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教学设计
课题 5.3二元一次方程组的应用 课型 新授课
1.目标确定 1.能准确分析简单实际问题中的数量关系，熟练建立二元一次方程组解决问题，提升数学应用能力。 2.通过小组合作探究与实例分析，归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤，培养归纳总结能力． 3.经历列方程组解决实际问题的过程，积累利用二元一次方程组解决实际问题的一般策略，深刻体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，发展模型思想和模型意识。
2.学习重点难点 重点：能准确分析简单问题中的数量关系，建立二元一次方程组解决实际问题。 难点：理解用算术方法、一元一次方程与二元一次方程组解决实际问题的差异，充分体会用二元一次方程组解决实际问题的价值意义及一般策略，实现从算术思维到方程思想的有效转变。
3.课前准备： 教师：制作多媒体课件 学生：练习本，提前预习教材中“鸡兔同笼”相关内容。
4.学习活动设计 教师活动学生活动环节一：教师活动 一、情境引入 1.活动内容 教师播放一段动画：古代集市上，一位农夫遇到了一个难题，他把鸡和兔子关在同一个笼子里，却记不清鸡和兔各有多少只，急的团团转。这就是《孙子算经》中“雉（zhi）兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问：雉兔各几何？ 同学们你们能帮助农夫解决这个难题吗？小学的时候我们用算术的方法解决，谁能回忆一下当时是怎么算的？你能用一元一次方程求解这个问题吗？现在我们学习了二元一次方程组，能不能用新的方法来解决这个问题呢？ （1）这个问题涉及哪些量？ （2）这些量之间有怎样的等量关系？ （3）你能列方程组解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。 2.注意事项 在解决实际问题的过程中引导学生分析问题中包含的等量关系。 “雉兔同笼”问题对很多学生来说并不陌生，学生在小学阶段或在学习一元一次方程时可能就研究过这一问题。教学时，教师可以鼓励学生列一元一次方程或用小学学过的算术方法求解，并对解决这一问题的不同方法进行比较，思考这些方法之间的区别和联系。 教师适时点评，肯定优点，如解题思路清晰、小组合作默契等；指出不足，如等量关系表述不完整、解方程步骤遗漏等。同时，引导学生总结两种方法的差异，强调二元一次方程组在解决含有两个未知量的实际问题时，具有思路清晰、易于理解的优势。学生活动 学生先主动探究、小组交流各自的解题方法和思路，重点讨论： 1.算术方法是如何思考的？在解题过程中遇到了哪些困难？ 用二元一次方程解题时，是如何设未知数的？找到的等量关系是什么？ 重点讲解解题思路。展示时其他小组可提问“为什么脚的数量要乘以2和4呢？” 对比两种方法那个更简单、更直观？为什么？ 设计意图：以中国经典的“雉兔同笼”问题为例引入课题，为梳理算术方法、一元一次方程和二元一次方程组之间的关系埋下伏笔，激发学生的学习积极性，增强学生的文化自信。 通过问题串引领，启发学生从实际问题中获取关键信息，思考、分析问题中包含的量及等量关系，并引导学生从算术方法，一元一次方程及二元一次方程组等多种方法尝试解决问题。 通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫.环节二：教师活动 二、探索新知 尝试·思考 列方程组求解下面的问题： 若甲从乙处得到7第纳尔（货币单位），则甲拥有的第纳尔是乙的5倍；若乙从甲处得到5第纳尔，则乙拥有的第纳尔是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔？[选自意大利数学家斐波纳奇（Leonardo Fibonacci，约1170一约1240）的《计算之书》] （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程组解决这个问题吗？你是怎么做的？ （3）你能用一元一次方程或小学学过的算术方法求解吗？你觉得哪种方法更简单？ 