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第九讲　函数初步
知识要点 对点练习
1.平面直角坐标系 (1)各象限点的坐标的符号特征: 第一象限(+,+);第二象限　(-,+)　; 第三象限(-,-);第四象限　(+,-)　. (2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点　纵坐标　为0;y轴上的点　横坐标　为0;原点的坐标为　(0,0)　. 1.(1)(教材再开发·人教七下P84T1改编)下面各点在第二象限的是(B) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-2,0) B.(-2,4) C.(2,4) D.(2,-4) (2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为(C) A.-1 B.1 C.-3 D.0
2.函数的定义 (1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做　常量　,数值变化的量叫做　变量　. (2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有　唯一　确定的值与其对应,那么就说　x　是自变量,　y　是　x　的函数. 如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的　函数值　. 2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是(B) A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r (2)下列说法正确的是(A) A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数 B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数 C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数 D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
考点1　平面直角坐标系中点的坐标
【示范题1】(2025·成都)在平面直角坐标系xOy中,点P(-2,a2+1)所在的象限是(B)
A.第一象限　　
B.第二象限
C.第三象限　　
D.第四象限
【答题关键指导】
各象限内点的坐标特点
第一象限(+,+),第二象限(-,+),
第三象限(-,-),第四象限(+,-).
1.(2025·泸州)若点(1,a-2)在第一象限,则a的取值范围是　a>2　.
2.(2024·广元)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(m,n)在(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.(2024·临夏州)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为(C)
A.(-4,2) B.(-,4)
C.(-2,4) D.(-4,)
考点2　确定自变量的取值范围
【示范题2】(2024·齐齐哈尔)在函数y=+中,自变量x的取值范围是　x>-3且x≠-2　.
【答题关键指导】
1.在求自变量的取值范围时,分以下几种情况:①如果含有分式,要考虑分母不为0;②如果含有二次根式,要考虑被开方数非负;③如果只含有整式,可以取任意实数;④如果是实际问题,要考虑实际情况对取值范围的制约.
2.对于既含分母又含二次根式的函数自变量的取值范围,要注意同时满足分式中分母条件的限制和二次根式中被开方数条件的限制.
1.(2025·云南)函数y=的自变量x的取值范围为(D)
A.x≠4 B.x≠3
C.x≠2 D.x≠1
2.(2025·内江)在函数y=中,自变量x的取值范围是(A)
A.x≥2　 B.x≤2　
C.x>2　 D.x<2
考点3　函数及其图象
【示范题3】(2025·新疆)一辆快车从A地匀速驶向B地,一辆慢车从B地匀速驶向A地,两车同时出发,各自到达目的地后停止.两车之间的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,下列结论错误的是(C)
A.两车出发2 h后相遇
B.A,B两地相距280 km
C.快车比慢车早 h到达目的地
D.快车的速度为80 km/h,慢车的速度为60 km/h
【答题关键指导】
1.对于用图象描述分段函数的实际问题,解题时要抓住以下几点:①准确理解变量x与y表示的实际意义;②自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示;③当两个阶段的图象都是一次函数(或正比例函数)时,自变量变化量相同,而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大;④各个分段中,准确确定函数关系;⑤确定函数图象的关键点的意义.
2.根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析,要抓住图象中的转折点及拐点,这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.
1.(2025·贵州)如图,用一根管子向图中容器注水,若单位时间内注水量保持不变,则从开始到注满容器的过程中,容器内水面升高的速度(B)
A.越来越慢 B.越来越快
C.保持不变 D.快慢交替变化
2.(2024·广安)向如图所示的空容器内匀速注水,从水刚接触底部时开始计时,直至把容器注满,在注水过程中,设容器内底部所受水的压强为y(单位:帕),时间为x(单位:秒),则y关于x的函数图象大致为(B)
3.(2025·湖南)甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中,路程s(米)与时间t(秒)的函数关系如图所示,　甲　(填“甲”或“乙”)先到终点.
