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第十讲　一次函数
知识要点 对点练习
1.一次函数的图象 (1)正比例函数 是经过点(0,0)和点(1,　k　)的一条直线 (2)一次函数 是经过点(0,　b　)和点的一条直线 (3)图象关系 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到,b>0,向　上　移动　b　个单位,b<0,向　下　移动　-b　个单位 1.(1)(教材再开发·人教八下P87练习T1改编)下列函数中,y是x的正比例函数的是(B) A.y=2x-1　B.y=　C.y=2x2　D.y= (2)下列函数中,表示y是x的一次函数的是(D) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于(B) A.向左平移2个单位 B.向左平移1个单位 C.向右平移2个单位 D.向右平移1个单位
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质 k的 符号增减性b的 符号所在 象限图象k>0y随x 的增大 而　增大　 b>0　一、 二、三 b<0　一、 三、四 k<0y随x 的增大 而　减小　 b>0　一、 二、四 b<0　二、 三、四
2.(1)(教材再开发·湘教八下P127练习T2改编)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小,则k的取值范围是(D) A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 (2)一个函数过点(1,3),且y随x的增大而增大,请写出一个符合上述条件的函数解析式　y=x+2(答案不唯一)　.
3.待定系数法求一次函数解析式 (1)正比例函数,设y=kx(求k只需一个非原点坐标); (2)一次函数,设y=kx+b(求k,b需2个点坐标). 3.(1)经过原点和点(2,1)的直线的解析式为　y=x　. (2)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),则这个一次函数的解析式为　y=2x-1　.
4.一次函数与一元一次方程(或不等式)的联系 对于一次函数y=kx+b: (1)当y=0时,kx+b=0,转化成方程; (2)当y>0时,kx+b>0,转化成不等式; (3)当y<0时,kx+b<0,转化成不等式. 4.如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n<3的解集为　x>-2　.
考点1　一次函数的图象和性质
【示范题1】(2025·安徽)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M(1,2),且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上,则点N的坐标可以是(D)
A.(-2,2) B.(2,1)
C.(-1,3) D.(3,4)
【答题关键指导】
1.k的符号决定的是函数的倾斜情况(增减性):当k>0时,直线y=kx+b由左向右上升,y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx+b由左向右下降,y随x的增大而减小.
2.b的值决定直线y=kx+b与y轴交点:当b>0时,图象与y轴正半轴相交;当b=0时,图象经过原点;当b<0时,图象与y轴负半轴相交.
1.(2025·新疆)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是(D)
2.(2025·湖北)已知一次函数y=kx+b,y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是　2(答案不唯一)　.
考点2　确定一次函数的解析式
【示范题2】(2025·山西)氢气是一种绿色清洁能源,可通过电解水获得.实践小组通过实验发现,在电解水的过程中,生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据,根据表中数据,y与x之间的函数关系式为(C)
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A.y= B.y=9x C.y=x D.y=
【答题关键指导】
(1)确定一次函数的关键是用待定系数法求k,b.
(2)考场答题四步法:
①设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0);
②把直线上已知两点的坐标代入y=kx+b,得关于k,b的方程(组);
③解方程(组)得k,b的值;
④将k,b的值代入y=kx+b中,写出解析式.
【示范题3】(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表:
温度t(℃) -10 0 10 30
声音传播 的速度v(m/s) 324 330 336 348
研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度t为15℃时,声音传播的速度v为(B)
A.333 m/s B.339 m/s
C.341 m/s D.342 m/s
1.(2024·上海)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元,当投入90万元时,销售额为5 000万元.则投入80万元时,销售额为　4 500　万元.
2.(2025·长春)随着我国人工智能科技的快速发展,智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作,它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作,甲机器人工作一段时间后停工保养.保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为　　　分钟,m=　　　　;
(2)求AB所在直线对应的函数解析式;
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器人工作时间为　　　分钟.
【解析】(1)由图象可得:甲机器人停工保养的时间为60-40=20(分钟);
∵2 200÷40=55,
∴m=2 700+(80-60)×55=3 800(件);
答案:20　3 800
(2)设AB所在直线对应的函数解析式为y=kx+b,代入A(40,2 200),B(60,2 700),
得,解得,
∴AB所在直线对应的函数解析式为y=25x+1 200;
(3)设乙机器人工作时间为n分钟,
由题意得:5 450=2 700+55×(n-60),
解得n=110.
答案:110
考点3　一次函数与方程(组)、不等式的关系
【示范题4】(2024·扬州)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为　x=-2　.
【答题关键指导】
一次函数与方程(组)、不等式的关系
(1)直线y=kx+b与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
(2)直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的交点坐标就是方程组的解.
