 　.
方法2　和差法
图形 示例
方法 解读 所求阴影部分面积是不规则图形的面积,可以通过转化或作辅助线,把不规则图形变成规则图形(扇形、三角形、特殊四边形),利用规则图形面积的和或差进行计算
思路 结论 S阴影=S扇形AOB-S△AOB; S阴影=S△ABC-S扇形BAD; S阴影=S扇形BOD+S△COD
6.(2024·乐山)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB为直径,过点C作☉O的切线CD交BA延长线于点D,点E为上一点,且=.
(1)求证:DC∥AE;
【解析】连接OC,∵CD为☉O的切线,点C在☉O上,
∴∠OCD=90°,
∴∠DCA+∠OCA=90°,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠OAC=90°.
∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠ABC=∠DCA,
∵=,
∴∠ABC=∠CAE,
∴∠CAE=∠DCA,
∴CD∥AE;
(2)若EF垂直平分OB,DA=3,求阴影部分的面积.
【解析】(2)连接OE,BE,
∵EF垂直平分OB,∴OE=BE,
∵OE=OB,∴△OEB为等边三角形.
∴∠BOE=60°,∴∠AOE=180°-60°=120°,
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=30°.
∵DC∥AE,∴∠D=∠OAE=30°.
∵∠OCD=90°,∴OD=2OC=OA+AD,
∵OA=OC,∴OC=AD=3,
∴AO=OE=OC=3,∴EF=OE=,
∴S△OAE=AO·FE=,
∵S扇形OAE=·π·9=3π,
∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE=3π-.
7.(2024·齐齐哈尔)如图,△ABC内接于☉O,AB为☉O的直径,CD⊥AB于点D,将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,点D的对应点为E,延长EC交BA的延长线于点F.
(1)求证:CF是☉O的切线;
(2)若sin∠CFB=,AB=8,求图中阴影部分的面积.
【解析】(1)连接OC,
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵将△CDB沿BC所在的直线翻折,得到△CEB,∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°,
∴∠OCB=∠CBE,∴OC∥BE,
∴∠FCO=∠E=90°,
∵OC是☉O的半径,∴CF是☉O的切线;
(2)∵sin∠CFB=,∴∠CFB=45°,
∵∠FCO=90°,∴∠COF=∠CFO=45°,
∴CF=OC=AB=4,
∵∠CDO=90°,∴∠OCD=∠COD=45°,
∴CD=OD=OC=2,
∴S阴影=S扇形AOC-S△COD=-×2×2=2π-4.
方法3　等积转化法
图形 示例
方法 解读 所求阴影部分面积是不规则图形的面积,而且无法分割为规则图形的面积,此时通过等面积转化(等底同高、图形的平移、图形的旋转、图形的对称),再把不规则图形进行转化,为利用公式法和和差法打好基础
思路 结论 S阴影=S扇形COD S阴影=S△CDE
8.如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点.以C为圆心,2为半径作圆弧BD,再分别以E,F为圆心,1为半径作圆弧BO,OD,则图中阴影部分的面积为(C)
A.π-1 B.π-3 C.π-2 D.4-π
9. (2023·包头)如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,对角线BD的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为　π　.
10.如图,等边三角形ABC内接于☉O,BC=2,则图中阴影部分的面积是 　.
11.如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A,B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为(B)
A.- B.-
C.- D.-
12.如图,边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O,以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH=90°,则图中阴影部分面积是　2π-4　.
方法4　容斥原理法
图形 示例
方法 解读 所求阴影部分面积是不规则图形的面积,先把图中各部分标上序号,然后找图中的规则图形,如矩形、正方形、三角形、扇形等,弄清各规则图形面积的组成.最后就是凑阴影部分,利用找到的规则图形进行相加减凑出阴影部分面积.
思路 结论 S大扇形=S1+S2+S3 S矩形=S2+S3+S4 S小扇形=S3+S4 S阴影=S1+S3 S阴影=S大扇形-S矩形+S小扇形
13.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,分别以AC,BC为直径画半圆,则图中阴影部分的面积为(B)
A.10π-8 B.10π-16
C.10π D.5π
14.如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC=,以A为圆心,以AB为半径作,以BC为直径作,则图中阴影部分的面积是　π-2　.(结果保留π)
15.如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=120°,以点A为圆心,1为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,以点C为圆心,4为半径作弧,分别交AC,BC于点A,F.若图中阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1-S2的值为　4-　.

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