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第十一讲　反比例函数
知识要点 对点练习
1.反比例函数解析式的三种形式 (1)y= 　(k≠0,k为常数). (2)y=k　x-1　(k≠0,k为常数). (3)xy=　k　(k≠0,k为常数). 1.若点A(1,5)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为(A) A.5　 B.-5　 C.　 D.-
2.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是　双曲线　,且关于　原点　对称. (2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质: 函数图象所在象限性质y= (k为 常数, k≠0)k>0　一、三　 象限 (x,y同号)在每个象限内,y随x增大而　减小　 k<0　二、四　 象限 (x,y异号)在每个象限内,y随x增大而　增大　
2.(1)(教材再开发·人教九下P7例4改编)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,且x1<00 C.y1-y2<0 D.y1-y2>0 (2)(教材再开发·人教九下P9T8改编)在同一直角坐标系中,函数y=kx-k与y=(k≠0)的大致图象是(B) A.①② B.②③ C.②④ D.③④
3.k的几何意义 (1)S=|k| (2)S= 3.(1)已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是(B) A.3 B.-3 C.6 D.-6 (2)反比例函数y=-(x<0)的图象如图所示,则△ABC的面积为(B) A. B. C.3 D.6
考点1　反比例函数的图象和性质
【示范题1】(2025·内蒙古)已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-的图象上,则下列结论一定正确的是(D)
A.y1>y2
B.y1C.当m<0时,y1D.当m<-1时,y1【答题关键指导】
反比例函数的图象位置和性质只与系数的正负有关:
当k>0时,图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小;
当k<0时,图象在第二、四象限,在每个象限内y随x的增大而增大.
1.(2025·天津)若点A(-3,y1),B(1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(D)
A.y1C.y12.(2025·河北)在反比例函数y=中,若2A.C.2考点2　求反比例函数的解析式
【示范题2】(2025·云南)若点(1,2)在反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象上,则k=(B)
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
【答题关键指导】
用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤
(1)设:设所求反比例函数为y=(k≠0).
(2)列:根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程.
(3)解:解方程得待定的系数k的值.
(4)代:把k的值代入反比例函数y=(k≠0),得出答案.
1.(2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时,电流I可能是(A)
A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A
2.(2025·福建)若反比例函数y=的图象过点(-2,1),则常数k=　-2　.
考点3　反比例函数系数k的几何意义
【示范题3】(2024·苏州)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则的值为(A)
A. B. C. D.
【答题关键指导】
与比例系数k有关的面积问题
(1)设P(m,n)是双曲线y=(k≠0)上任意一点,过P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A(如图1),则S△OAP=OA·AP=|n|·|m|=|mn|=|k|.
(2)过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B(如图2),则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·
|n|=|mn|=|k|.
1.(2025·龙东)如图,在平面直角坐标系中,点A、点B都在双曲线y=(k≠0)上,且点A在点B的右侧,点A的横坐标为-1,∠AOB=∠ABO=45°,则k的值为(D)
A.　 B.-
C.　 D.-
2.(2025·绥化)如图,反比例函数y=经过A,C两点,过点A作AB⊥y轴于点B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA,OC,AC.若S△ACO=4,CD∶OB=1∶3,则k的值是(D)
A.-12　 B.-9 C.-6　 D.-3
考点4　与反比例函数有关的综合题
【示范题4】(2025·安徽)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+4(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点.已知点A和B的横坐标分别为6和2.
(1)求a与k的值;
(2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C,D,求△COD的面积.
【解析】(1)由题意得,
解得a=-,k=6;
(2)由(1)知直线AB对应的一次函数表达式为y=-x+4,
令y=0,得x=8,所以OC=8,
令x=0,得y=4,所以OD=4,
故S△COD=OC·OD=×8×4=16.
(2025·苏州)如图,一次函数y=2x+4的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点D.连接CD.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形,求k的值.
【解析】(1)在y=2x+4中,令y=0得2x+4=0,解得x=-2,
∴点A的坐标为(-2,0),
在y=2x+4中,令x=0得y=4,
∴点B的坐标为(0,4);
(2)过点C作CE⊥BD,垂足为E,如图:
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形,
∴CB=CD,
∵CE⊥BD,∴BE=DE,
在y=中,令y=4得x=,
∴D(,4),∴BE=DE=,
在y=中,令x=得y=8,∴C(,8),
∵点C在一次函数y=2x+4的图象上,
∴8=2×+4,解得k=16,
∴k的值为16.
