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微专题17　相似三角形之五大模型
模型1　A字型(公共顶角)
特点 两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,有∠ABC=∠AED
示例
思路 结论 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为( )
A.9 cm B.12 cm
C.15 cm D.18 cm
2.(2025·河南)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为( )
A.　 B.1 C.　 D.
3.(2024·滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
4.如图,在△ABC中,AB=10 cm,BC=20 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,经过 s时,△PBQ与△ABC相似.
模型2　8字型(对顶角相等)
特点 有一组对顶角,一组相等的角
示例
思路 结论 △AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
5.(2025·威海)如图,△ABC的中线BE,CD交于点F,连接DE.下列结论错误的是( )
A.= B.=
C.= D.=
6.(2024·山东)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF的长为( )
A. B.3 C. D.4
7.(2024·吉林)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 .
8.(2024·乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若=,则= .
模型3　旋转型(手拉手模型)
特点 A字型的两个三角形是初始状态,一个三角形绕着公共的顶点开始旋转,形成的图形
示例
思路 结论 △ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC
9.如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标为A(0,2),B(-1,0),将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O,若AB⊥OB1,则点A1的坐标为( )
A., B.,
C., D.,
10.(2025·苏州)如图,在△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=60°,D是线段BC上一点(不与端点B,C重合),连接AD,以AD为边,在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段CF长度的最大值为 .
11.(2023·福建)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.
模型4　一线三等角型(K型)
特点 在一条线段上有三个相等的角
示例
思路 结论 通过三角形内外角关系、内角和相等、平角可得另外一组对应角相等,从而得到△ABC∽△CDE
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,连接AP,作∠APE=∠B交AC边于点E,若设BP=x,AE=y,则y关于x的函数解析式是 .
13.如图,正方形ABCD中,AB=16,AE=AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,设BP=x,CQ=y.
(1)y关于x的函数关系式为 .
(2)x= 时,ymax= .
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点,∠EDF=120°,设=n,
(1)若n=1,则= ;
(2)若+=3,则n= .
15.阅读理解,自主探究:
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
(1)问题解决:如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,则CD与BE的数量关系是 .
(2)问题探究:如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,
AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=2.5 cm,DE=1.6 cm,求BE的长.
(3)拓展延伸:如图3,在平面直角坐标系中,A(-1.5,0),C(1.5,3.5),△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,求B点坐标.
模型5　对角互补型
特点 有一对互补的对角
示例
思路 结论 过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF
16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP= .
17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB上,OM,ON分别交CA,CB于点P,Q,∠MON绕点O任意旋转.当=时,的值为 ;当=时,的值为 .(用含n的式子表示)
18.如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为 .
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求的值.
(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且P在AC上移动,使AP∶PC=1∶2时,如图3,求的值.微专题17　相似三角形之五大模型
模型1　A字型(公共顶角)
特点 两个三角形有一个公共角∠BAC,或者有DE∥BC,或者DE与BC不平行,有∠ABC=∠AED
示例
思路 结论 △ADE∽△ABC或△AED∽△ABC.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
1.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,=,DE=6 cm,则BC的长为(C)
A.9 cm B.12 cm
C.15 cm D.18 cm
2.(2025·河南)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为(B)
A.　 B.1 C.　 D.
3.(2024·滨州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　∠ADE=∠C(答案不唯一)　.(写出一种情况即可)
4.如图,在△ABC中,AB=10 cm,BC=20 cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动,如果点P,Q分别从点A,B同时出发,经过　1或2.5　s时,△PBQ与△ABC相似.
模型2　8字型(对顶角相等)
特点 有一组对顶角,一组相等的角
示例
思路 结论 △AOB∽△DOC或△AOB∽△COD.如果没有明确说明对应关系,就应分以上两种情况讨论
5.(2025·威海)如图,△ABC的中线BE,CD交于点F,连接DE.下列结论错误的是(B)
A.= B.=
C.= D.=
6.(2024·山东)如图,点E为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,则BF的长为(B)
A. B.3 C. D.4
7.(2024·吉林)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点.连接EF.若∠FEO=45°,则的值为 　.
8.(2024·乐山)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,若=,则= 　.
模型3　旋转型(手拉手模型)
特点 A字型的两个三角形是初始状态,一个三角形绕着公共的顶点开始旋转,形成的图形
示例
思路 结论 △ADE∽△ABC或△ADB∽△AEC
9.如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标为A(0,2),B(-1,0),将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O,若AB⊥OB1,则点A1的坐标为(A)
A., B.,
C., D.,
10.(2025·苏州)如图,在△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=60°,D是线段BC上一点(不与端点B,C重合),连接AD,以AD为边,在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段CF长度的最大值为 　.
11.(2023·福建)如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的,FD,CA的延长线相交于点M.
(1)求证:△ADE∽△FMC;
(2)求∠ABF的度数;
【解析】(1)如图:
∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的,
∴∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°,
∵AB=AC,AO⊥BC,∴∠BAO=∠BAC.
∵∠BAC=90°,∴∠BAO=∠ABC=45°,
∴∠BAO=∠DFC,
∵∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,∴∠EDA=∠M,∴△ADE∽△FMC;
(2)设BC与DF的交点为I,如图:
∵∠DBI=∠CFI=45°,∠BID=∠FIC,
∴△BID∽△FIC,∴=,即=,
∵∠BIF=∠DIC,
∴△BIF∽△DIC,
∴∠IBF=∠IDC,
∵∠IDC=90°,∴∠IBF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠ABF=∠ABC+∠IBF=135°;
(3)若N是AF的中点,如图2,求证:ND=NO.
