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第二十四讲　平移、旋转与轴对称
知识要点 对点练习
1.平移、旋转与轴对称的有关性质 (1)平移的性质. ①平移后的图形与原图形的对应线段 (或在同一条直线上)且 ,对应角 . ②连接各组对应点的线段 (或在同一条直线上)且 . (2)旋转的性质. ①对应点到旋转中心的距离 . ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 . ③旋转前、后的图形 . (3)轴对称的性质. ①如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 . ②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 . (4)中心对称的性质. ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过 ,而且被对称中心所 . ②中心对称的两个图形是 图形. 1.(1)剪纸又称刻纸,是中国最古老的民间艺术之一,它是以纸为加工对象,以剪刀(或刻刀)为工具进行创作的艺术.民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态,构成美丽的图案.下列剪纸中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) (2)在直角坐标系中,点(4,5)绕原点O按逆时针方向旋转90°,得到的点的坐标为 .
2.坐标变换的规律 (1)在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点 (或 );将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点 (或 ). (2)在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 ,关于y轴对称的点的坐标为 . (3)在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P' . 2.(1)如图,线段CD可以看成由线段AB先向下平移 个单位长度,再向右平移 个单位长度得到. (2)点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是( ) A.(2,3) B.(-2,-3) C.(-3,2) D.(-2,3)
考点1　平移、旋转与轴对称的识别
【示范题1】(2025·重庆)下列图案中,是轴对称图形的是( )
【答题关键指导】
1.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形沿对称轴折叠后两侧图形完全重合.
2.判断中心对称图形的关键是寻找对称中心,图形绕对称中心旋转180度后与原图形重合.
1.(2025·遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体,在发展过程中演变出多种字体,给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书,能看作是轴对称图形的是( )
2.(2025·自贡)起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中,为中心对称图形的是( )
考点2　平移、旋转与轴对称性质的应用
【示范题2】(2025·自贡)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为( )
A.(-3,5) B.(5,-3)
C.(-2,5) D.(5,-2)
【答题关键指导】
1.找准图形的变化规律,从“动”的角度去思考,明确“动中不动”.
2.图形的旋转关键是转化为关键点的旋转,抓住旋转的三要素(旋转中心、旋转方向和旋转角).
3.识记旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
1.(2025·德阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE=( )
A.3 B.2 C.1 D.
2.(2025·河北)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A落在A'处,A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内的C'处,下列结论一定正确的是( )
A.∠1=45°-α　
B.∠1=α
C.∠2=90°-α　
D.∠2=2α
3.(2025·甘肃)如图,把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点B'处,B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边三角形.若AB=6 cm,则AD= cm.
考点3　图形变化与点的坐标变化
【示范题3】(2025·眉山)在平面直角坐标系中,将点A(-1,3)向右平移2个单位长度到点B,则点B的坐标为( )
A.(-3,3)　 B.(-1,1)
C.(1,3)　 D.(-1,5)
【答题关键指导】
1.在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
2.利用旋转变换作图,要找出旋转中心、旋转方向和旋转角.
3.熟练掌握网格结构,找出对应点的位置是解题的关键.
1.(2025·陕西)在平面直角坐标系中,过点(1,0),(0,2)的直线向上平移3个单位长度,平移后的直线经过的点的坐标可以是( )
A.(1,-3)　 B.(1,3)
C.(-3,2)　 D.(3,2)
2.(2025·深圳)如图,将无人机沿着x轴向右平移3个单位长度,若无人机上一点P的坐标为(1,2),则平移后点P'的坐标为 .
考点4　与平移、旋转、轴对称相关的网格作图
【示范题4】(2023·达州)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积.
【答题关键指导】
网格中平移、旋转作图的要点
(1)确定图形平移的方向、距离.
(2)确定图形旋转的方向、旋转角.
(3)借助网格确定图形上的关键点,以局部思考整体.
(4)利用网格确定平移的距离和旋转角的大小.
1.(2024·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
2.(2025·龙东)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(1,-3),C(3,-4).