(3)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式kx+b>0的解集;在x轴下方的点的横坐标就是不等式kx+b<0的解集.
1.(2025·广安)已知一次函数y=-3x-6,当x<-1时,y的值可以是　1(答案不唯一)　.(写出一个合理的值即可)
2.(2024·威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围为　-1≤x<0或x≥2　.
3.(2025·南充)已知直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上,则+的值是　-　.
考点4　应用一次函数解决最优方案问题
【示范题5】(2025·烟台)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价;
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少.
【自主解答】(1)设甲种路灯的单价是x元,乙种路灯的单价是y元,
根据题意得:,解得:.
答:甲种路灯的单价是60元,乙种路灯的单价是80元.
(2)设购买m盏甲种路灯,则购买(40-m)盏乙种路灯,该社区购买甲、乙两种路灯共花费w元,根据题意得:w=60m+80(40-m)=-20m+3 200,
∵-20<0,∴w随m的增大而减小,
又∵m≤(40-m),∴m≤10,
∴当m=10时,w取得最小值,此时40-m=40-10=30.
答:当购买10盏甲种路灯,30盏乙种路灯时,所需费用最少.
1.(2025·广安)某景区需要购买A,B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等,且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
(1)求A,B两种帐篷的单价各多少元
(2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的,则购买A,B两种型号的帐篷各多少顶时,总费用最低 最低总费用是多少元
【解析】(1)设A种帐篷的单价为x元,则B种帐篷的单价为(x+400)元,
由题意得:=,解得:x=600.
经检验:x=600是原方程的解,且符合题意,
∴x+400=1 000.
答:A种帐篷的单价为600元,B种帐篷的单价为1 000元.
(2)设购买A种帐篷m顶,则购买B种帐篷(20-m)顶,总费用为W元.
由题意得:20-m≥m,解得:m≤15.
又∵两种型号的帐篷均需购买,∴0W=600m+1 000(20-m)=-400m+20 000.
∵-400<0,∴W随m的增大而减小,
∴当m=15时,W取最小值,
=-400×15+20 000=14 000.
此时20-m=5.
答:当购买A种帐篷15顶,B种帐篷5顶时,总费用最低,最低总费用为14 000元.
2.(2025·德阳)中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩,其独特的空心技艺传承千年,从揉面、开条、上筷到拉扯成型,需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研,已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元,购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元.
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元
(2)为进一步推广此非遗美食,兴趣小组决定购买A,B两种型号挂面共40袋.在单价不变,总费用不超过950元,且B型挂面不少于10袋的条件下,共有几种购买方案 其中最低花费多少元
【解析】(1)设A型挂面的单价是x元,B型挂面的单价是y元,
由题意得:解得
答:A型挂面的单价是20元,B型挂面的单价是30元.
(2)设购买B型挂面a袋,则购买A型挂面为(40-a)袋,
由题意得:,
解得10≤a≤15,
∵a为正整数,∴a=10,11,12,13,14,15,
∴共有6种购买方案.
设总花费为w元,
由题意得:w=(40-a)×20+30a=10a+800,
∵10>0,
∴w随a的增大而增大.
∴当a=10时,w有最小值,最小值为10×10+800=900.
答:共有6种购买方案,最低花费为900元.
1.(2025·广西)已知一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),则b=(D)
A.3　　 B.4　　 C.6　　 D.7
2.(2024·广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M,t s后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离d km与时间t s的关系式为(A)
A.d=t B.d=3×105t
C.d=2×3×105t D.d=3×106t
3.(2023·广西)函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k=　1　.
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知识要点 对点练习
1.一次函数的图象 (1)正比例函数 是经过点(0,0)和点(1, )的一条直线 (2)一次函数 是经过点(0, )和点的一条直线 (3)图象关系 一次函数y=kx+b的图象可由正比例函数y=kx的图象平移得到,b>0,向 移动 个单位,b<0,向 移动 个单位 1.(1)(教材再开发·人教八下P87练习T1改编)下列函数中,y是x的正比例函数的是( ) A.y=2x-1　B.y=　C.y=2x2　D.y= (2)下列函数中,表示y是x的一次函数的是( ) A.y=kx+b B.y=2x2 C.y2=4x D.y=-2x+1 (3)将直线y=2x+1向上平移2个单位,相当于( ) A.向左平移2个单位 B.向左平移1个单位 C.向右平移2个单位 D.向右平移1个单位
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质 k的 符号增减性b的 符号所在 象限图象k>0y随x 的增大 而 b>0 b<0 k<0y随x 的增大 而 b>0 b<0
2.(1)(教材再开发·湘教八下P127练习T2改编)一次函数y=(k-3)x+2的函数值y随x增大而减小,则k的取值范围是( ) A.k>0 B.k<0 C.k>3 D.k<3 (2)一个函数过点(1,3),且y随x的增大而增大,请写出一个符合上述条件的函数解析式 .
