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第十三讲　二次函数的应用
考点1　用二次函数解决抛物线型问题
【示范题1】(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型,水平横梁AC=16 m,L1的最高点B到AC的距离BO=4 m,L2,L3关于BO所在直线对称.MN,MP,NQ为框架,点M,N在L1上,点P,Q分别在L2,L3上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点,以AC所在直线为x轴,以BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线L1的函数表达式;
(2)已知抛物线L3的函数表达式为y=-(x-4)2,NQ= m,求MN的长.
【答题关键指导】
抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题
(1)解题关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式简便且易于计算.
(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误.
(2025·新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车,它将成为世界上最长的高速公路隧道,能大大提升区域交通效率,促进经济发展.如图是隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米,高8米,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米,高3.5米的两辆车并排行驶,能否安全通过 请说明理由.
考点2　用二次函数解决最优化问题
【示范题2】(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题.
材料一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆;B型客车租车费用为3 000元/辆. 优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用(3 200-50m)元/辆; 租用B型客车,租车费用打八折
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车; 学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆.
(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少
【答题关键指导】
利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)根据题意,列出抛物线解析式,或建立恰当的坐标系,设出抛物线的解析式,将实际问题转化为数学模型.
(2)列出函数解析式后,要标明自变量的取值范围.
(3)根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时,一般最值在顶点处取得,但也要注意,当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来确定最值.
1.(2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是 m2.
2.(2025·内江)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
考点3　二次函数的综合运用
【示范题3】(2025·扬州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-2x+3的图象(记为G1)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象(记为G2)经过点A,C.直线x=t与两个图象G1,G2分别交于点M,N,与x轴交于点P.
(1)求b,c的值.
(2)当点P在线段AO上时,求MN的最大值.
(3)设点M,N到直线AC的距离分别为m,n.当m+n=4时,对应的t值有 个;当m-n=3时,对应的t值有 个;当mn=2时,对应的t值有 个;当=1时,对应的t值有 个.
【答题关键指导】
此类题一般作为数学压轴题,解数学压轴题一般可以分为三个步骤
(1)认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答.审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.
(2)解数学压轴题要善于总结解数学压轴题时所隐含的数学思想.如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等,认清条件和结论之间的关系、图象的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
(3)当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题目,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.
　(2025·烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点,作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点F,连接CD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点D的横坐标为t,
①用含有t的代数式表示线段DE的长度;
②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形 若存在,请求出所有满足条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的最小值.
(2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= m. 第十三讲　二次函数的应用
考点1　用二次函数解决抛物线型问题
【示范题1】(2025·陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型,水平横梁AC=16 m,L1的最高点B到AC的距离BO=4 m,L2,L3关于BO所在直线对称.MN,MP,NQ为框架,点M,N在L1上,点P,Q分别在L2,L3上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点,以AC所在直线为x轴,以BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线L1的函数表达式;
(2)已知抛物线L3的函数表达式为y=-(x-4)2,NQ= m,求MN的长.
【自主解答】(1)∵BO=4 m,
∴抛物线L1的顶点B坐标为(0,4),
设抛物线L1的函数表达式为y=a(x-0)2+4,
∵AC=16 m,
∴结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0),
将C(8,0)代入y=a(x-0)2+4,
得0=64a+4,则a=-,
∴y=-x2+4;
(2)由(1)得抛物线L1的函数表达式为y=-x2+4,
∵MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC,
NQ= m,且抛物线L3的函数表达式为y=-(x-4)2,
∴y=yN-yQ=-x2+4-=,
整理得x2-3(x-4)2=24,
∴x2-3x2+24x-48=24,
∴x2-12x+36=(x-6)2=0,
解得x1=x2=6,
∴MN=2×6=12 m.
【答题关键指导】
抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题
(1)解题关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式简便且易于计算.
(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误;②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段所在的象限,造成符号错误.