1.(2024·广西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为(C)
A.(3,0)　 B.(0,2)　 C.(3,2)　 D.(1,2)
2.(2025·广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验,研究其种群数量y随时间t的变化情况,得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是(B)
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
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知识要点 对点练习
1.平面直角坐标系 (1)各象限点的坐标的符号特征: 第一象限(+,+);第二象限 ; 第三象限(-,-);第四象限 . (2)坐标轴上点的坐标特征:x轴上的点 为0;y轴上的点 为0;原点的坐标为 . 1.(1)(教材再开发·人教七下P84T1改编)下面各点在第二象限的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(-2,0) B.(-2,4) C.(2,4) D.(2,-4) (2)在平面直角坐标系中,若点P(m+3,-2m)在y轴上,则m的值为( ) A.-1 B.1 C.-3 D.0
2.函数的定义 (1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做 ,数值变化的量叫做 . (2)函数:在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y都有 确定的值与其对应,那么就说 是自变量, 是 的函数. 如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的 . 2.(1)(教材再开发·人教八下P71练习改编)在圆的面积公式S=πr2中,变量是( ) A.S,π B.S,r C.π,r D.只有r (2)下列说法正确的是( ) A.变量x,y满足y=x+1,则y是x的函数 B.变量x,y满足y2=x,则y是x的函数 C.变量x,y满足|y|=x,则y是x的函数 D.在V=πr3中,是常量,r是自变量,V是r的函数
考点1　平面直角坐标系中点的坐标
【示范题1】(2025·成都)在平面直角坐标系xOy中,点P(-2,a2+1)所在的象限是( )
A.第一象限　　
B.第二象限
C.第三象限　　
D.第四象限
【答题关键指导】
各象限内点的坐标特点
第一象限(+,+),第二象限(-,+),
第三象限(-,-),第四象限(+,-).
1.(2025·泸州)若点(1,a-2)在第一象限,则a的取值范围是 .
2.(2024·广元)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直角坐标系中点(m,n)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.(2024·临夏州)如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为( )
A.(-4,2) B.(-,4)
C.(-2,4) D.(-4,)
考点2　确定自变量的取值范围
【示范题2】(2024·齐齐哈尔)在函数y=+中,自变量x的取值范围是 .
【答题关键指导】
1.在求自变量的取值范围时,分以下几种情况:①如果含有分式,要考虑分母不为0;②如果含有二次根式,要考虑被开方数非负;③如果只含有整式,可以取任意实数;④如果是实际问题,要考虑实际情况对取值范围的制约.
2.对于既含分母又含二次根式的函数自变量的取值范围,要注意同时满足分式中分母条件的限制和二次根式中被开方数条件的限制.
1.(2025·云南)函数y=的自变量x的取值范围为( )
A.x≠4 B.x≠3
C.x≠2 D.x≠1
2.(2025·内江)在函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥2　 B.x≤2　
C.x>2　 D.x<2
考点3　函数及其图象
【示范题3】(2025·新疆)一辆快车从A地匀速驶向B地,一辆慢车从B地匀速驶向A地,两车同时出发,各自到达目的地后停止.两车之间的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示,下列结论错误的是( )
A.两车出发2 h后相遇
B.A,B两地相距280 km
C.快车比慢车早 h到达目的地
D.快车的速度为80 km/h,慢车的速度为60 km/h
【答题关键指导】
1.对于用图象描述分段函数的实际问题,解题时要抓住以下几点:①准确理解变量x与y表示的实际意义;②自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示;③当两个阶段的图象都是一次函数(或正比例函数)时,自变量变化量相同,而函数值变化越大的图象与x轴的夹角就越大;④各个分段中,准确确定函数关系;⑤确定函数图象的关键点的意义.
2.根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析,要抓住图象中的转折点及拐点,这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.
1.(2025·贵州)如图,用一根管子向图中容器注水,若单位时间内注水量保持不变,则从开始到注满容器的过程中,容器内水面升高的速度( )
A.越来越慢 B.越来越快
C.保持不变 D.快慢交替变化
2.(2024·广安)向如图所示的空容器内匀速注水,从水刚接触底部时开始计时,直至把容器注满,在注水过程中,设容器内底部所受水的压强为y(单位:帕),时间为x(单位:秒),则y关于x的函数图象大致为( )
3.(2025·湖南)甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中,路程s(米)与时间t(秒)的函数关系如图所示, (填“甲”或“乙”)先到终点.
1.(2024·广西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为( )
A.(3,0)　 B.(0,2)　 C.(3,2)　 D.(1,2)
2.(2025·广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验,研究其种群数量y随时间t的变化情况,得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是( )
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同

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