归纳列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：分析问题，寻找等量关系； （2）设：设未知数（直接设或间接设）； （3）列：列二元一次方程组； （4）解：解方程组； （5）验：检验①解是否为方程的解，②解是否满足实际情况； （6）答：作答。学生活动 此问题为古算题，计算结果为分数，为保留古算题的原貌，在数据上可向学生作简单说明。教师引导学生结合“鸡兔同笼”问题的解决过程，小组讨论并尝试归纳用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。 各小组分享归纳结果，教师进行补充和完善，最终形成规范的解题步骤并板书在黑板上。设计意图：以问题串的形式引导学生层层递进地厘清题目中的数量关系，通过对等量关系和未知量的分析，引导学生体会设两个未知数相较于设一个未知数，在数学表达和降低思维难度上的优越性，进一步强化用二元一次方程组解决实际问题的价值与意义，同时帮助学生在问题解决的过程中形成建立方程组的策略，从而提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生运用数学解决问题的意识。环节三、教师活动： 三、典例精析 1.活动内容： 例1 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问：甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱？ 追问：题目中有哪些等量关系？你能用含未知量的式子表示这些等量关系吗？ 回顾以上几个问题的解决过程，思考： 列二元一次方程组解决实际问题的基本思路和策略是什么？与同伴进行交流。 思考·交流 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？ 与同伴进行交流。 2.注意事项 在“思考·交流”环节需要让学生感受到，列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题的基本思路、基本思考策略是一致的，如都需要分析问题中涉及的各种量，以及量与量之间的等量关系，并抓住主要等量关系。它们的主要区别在于所设未知数的个数不同：列二元一次方程组解决问题需要设两个未知数，列两个方程；列一元一次方程解决问题只需要设一个未知数，列一个方程。从理论上讲，可以列二元一次方程组解决的问题都可以列一元一次方程解决；但对一些问题来说，列二元一次方程组的思考过程比较直接、容易，而列一元一次方程的思考过程则相对比较复杂。此环节可以让学生先独立思考，再通过小组交流、全班分享的方式，让学生体会如何在合作交流中学习反思，形成策略，建构并逐步完善自我认知体系。学生活动： 鼓励学生先理解 题意，再小组合作 交流，从实际情境 中抽象出数学模型 ，并利用二元一次 方程组解决问题。 设计意图：例1在新知应用的基础上，用中国古算题进一步巩固利用二元一次方程组解决实际问题，强化建立方程组的策略，提高学生分析问题和解决问题的能力，发展学生运用数学模型解决问题的意识。 “思考·交流”要求学生结合本节课的学习，思考列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题之间的区别和联系，力图让学生体会学习二元一次方程组的必要性和优越性，逐步形成对相关学习内容的结构化认识。
环节四、教师活动： 四、迁移应用 1.活动内容 （1）列方程组进行求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直金几何？（选自《九章算术》） 题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？ （2）今有井不知深，先将绳折作三条入井汲水，绳长四尺，后将绳折作四条入井，亦长一尺。问：井深及绳长各若干？（选自《算法统宗》） 题目大意：用绳子测量井的深度，先将绳子折成三等份放入井中，一份绳长比井深多4尺；再将绳子折成四等份放入井中，一份绳长比井深多1尺。绳长、井深各是多少尺？ （3）现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题． （评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误） 2.注意事项 前两道题的类型与“雉兔同笼”和典例精析的古算题既有相似，又有变化，可以促使学生在不同的、变化的情境中灵活运用所掌握的知识方法解决问题，提升学生的问题解决能力。