3.待定系数法求一次函数解析式 (1)正比例函数,设y=kx(求k只需一个非原点坐标); (2)一次函数,设y=kx+b(求k,b需2个点坐标). 3.(1)经过原点和点(2,1)的直线的解析式为 . (2)已知一次函数的图象过点(3,5)与点(2,3),则这个一次函数的解析式为 .
4.一次函数与一元一次方程(或不等式)的联系 对于一次函数y=kx+b: (1)当y=0时,kx+b=0,转化成方程; (2)当y>0时,kx+b>0,转化成不等式; (3)当y<0时,kx+b<0,转化成不等式. 4.如图,已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(-2,3),则关于x的不等式mx+n<3的解集为 .
考点1　一次函数的图象和性质
【示范题1】(2025·安徽)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点M(1,2),且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上,则点N的坐标可以是( )
A.(-2,2) B.(2,1)
C.(-1,3) D.(3,4)
【答题关键指导】
1.k的符号决定的是函数的倾斜情况(增减性):当k>0时,直线y=kx+b由左向右上升,y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx+b由左向右下降,y随x的增大而减小.
2.b的值决定直线y=kx+b与y轴交点:当b>0时,图象与y轴正半轴相交;当b=0时,图象经过原点;当b<0时,图象与y轴负半轴相交.
1.(2025·新疆)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是( )
2.(2025·湖北)已知一次函数y=kx+b,y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是 .
考点2　确定一次函数的解析式
【示范题2】(2025·山西)氢气是一种绿色清洁能源,可通过电解水获得.实践小组通过实验发现,在电解水的过程中,生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据,根据表中数据,y与x之间的函数关系式为( )
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
A.y= B.y=9x C.y=x D.y=
【答题关键指导】
(1)确定一次函数的关键是用待定系数法求k,b.
(2)考场答题四步法:
①设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0);
②把直线上已知两点的坐标代入y=kx+b,得关于k,b的方程(组);
③解方程(组)得k,b的值;
④将k,b的值代入y=kx+b中,写出解析式.
【示范题3】(2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表:
温度t(℃) -10 0 10 30
声音传播 的速度v(m/s) 324 330 336 348
研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度t为15℃时,声音传播的速度v为( )
A.333 m/s B.339 m/s
C.341 m/s D.342 m/s
1.(2024·上海)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元,当投入90万元时,销售额为5 000万元.则投入80万元时,销售额为 万元.
2.(2025·长春)随着我国人工智能科技的快速发展,智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作,它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作,甲机器人工作一段时间后停工保养.保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为 分钟,m= ;
(2)求AB所在直线对应的函数解析式;
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器人工作时间为 分钟.
考点3　一次函数与方程(组)、不等式的关系
【示范题4】(2024·扬州)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为 .
【答题关键指导】
一次函数与方程(组)、不等式的关系
(1)直线y=kx+b与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解.
(2)直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2的交点坐标就是方程组的解.
(3)直线y=kx+b在x轴上方的点的横坐标就是不等式kx+b>0的解集;在x轴下方的点的横坐标就是不等式kx+b<0的解集.
1.(2025·广安)已知一次函数y=-3x-6,当x<-1时,y的值可以是 .(写出一个合理的值即可)
2.(2024·威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=ax+b(a≠0)与双曲线y2=(k≠0)交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y1≤y2的x的取值范围为 .
3.(2025·南充)已知直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上,则+的值是 .
考点4　应用一次函数解决最优方案问题
【示范题5】(2025·烟台)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价;
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少.
1.(2025·广安)某景区需要购买A,B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等,且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
(1)求A,B两种帐篷的单价各多少元
(2)若该景区需要购买A,B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买),且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的,则购买A,B两种型号的帐篷各多少顶时,总费用最低 最低总费用是多少元
2.(2025·德阳)中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩,其独特的空心技艺传承千年,从揉面、开条、上筷到拉扯成型,需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研,已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元,购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元.
(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元
(2)为进一步推广此非遗美食,兴趣小组决定购买A,B两种型号挂面共40袋.在单价不变,总费用不超过950元,且B型挂面不少于10袋的条件下,共有几种购买方案 其中最低花费多少元
1.(2025·广西)已知一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),则b=( )
A.3　　 B.4　　 C.6　　 D.7
2.(2024·广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M,t s后测距仪L收到M反射回的激光束.则L到M的距离d km与时间t s的关系式为( )
A.d=t B.d=3×105t
C.d=2×3×105t D.d=3×106t
3.(2023·广西)函数y=kx+3的图象经过点(2,5),则k= .

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