1.(2024·广西)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0A.y1<0C.y12.(2023·广西)如图,过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行线交y=-的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为S1,S2,S3,S4,若S2+S3+S4=,则k的值为(C)
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(2025·广西)如图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支上.若点A的坐标为(4,),则第三级阶梯的高EF=(B)
A.4 B.3 C. D.
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知识要点 对点练习
1.反比例函数解析式的三种形式 (1)y= (k≠0,k为常数). (2)y=k (k≠0,k为常数). (3)xy= (k≠0,k为常数). 1.若点A(1,5)是反比例函数y=(k≠0)图象上一点,则常数k的值为( ) A.5　 B.-5　 C.　 D.-
2.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是 ,且关于 对称. (2)反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象和性质: 函数图象所在象限性质y= (k为 常数, k≠0)k>0 象限 (x,y同号)在每个象限内,y随x增大而 k<0 象限 (x,y异号)在每个象限内,y随x增大而
2.(1)(教材再开发·人教九下P7例4改编)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上,且x1<00 C.y1-y2<0 D.y1-y2>0 (2)(教材再开发·人教九下P9T8改编)在同一直角坐标系中,函数y=kx-k与y=(k≠0)的大致图象是( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④
3.k的几何意义 (1)S=|k| (2)S= 3.(1)已知反比例函数y=的图象如图所示,若矩形OABC的面积为3,则k的值是( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 (2)反比例函数y=-(x<0)的图象如图所示,则△ABC的面积为( ) A. B. C.3 D.6
考点1　反比例函数的图象和性质
【示范题1】(2025·内蒙古)已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-的图象上,则下列结论一定正确的是( )
A.y1>y2
B.y1C.当m<0时,y1D.当m<-1时,y1【答题关键指导】
反比例函数的图象位置和性质只与系数的正负有关:
当k>0时,图象在第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小;
当k<0时,图象在第二、四象限,在每个象限内y随x的增大而增大.
1.(2025·天津)若点A(-3,y1),B(1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1C.y12.(2025·河北)在反比例函数y=中,若2A.C.2考点2　求反比例函数的解析式
【示范题2】(2025·云南)若点(1,2)在反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象上,则k=( )
A.1　 B.2　 C.3　 D.4
【答题关键指导】
用待定系数法求反比例函数解析式的四个步骤
(1)设:设所求反比例函数为y=(k≠0).
(2)列:根据已知条件(自变量与函数的对应值)列出含k的方程.
(3)解:解方程得待定的系数k的值.
(4)代:把k的值代入反比例函数y=(k≠0),得出答案.
1.(2025·湖北)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时,电流I可能是( )
A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A
2.(2025·福建)若反比例函数y=的图象过点(-2,1),则常数k= .
考点3　反比例函数系数k的几何意义
【示范题3】(2024·苏州)如图,点A为反比例函数y=-(x<0)图象上的一点,连接AO,过点O作OA的垂线与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B,则的值为( )
A. B. C. D.
【答题关键指导】
与比例系数k有关的面积问题
(1)设P(m,n)是双曲线y=(k≠0)上任意一点,过P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A(如图1),则S△OAP=OA·AP=|n|·|m|=|mn|=|k|.
(2)过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B(如图2),则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·
|n|=|mn|=|k|.
1.(2025·龙东)如图,在平面直角坐标系中,点A、点B都在双曲线y=(k≠0)上,且点A在点B的右侧,点A的横坐标为-1,∠AOB=∠ABO=45°,则k的值为( )
A.　 B.-
C.　 D.-
2.(2025·绥化)如图,反比例函数y=经过A,C两点,过点A作AB⊥y轴于点B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA,OC,AC.若S△ACO=4,CD∶OB=1∶3,则k的值是( )
A.-12　 B.-9 C.-6　 D.-3
考点4　与反比例函数有关的综合题
【示范题4】(2025·安徽)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+4(a≠0)与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点.已知点A和B的横坐标分别为6和2.
(1)求a与k的值;
(2)设直线AB与x轴、y轴的交点分别为C,D,求△COD的面积.
(2025·苏州)如图,一次函数y=2x+4的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点D.连接CD.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形,求k的值.
1.(2024·广西)已知点M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数y=的图象上,若x1<0A.y1<0C.y12.(2023·广西)如图,过y=(x>0)的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行线交y=-的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为S1,S2,S3,S4,若S2+S3+S4=,则k的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
3.(2025·广西)如图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支上.若点A的坐标为(4,),则第三级阶梯的高EF=( )
A.4 B.3 C. D.

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