(2025·新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车,它将成为世界上最长的高速公路隧道,能大大提升区域交通效率,促进经济发展.如图是隧道截面图,其轮廓可近似看作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米,高8米,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米,高3.5米的两辆车并排行驶,能否安全通过 请说明理由.
【解析】(1)由题意得,顶点为,8,即(6,8),
设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0),
代入点(12,0)得a(12-6)2+8=0,
解得a=-,∴抛物线的函数解析式为
y=-(x-6)2+8(0≤x≤12);
(2)能安全通过.理由如下:如图,
由题意得:xA=--3=2,
将x=2代入y=-(x-6)2+8,
则y=-×(2-6)2+8=,
∵-3.5=>0.5,
∴能安全通过.
考点2　用二次函数解决最优化问题
【示范题2】(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题.
材料一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同
材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆;B型客车租车费用为3 000元/辆. 优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用(3 200-50m)元/辆; 租用B型客车,租车费用打八折
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车; 学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆.
(1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少
【自主解答】(1)设A型客车每辆载客量为x人,则B型客车每辆载客量为(x-15)人,
根据题意得:=,解得x=60,
经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意,∴x-15=60-15=45.
答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人;
(2)设租用A型客车m辆,则租用B型客车(10-m)辆,根据题意得:60m+45(10-m)≥530,解得m≥,
设本次研学活动学校的租车总费用为w元,则w=(3 200-50m)m+3 000×0.8(10-m)=-50m2+800m+24 000,
∵抛物线的对称轴为直线m=-=8,∴m≤8时,w随着m的增大而增大,
∵m取正整数,且m≥,
∴当m=6时,w取得最小值,最小值为-50×62+800×6+24 000=27 000(元).
答:本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元.
【答题关键指导】
利用二次函数解决实际问题的步骤
(1)根据题意,列出抛物线解析式,或建立恰当的坐标系,设出抛物线的解析式,将实际问题转化为数学模型.
(2)列出函数解析式后,要标明自变量的取值范围.
(3)根据二次函数图象和性质解决问题,确定最值时,一般最值在顶点处取得,但也要注意,当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据函数的增减性来确定最值.
1.(2024·自贡)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE=1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是　46.4　m2.
2.(2025·内江)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个,B款300个,需花费14 000元;购进A款100个,B款200个,需花费8 000元.
(1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元
【解析】(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元,B款“哪吒”纪念品每个进价为y元,
由题意得,解得,
答:A款“哪吒”纪念品每个进价为40元,B款“哪吒”纪念品每个进价为20元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W表示该商家销售A款纪念品的利润(单位:元),求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
【解析】(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个,
由题意得,40(400-m)+20m≤12 000,
解得m≥200,
∴m的最小值为200,
答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)由题意得,W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20 000-5a2+200a
=-5(a-70)2+4 500,
∵-5<0,60≤a≤100,
∴当a-70=0,即a=70时,W最大,最大值为4 500.
考点3　二次函数的综合运用
【示范题3】(2025·扬州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2-2x+3的图象(记为G1)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象(记为G2)经过点A,C.直线x=t与两个图象G1,G2分别交于点M,N,与x轴交于点P.
(1)求b,c的值.
(2)当点P在线段AO上时,求MN的最大值.
(3)设点M,N到直线AC的距离分别为m,n.当m+n=4时,对应的t值有　　　　个;当m-n=3时,对应的t值有　　　　个;当mn=2时,对应的t值有　　　　个;当=1时,对应的t值有　　　　个.