(1)将△ABC向上平移5个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到△A1B1C1,画出两次平移后的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)在(2)的条件下,求点C1旋转到点C2的过程中,所经过的路径长(结果保留π).
1.(2024·广西)端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是( )
2.(2023·广西)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是( )
3.(2025·广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图,设计某种绣球叶瓣时,可以先在图纸上建立平面直角坐标系,再分别以原点O,O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆,两圆相交于A,B两点,其公共部分构成叶瓣①(阴影部分),同理得到叶瓣②.
(1)写出A,B两点的坐标;
(2)求叶瓣①的周长(结果保留π);
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.
4.(2022·桂林)如图,在平面直角坐标系中,形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2,3),B(1,0),C(0,3).
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位长度后的图形;
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形;
(3)所得图形与原图形结合起来,你能从中看出什么英文字母 (任意答一个即可)第二十四讲　平移、旋转与轴对称
知识要点 对点练习
1.平移、旋转与轴对称的有关性质 (1)平移的性质. ①平移后的图形与原图形的对应线段　平行　(或在同一条直线上)且　相等　,对应角　相等　. ②连接各组对应点的线段　平行　(或在同一条直线上)且　相等　. (2)旋转的性质. ①对应点到旋转中心的距离　相等　. ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于　旋转角　. ③旋转前、后的图形　全等　. (3)轴对称的性质. ①如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的　垂直平分线　. ②轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的　垂直平分线　. (4)中心对称的性质. ①中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过　对称中心　,而且被对称中心所　平分　. ②中心对称的两个图形是　全等　图形. 1.(1)剪纸又称刻纸,是中国最古老的民间艺术之一,它是以纸为加工对象,以剪刀(或刻刀)为工具进行创作的艺术.民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态,构成美丽的图案.下列剪纸中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(C) (2)在直角坐标系中,点(4,5)绕原点O按逆时针方向旋转90°,得到的点的坐标为　(-5,4)　.
2.坐标变换的规律 (1)在直角坐标系中,将点(x,y)向右(或左)平移a个单位长度,可以得到对应点　(x+a,y)　(或　(x-a,y)　);将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度,可以得到对应点　(x,y+b)　(或　(x,y-b)　). (2)在直角坐标系中,点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为　(x,-y)　,关于y轴对称的点的坐标为　(-x,y)　. (3)在直角坐标系中,两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P'　(-x,-y)　. 2.(1)如图,线段CD可以看成由线段AB先向下平移　2　个单位长度,再向右平移　2　个单位长度得到. (2)点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是(D) A.(2,3) B.(-2,-3) C.(-3,2) D.(-2,3)
考点1　平移、旋转与轴对称的识别
【示范题1】(2025·重庆)下列图案中,是轴对称图形的是(B)
【答题关键指导】
1.判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形沿对称轴折叠后两侧图形完全重合.
2.判断中心对称图形的关键是寻找对称中心,图形绕对称中心旋转180度后与原图形重合.
1.(2025·遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体,在发展过程中演变出多种字体,给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书,能看作是轴对称图形的是(D)
2.(2025·自贡)起源于中国的围棋深受青少年喜爱.以下由黑白棋子形成的图案中,为中心对称图形的是(C)
考点2　平移、旋转与轴对称性质的应用
【示范题2】(2025·自贡)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为(A)
A.(-3,5) B.(5,-3)
C.(-2,5) D.(5,-2)
【答题关键指导】
1.找准图形的变化规律,从“动”的角度去思考,明确“动中不动”.
2.图形的旋转关键是转化为关键点的旋转,抓住旋转的三要素(旋转中心、旋转方向和旋转角).
3.识记旋转的性质:旋转前后两图形全等;对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
1.(2025·德阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE=(B)
A.3 B.2 C.1 D.
2.(2025·河北)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A落在A'处,A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内的C'处,下列结论一定正确的是(D)
A.∠1=45°-α　
B.∠1=α
C.∠2=90°-α　
D.∠2=2α
3.(2025·甘肃)如图,把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点B'处,B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边三角形.若AB=6 cm,则AD=　12　cm.
