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第二十五讲　相似形
知识要点 对点练习
1.相似三角形的性质 性质1:相似三角形的对应角　相等　,对应边的比　相等　. 性质2:相似三角形周长的比等于　相似比　. 性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于　相似比　. 性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的　平方　. 1.(1)(教材再开发·人教九下P31T2改编)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是4,则△ABC的面积为(B) A.12 B.9 C.10 D.8 (2)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC.若AD=5,DB=2,则DE∶BC=　5∶7　. (3)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么它们对应高线的比是　2∶3　.
2.相似三角形的判定 判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原　三角形　相似(相似三角形的预备定理). 判定2:三边　成比例　的两个三角形相似. 判定3:两边　成比例　且　夹角相等　的两个三角形相似. 判定4:两角　分别相等　的两个三角形相似. 2.下列说法正确的是(D) A.两个直角三角形相似 B.两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似 C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似 D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
3.位似 位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心. 3.(教材再开发·湘教九上P90T8改编)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长比为(C) A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶9
考点1　相似三角形的判定
【示范题1】(2025·深圳)如图,将正方形ABCD沿EF折叠,使得点A与对角线的交点O重合,EF为折痕,则的值为(D)
A.　 B. C.　 D.
【答题关键指导】
1.已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两边对应成比例即可推出两个三角形相似.
2.找条件时要注意公共边、公共角、对顶角等隐含条件的挖掘.
1.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为(D)
A.甲和乙　B.乙和丁　C.甲和丙　D.甲和丁
2.(2025·云南)如图,在△ABC中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且DE∥BC.若=,则=(A)
A. B. C. D.
考点2　相似三角形的性质
【示范题2】(2025·绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm,并且它们的周长之和为48 cm,那么较小三角形的周长是(B)
A.14 cm B.18 cm
C.30 cm D.34 cm
【答题关键指导】
1.有时需要先说明两个三角形相似,再利用相似三角形的性质解决问题.
2.利用相似三角形的性质时相等的角或相等的线段可以转化应用.
1.(2025·内江)阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙所示,动力臂OA=150 cm,阻力臂OB=50 cm,BD=20 cm,则AC的长度是(B)
A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm
2.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为　20　cm.
考点3　位似
【示范题3】(2025·内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1,则点A的对应点A'的坐标为(B)
A.(-2,-1) B.(-4,-2)
C.(-1,-2) D.(-2,-4)
【答题关键指导】
直角坐标系中的位似变化
(1)在直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
(2)位似中心既可以位于两个图形的同侧,也可以在两位似图形之间.
(2025·眉山)如图,在4×3的方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是(B)
A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4
(2024·广西)如图1,△ABC中,∠B=90°,AB=6.AC的垂直平分线分别交AC,AB于点M,O,CO平分∠ACB.
(1)求证:△ABC∽△CBO;
(2)如图2,将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC',旋转角为α(0°<α<360°).连接A'M,C'M.
①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数,并说明理由;
②当△A'MC'是直角三角形时,请直接写出旋转角α的度数.
【解析】(1)∵OM垂直平分AC,
∴OA=OC,∠A=∠ACO,
∵CO平分∠ACB,
∴∠ACO=∠BCO=∠A,
∵∠B=∠B,∴△ABC∽△CBO.
(2)①∵∠ACO=∠BCO=∠A,∠B=90°,
∴∠ACO=∠BCO=∠A=30°,
在Rt△ABC中,AB=6,
∴AC==4,∴AM=2,
∴OM=AM·tan 30°=2,
如图3,作MH⊥A'C'于点H,ON⊥A'C'于点N,连接MN,
在△AOC旋转的过程中,对应边AC=A'C'=4,对应高OM=ON=2,
在Rt△MHN中,MH在△OMN中,MN∴MH如图4,当N,H重合时MH取最大值,此时最大值为OM+ON=4,
∴S△A'MC'=A'C'·MH=8,
即△A'MC'面积最大值是8,
此时M,O,N三点共线,α=∠MON=180°.