【解析】延长ON交BF于点T,连接DT,DO,如图:
∵∠FBI=∠BOA=90°,
∴BF∥AO,∴∠FTN=∠AON.
∵N是AF的中点,∴AN=FN,
∵∠TNF=∠ONA,
∴△TNF≌△ONA(AAS),
∴NT=NO,FT=AO,
∵∠BAC=90°,AB=AC,AO⊥BC,
∴AO=CO,∴FT=CO,
由(2)知,△BIF∽△DIC,
∴∠DFT=∠DCO.
∵DF=DC,∴△DFT≌△DCO(SAS),
∴DT=DO,∠FDT=∠CDO,∴∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,即∠ODT=∠CDF,∵∠CDF=90°,∴∠ODT=∠CDF=90°,∴ND=TO=NO.
模型4　一线三等角型(K型)
特点 在一条线段上有三个相等的角
示例
思路 结论 通过三角形内外角关系、内角和相等、平角可得另外一组对应角相等,从而得到△ABC∽△CDE
12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,连接AP,作∠APE=∠B交AC边于点E,若设BP=x,AE=y,则y关于x的函数解析式是　y=x2-x+5　.
13.如图,正方形ABCD中,AB=16,AE=AB,点P在BC上运动(不与B,C重合),过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,设BP=x,CQ=y.
(1)y关于x的函数关系式为　y=-x2+x　.
(2)x=　8　时,ymax= 　.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的点,∠EDF=120°,设=n,
(1)若n=1,则=　1　;
(2)若+=3,则n= 或　.
15.阅读理解,自主探究:
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等角角度为90°,于是有三组边相互垂直,所以称为“一线三垂直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存在全等三角形.
(1)问题解决:如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥DE于D,BE⊥DE于E,则CD与BE的数量关系是　　　　.
(2)问题探究:如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过点C作直线CE,
AD⊥CE于D,BE⊥CE于E,AD=2.5 cm,DE=1.6 cm,求BE的长.
(3)拓展延伸:如图3,在平面直角坐标系中,A(-1.5,0),C(1.5,3.5),△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC,求B点坐标.
【解析】(1)∵AD⊥DE,BE⊥DE,∠ACB=90°,
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,
在△ACD与△CBE中,,
∴△ACD≌△CBE(AAS),∴CD=BE.
答案:CD=BE
(2)∵AD⊥CE,BE⊥CE,∠ACB=90°,
∴∠ADC=∠E=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ACD与△CBE中,,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴BE=CD,CE=AD,
∵AD=2.5 cm,DE=1.6 cm,
∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.6=0.9 cm.
(3)过B作EF∥y轴,过A作AD∥y轴,过C作DE∥x轴,DE与EF,AD交于点E,点D,EF交x轴于点F,
∵AD∥y轴,DE∥x轴,
EF∥y轴,
∴AD⊥DE,BE⊥CE,
∵∠ACB=90°,
∴∠D=∠E=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE,
在△ACD与△CBE中,,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∵A(-1.5,0),C(1.5,3.5),
∴DC=BE=3,AD=EF=CE=3.5,
∴B点坐标为(5,0.5).
模型5　对角互补型
特点 有一对互补的对角
示例
思路 结论 过一个直角顶点向两边作垂线,得到△PGE∽△PHF
16.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=2PF时,AP=　3　.
17.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,直角∠MON的顶点O在AB上,OM,ON分别交CA,CB于点P,Q,∠MON绕点O任意旋转.当=时,的值为 　;当=时,的值为 　.(用含n的式子表示)
18.如图,矩形ABCD中,∠ACB=30°,将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处,以点P为旋转中心转动三角板,并保证三角板的两直角边分别与边AB,BC所在的直线相交,交点分别为E,F.
(1)当PE⊥AB,PF⊥BC时,如图1,则的值为　　　　　.
(2)现将三角板绕点P逆时针旋转α(0°<α<60°)角,如图2,求的值.
(3)在(2)的基础上继续旋转,当60°<α<90°,且P在AC上移动,使AP∶PC=1∶2时,如图3,求的值.
【解析】(1)∵矩形ABCD,
∴AB⊥BC,PA=PC.
∵PE⊥AB,BC⊥AB,∴PE∥BC.
∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC,AB⊥BC,
∴PF∥AB,∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE与△PCF中,,
∴△APE≌△PCF(ASA),
∴PE=CF.
在Rt△PCF中,==tan 30°=,
∴=.
答案:
(2)如图,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则PM⊥PN.
∵PM⊥PN,PE⊥PF,
∴∠EPM=∠FPN,
又∵∠PME=∠PNF=90°,
∴△PME∽△PNF,∴=.
由(1)知,=,
∴=.
(3)如图,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,
则PM⊥PN,PM∥BC,PN∥AB.
∵PM∥BC,PN∥AB,
∴∠APM=∠PCN,∠PAM=∠CPN,
∴△APM∽△PCN,
∴==,得CN=2PM.
在Rt△PCN中,==tan 30°=,
∴=.
∵PM⊥PN,PE⊥PF,
∴∠EPM=∠FPN,
又∵∠PME=∠PNF=90°,
∴△PME∽△PNF,
∴==.

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