考点3　图形变化与点的坐标变化
【示范题3】(2025·眉山)在平面直角坐标系中,将点A(-1,3)向右平移2个单位长度到点B,则点B的坐标为(C)
A.(-3,3)　 B.(-1,1)
C.(1,3)　 D.(-1,5)
【答题关键指导】
1.在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
2.利用旋转变换作图,要找出旋转中心、旋转方向和旋转角.
3.熟练掌握网格结构,找出对应点的位置是解题的关键.
1.(2025·陕西)在平面直角坐标系中,过点(1,0),(0,2)的直线向上平移3个单位长度,平移后的直线经过的点的坐标可以是(B)
A.(1,-3)　 B.(1,3)
C.(-3,2)　 D.(3,2)
2.(2025·深圳)如图,将无人机沿着x轴向右平移3个单位长度,若无人机上一点P的坐标为(1,2),则平移后点P'的坐标为　(4,2)　.
考点4　与平移、旋转、轴对称相关的网格作图
【示范题4】(2023·达州)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积.
【解析】(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示;
(3)S△ABC=2×3-×2×1-×2×1-×3×1=,
∵AC==,∴==π,∴在(2)的运动过程中△ABC扫过的面积=+S△ABC=π+.
【答题关键指导】
网格中平移、旋转作图的要点
(1)确定图形平移的方向、距离.
(2)确定图形旋转的方向、旋转角.
(3)借助网格确定图形上的关键点,以局部思考整体.
(4)利用网格确定平移的距离和旋转角的大小.
1.(2024·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积;
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.
【解析】(1)如图,画出△A1B1C1;
(2)连接BC1,B1C,以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积为10×8-2××2×4-2××4×8=40;
(3)如图,点E即为所求(答案不唯一),点E的坐标(6,6).
2.(2025·龙东)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-1),B(1,-3),C(3,-4).
(1)将△ABC向上平移5个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到△A1B1C1,画出两次平移后的△A1B1C1,并写出点C1的坐标;
(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)在(2)的条件下,求点C1旋转到点C2的过程中,所经过的路径长(结果保留π).
【解析】(1)如图,△A1B1C1即为所求:
∵C(3,-4),
∴向上平移5个单位长度,再向右平移1个单位长度得到C1(3+1,-4+5),即C1(4,1);
(2)如图,△A2B2C2即为所求,C2(-1,4);
(3)OC1==,
∴点C1旋转到点C2的过程中,所经过的路径长为=π.
1.(2024·广西)端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是(B)
2.(2023·广西)下列数学经典图形中,是中心对称图形的是(A)
3.(2025·广西)绣球是广西民族文化的特色载体.如图,设计某种绣球叶瓣时,可以先在图纸上建立平面直角坐标系,再分别以原点O,O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆,两圆相交于A,B两点,其公共部分构成叶瓣①(阴影部分),同理得到叶瓣②.
(1)写出A,B两点的坐标;
(2)求叶瓣①的周长(结果保留π);
(3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到.
【解析】(1)∵以原点O,O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆,两圆相交于A,B两点,
∴OA=OB=O'A=O'B=5,
∴四边形OAO'B是正方形,
∴∠AOB=∠OBO'=∠BO'A=∠O'AO=90°,
∴A(0,5),B(5,0);
(2)∵以原点O,O'(5,5)为圆心、以5为半径作圆,
∴两个圆是等圆,
∵∠AOB=∠AO'B=90°,
∴叶瓣①的周长为2×=5π;
(3)叶瓣②还可以由叶瓣①绕点B逆时针旋转90°得到.
4.(2022·桂林)如图,在平面直角坐标系中,形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A(2,3),B(1,0),C(0,3).
(1)画出“V”字图形向左平移2个单位长度后的图形;
(2)画出原“V”字图形关于x轴对称的图形;
(3)所得图形与原图形结合起来,你能从中看出什么英文字母 (任意答一个即可)
【解析】(1)如图1;
(2)如图2;
(3)图1是W,图2是X.(任意答一个即可)
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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