【自主解答】(1)∵二次函数y=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
∴令y=0,可得x=-3或1,即A(-3,0),B(1,0),
把A(-3,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c中,可得,解得,
故b的值为4,c的值为3;
(2)由(1)知G2的表达式为y=x2+4x+3,
设P(t,0)(-3≤t≤0),则M(t,-t2-2t+3),N(t,t2+4t+3),
故MN=-t2-2t+3-t2-4t-3=-2t2-6t=-2t+2+,
即MN的最大值为;
(3)作MS⊥AC于点S,RN⊥AC于点R,设MN交AC于点E,如图所示,
设直线AC的表达式为y=kx+s,
则,解得,
∴直线AC的表达式为y=x+3,
∴∠CAB=45°,
∴∠MES=∠NER=45°,
∵MS=m,RN=n,
∴ME=m,EN=n,
∵E(t,t+3),
∴ME=|-t2-3t|,NE=|t2+3t|,
即ME=NE=|t2+3t|,
∴m=n,
①当m+n=4时,
即m=n=2,故MN=4,
当-3≤t≤0时,MN的最大值为<4,
那么由图可知当t<-3时或t>1时,共2种情况满足题意,
故对应的t值有2个;
②当m-n=3时,即m=n+3,这与m=n相矛盾,故不成立,对应的t值有0个;
③当mn=2时,由m=n可知,m=n=,
故ME=2,
∴|t2+3t|=2,即t2+3t=±2,
解得t=-2或-1或或,
故对应的t值有4个;
④当=1时,
∵m=n恒成立,
∴对应的t值有无数个.
答案:2　0　4　无数
【答题关键指导】
此类题一般作为数学压轴题,解数学压轴题一般可以分为三个步骤
(1)认真审题,理解题意、探究解题思路、正确解答.审题要全面审视题目的所有条件和答题要求,在整体上把握试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计.
(2)解数学压轴题要善于总结解数学压轴题时所隐含的数学思想.如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等,认清条件和结论之间的关系、图象的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系,确定解题的思路和方法.
(3)当思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题目,注意挖掘隐蔽的条件和内在联系,既要防止钻牛角尖,又要防止轻易放弃.
　(2025·烟台)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点,作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点F,连接CD.
(1)求抛物线的表达式;
(2)设点D的横坐标为t,
①用含有t的代数式表示线段DE的长度;
②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形 若存在,请求出所有满足条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的最小值.
【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,OA=2,OB=6,
∴A(-2,0),B(6,0),
∴,解得,
∴抛物线的表达式为y=-x2+x+3;
(2)①对于抛物线y=-x2+x+3,
当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
设直线BC的表达式为y=kx+b,
则,解得,
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
∵DE⊥AB,
∴D(t,-t2+t+3),E(t,-t+3),
∴DE=-t2+t+3-(-t+3)=-t2+t,
∴DE=-t2+t(0②存在.理由如下:
CD=
=,
而CE==t,
当DE=CE时,-t2+t=t,
解得t=6-2或t=0(舍去),
∴-t2+t+3=-×(6-2)2+6-2+3=4-5,
∴D(6-2,4-5).
当CD=DE时,t2+(-t2+t)2=(-t2+t)2,
整理得:t2(-t+1)=0,解得t=1或t=0(舍),
∴-t2+t+3=-×12+1+3=,
∴D(1,).
当CD=CE时,t2+(-t2+t)2=(t)2,
整理得:t2(t2-t+)=0,
解得:t=2或t=6(舍)或t=0(舍),
∴-t2+t+3=-×22+2+3=4,
∴D(2,4),
综上:△CDE是等腰三角形时,D(2,4)或D(1,)或D(6-2,4-5);
(3)在y轴负半轴取点N(0,-6),连接NG并延长交x轴于点M,连接AN,
由旋转得:OE=OG,∠EOG=90°,
∵B(6,0),
∴OB=ON,
∴∠BON=90°,
∴∠EOM=∠GON=90°-∠MOG,
∴△BOE≌△NOG(SAS),
∴∠CBO=∠MNO,
∴点G在线段MN上运动(不包括端点),
∴当AG⊥MN时,AG最小,
∵∠CBO=∠MNO,OB=ON,∠COB=∠MON,
∴△COB≌△MON(ASA),
∴OM=OC=3,
∴MN==3,
∴当AG⊥MN时,
S△AMN=AM·ON=MN·AG
∴×5×6=×3×AG,
∴AG=2,
∴线段AG长度的最小值为2.
(2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球落地点为M,则OM= 　m.
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