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微专题16　对称性质在最值中的应用
模型1　“一线两点”型
特点 两个定点A,B,点P在直线l上运动,何时PA+PB最小
示例
思路 结论 作点A关于直线l的对称点A',连接A'B与直线l交于点P,此时PA+PB最小
1.如图,在长方形ABCD中,AB=CD=2,BC=AD=3,F是DC边的中点,E是BC边上一动点,则AE+EF的最小值是( )
A.3　　　B.5　　　C.2　　　D.4
2.(2023·通辽)如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为( )
A.+ B.+
C.2+ D.2+
3.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为 .
4.(2024·广安)如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC上一动点,则MA+MD的最小值为 .
模型2　“一点两线”型
特点 一个定点C,点P在射线OA上运动,点Q在射线OB上运动,何时△CPQ的周长最小
示例
思路 结论 分别作点C关于射线OA和射线OB的对称点C'和C″,连接C'C″与射线OA和射线OB交于点P和Q,PC'=PC,QC=QC″,C',P,Q,C″共线,此时△CPQ的周长最小
5.如图,∠AOB=60°,点P到OA的距离是2,到OB的距离是3,M,N分别是OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值是( )
A.2　　B.3　　C.9　　D.5
6.如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=8.点M,N分别在OA,OB上.当△PMN的周长最小时,下列结论:①∠MPN等于120°;②∠MPN等于100°;③△PMN周长最小值为4;④△PMN周长最小值为8,其中正确的是( )
A.①③　　B.②③　　C.①④　　D.②④
7.(2024·内江)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点,且BE=2,点I是△ABC的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点,连接PE,PC,则PE+PC的最小值为 .
8.(2024·绥化)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA,点N为射线OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,则∠MPN= .
模型3　“两点两线”型
特点 两个定点A,B,点P在射线OC上运动,点Q在射线OD上运动,何时四边形APQB的周长最小
示例
思路 结论 作点A关于射线OC的对称点A',作点B关于射线OD的对称点B',连接A'B',与射线OC和射线OD交于点P和Q,此时四边形APQB的周长最小
9.如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD上的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是( )
A. B. C. D.
10.如图,在边长为8的正方形ABCD中,点G是BC边的中点,E,F分别是AD和CD边上的点,则四边形BEFG周长的最小值为 .
11.如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=2,ON=5,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
12.已知,如图,∠AOB=33°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠MPQ=α,∠PQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则β-α= . 微专题16　对称性质在最值中的应用
模型1　“一线两点”型
特点 两个定点A,B,点P在直线l上运动,何时PA+PB最小
示例
思路 结论 作点A关于直线l的对称点A',连接A'B与直线l交于点P,此时PA+PB最小
1.如图,在长方形ABCD中,AB=CD=2,BC=AD=3,F是DC边的中点,E是BC边上一动点,则AE+EF的最小值是(A)
A.3　　　B.5　　　C.2　　　D.4
2.(2023·通辽)如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为(A)
A.+ B.+
C.2+ D.2+
3.(2024·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为　5　.
4.(2024·广安)如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,∠ABC=30°,点M为直线BC上一动点,则MA+MD的最小值为 　.
模型2　“一点两线”型
特点 一个定点C,点P在射线OA上运动,点Q在射线OB上运动,何时△CPQ的周长最小
示例
思路 结论 分别作点C关于射线OA和射线OB的对称点C'和C″,连接C'C″与射线OA和射线OB交于点P和Q,PC'=PC,QC=QC″,C',P,Q,C″共线,此时△CPQ的周长最小
5.如图,∠AOB=60°,点P到OA的距离是2,到OB的距离是3,M,N分别是OA,OB上的动点,则△PMN周长的最小值是(A)
A.2　　B.3　　C.9　　D.5
6.如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=8.点M,N分别在OA,OB上.当△PMN的周长最小时,下列结论:①∠MPN等于120°;②∠MPN等于100°;③△PMN周长最小值为4;④△PMN周长最小值为8,其中正确的是(C)
A.①③　　B.②③　　C.①④　　D.②④
7.(2024·内江)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点,且BE=2,点I是△ABC的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点,连接PE,PC,则PE+PC的最小值为　2　.
8.(2024·绥化)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M为射线OA,点N为射线OB上的两个动点,当△PMN的周长最小时,则∠MPN=　80°　.
模型3　“两点两线”型
特点 两个定点A,B,点P在射线OC上运动,点Q在射线OD上运动,何时四边形APQB的周长最小
示例
思路 结论 作点A关于射线OC的对称点A',作点B关于射线OD的对称点B',连接A'B',与射线OC和射线OD交于点P和Q,此时四边形APQB的周长最小
9.如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE=1,点P,Q分别是边BC,CD上的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是(B)
A. B. C. D.
10.如图,在边长为8的正方形ABCD中,点G是BC边的中点,E,F分别是AD和CD边上的点,则四边形BEFG周长的最小值为　24　.
11.如图,∠AOB=30°,点M,N分别在边OA,OB上,且OM=2,ON=5,点P,Q分别在边OB,OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 　.
12.已知,如图,∠AOB=33°,点M,N分别是边OA,OB上的定点,点P,Q分别是边OB,OA上的动点,记∠MPQ=α,∠PQN=β,当MP+PQ+QN最小时,则β-α=　66°　.

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