②在旋转的过程中,等腰三角形AOC的形状、大小不变,∠AOC=∠A'OC'=120°,
∵MC'≤MO+OC'=MO+OC=6<4=A'C',同理MA'≤6∴△A'MC'中只有可能∠A'MC'=90°,
∵OM垂直平分AC,
∴MA=MC,∠AMO=90°,
(Ⅰ)如图5,当点C'与A重合时,A'恰好在MO的延长线上,满足∠A'MC'=90°,此时α=120°;
(Ⅱ)如图6,当A'与C重合时,点C'恰好在MO的延长线上,满足∠A'MC'=90°,此时α=240°.
综上所述,当△A'MC'是直角三角形时,α为120°或240°.
跟踪诊断,请使用“校本作业”第二十五讲　相似形
知识要点 对点练习
1.相似三角形的性质 性质1:相似三角形的对应角 ,对应边的比 . 性质2:相似三角形周长的比等于 . 性质3:相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于 . 性质4:相似三角形的面积的比等于相似比的 . 1.(1)(教材再开发·人教九下P31T2改编)如图,在△ABC中,DE∥BC,=,△ADE的面积是4,则△ABC的面积为( ) A.12 B.9 C.10 D.8 (2)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC.若AD=5,DB=2,则DE∶BC= . (3)如果两个相似三角形对应边的比为2∶3,那么它们对应高线的比是 .
2.相似三角形的判定 判定1:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原 相似(相似三角形的预备定理). 判定2:三边 的两个三角形相似. 判定3:两边 且 的两个三角形相似. 判定4:两角 的两个三角形相似. 2.下列说法正确的是( ) A.两个直角三角形相似 B.两条边对应成比例,一组对应角相等的两个三角形相似 C.有一个角为40°的两个等腰三角形相似 D.有一个角为100°的两个等腰三角形相似
3.位似 位似的图形不仅相似,而且它们的对应点的连线相交于一点,这个点叫做位似中心. 3.(教材再开发·湘教九上P90T8改编)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA'=1∶2,则△ABC与△A'B'C'的周长比为( ) A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶9
考点1　相似三角形的判定
【示范题1】(2025·深圳)如图,将正方形ABCD沿EF折叠,使得点A与对角线的交点O重合,EF为折痕,则的值为( )
A.　 B. C.　 D.
【答题关键指导】
1.已知一组角相等则再添加一组相等的角或夹该角的两边对应成比例即可推出两个三角形相似.
2.找条件时要注意公共边、公共角、对顶角等隐含条件的挖掘.
1.(2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为( )
A.甲和乙　B.乙和丁　C.甲和丙　D.甲和丁
2.(2025·云南)如图,在△ABC中,已知D,E分别是AB,AC边上的点,且DE∥BC.若=,则=( )
A. B. C. D.
考点2　相似三角形的性质
【示范题2】(2025·绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm,并且它们的周长之和为48 cm,那么较小三角形的周长是( )
A.14 cm B.18 cm
C.30 cm D.34 cm
【答题关键指导】
1.有时需要先说明两个三角形相似,再利用相似三角形的性质解决问题.
2.利用相似三角形的性质时相等的角或相等的线段可以转化应用.
1.(2025·内江)阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙所示,动力臂OA=150 cm,阻力臂OB=50 cm,BD=20 cm,则AC的长度是( )
A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm
2.(2024·扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36 cm,A'B'=24 cm,小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm.
考点3　位似
【示范题3】(2025·内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2),以原点O为位似中心,在第三象限画△OA'B'与△OAB位似,若△OA'B'与△OAB的相似比为2∶1,则点A的对应点A'的坐标为( )
A.(-2,-1) B.(-4,-2)
C.(-1,-2) D.(-2,-4)
【答题关键指导】
直角坐标系中的位似变化
(1)在直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
(2)位似中心既可以位于两个图形的同侧,也可以在两位似图形之间.
(2025·眉山)如图,在4×3的方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是( )
A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4
(2024·广西)如图1,△ABC中,∠B=90°,AB=6.AC的垂直平分线分别交AC,AB于点M,O,CO平分∠ACB.
(1)求证:△ABC∽△CBO;
(2)如图2,将△AOC绕点O逆时针旋转得到△A'OC',旋转角为α(0°<α<360°).连接A'M,C'M.
①求△A'MC'面积的最大值及此时旋转角α的度数,并说明理由;
②当△A'MC'是直角三角形时,请直接写出旋转角α的度数.

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