学生活动： 学生独立完成练习，小组讨论分析问题设计意图：通过两道古算题的应用，让学生体会如何建立二元一次方程组解决实际问题，通过学生自主寻求相关数学模型，突出方程组作为数学模型应用的广泛性和有效性，在对本节课知识方法进行巩固的同时进一步发展学生分析问题和解决问题的能力。古算题的设定可以对学生渗透我国优秀的数学文化，体现中华民族的智慧。环节五、教师活动： 五、课堂小结 1.解决现实问题的常用思路有哪些？分别体现了什么数学思想？ 2.列二元一次方程组解决实际问题的过程是怎样的？ 引导学生回顾总结列二元一次方程组解决实际问题的过程，使学生理解其本质即是利用等量关系建立数学模型解决问题的过程。因此，列方程的过程实际就是建立数学模型的过程。学生活动： 让学生先独立思考，再小组交流，最后全班交流分享，建构出本节课内容的认知结构和问题解决策略。设计意图：回顾本节课所学的基本知识、基本技能和基本方法，同时对学生进行结构化提炼，渗透建立数学模型解决现实问题的基本思想，发展学生的模型思想和应用意识。环节六、布置作业 1.活动内容 基础性作业：习题5.3 第4，5，6，14题。 选做题：结合生活实际，自编一道能用二元一次方程组解决的应用题，并求解。 拓展性作业：阅读课后拓展资源，进一步了解“雉兔同笼”的前世今生，体会“雉兔同笼”问题的文化价值。 补充练习：1.现有面额为1元和5元的纸币共20张，总金额为60元，求1元和5元的纸币各有多少张？ 2.某物流公司有A、B两种型号的货车，已知3辆A型货车和2辆B型货车一次可运货17吨，2辆A型货车和3辆B型货车一次可运货18吨。求1辆A型货车和1辆B型货车一次分别可运货多少吨？ 2.注意事项 拓展性作业为长作业，可以采用个人独立完成或小组合作完成的方式进行。在学生作业完成后，教师要注意对长作业的收集和反馈。设计意图：设置不同层次的作业，满足不同学生的发展需求。
5.板书设计 5.3.1 二元一次方程组的应用 1.鸡兔同笼问题：鸡的只（头）数+兔的只（头）数=总只（头）数； 鸡的只（头）数×2+兔的只（头）数×4=总足数； 2.二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审：找等量关系； （2）设：设未知数； （3）列：列二元一次方程组； （4）解：解方程组； （5）验：检验①解是否为方程的解，②解是否满足实际情况； （6）答：作答.
6.教学反思与改进 1.情境导入与学生兴趣激发： 本节课通过动画情境导入，有效吸引了学生的注意力，激发了学生的学习兴趣。但在后续教学中，可进一步丰富情境形式，如让学生角色扮演“农夫”和“谋士”，亲身演绎“鸡兔同笼”问题的解决过程，让学生更深入地融入课堂，增强课堂的趣味性和参与度。 2.小组合作与个体差异关注： 小组合作交流环节，大部分学生能积极参与讨论，但仍有少数性格内向或基础较弱的学生参与度不高。后续教学中，可在分组时进行合理搭配，让不同层次的学生相互帮助；同时，给这些学生分配具体的任务，如记录小组讨论结果、整理解题步骤等，确保每位学生都能参与到小组活动中获得成长。 3.知识拓展与生活联系： 教材的素材大量选择古算题，突出了数学的历史文化价值。因此，在进行本节课设计时，应充分利用这一特点，通过挖掘古算题的文化价值，体现数学学科的育人价值。同时，“雉兔同笼”问题是对小学相关内容学习的进一步延伸，在小学的算术学习基础上，通过对比分析，使学生体会算术方法的巧妙性和局限性以及方程思想的价值与优越性，从而清晰地展现从算术思维到方程思想的自然过渡。让学生经历分析题目中的已知与未知，数量间的等量关系，体验列方程组解决实际问题的过程，明确方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，将实际问题解决的过程转化为建模、解模的过程，形成解决实际问题的一般性策略，发展模型思想和模型意识，进一步提升学生的数学应用意识和能力。 4.教学评价与反馈： 本节课主要采用教师点评和学生互评的方式进行教学评价，但评价内容还不够全面，对学生的思维过程、创新意识等方面的评价较少。后续可设计更详细的评价量表，从多个维度对学生的学习表现进行评价，并及时将评价结果反馈给学生，帮助学生了解自己的优势和不足，明确努力方向。

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