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第十八讲　解直角三角形
知识要点 对点练习
1.特殊角的三角函数值 α30°45°60°sin α cos α tan α
1.(1)2sin 45°的值等于( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C. D.2 (2)在△ABC中,若+cos B-2=0,则∠C的度数是 .
2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系: . (2)两锐角之间的关系: . (3)边角之间的关系:sin A=cos B= ,sin B=cos A= ,tan A= ,tan B= . (4)解直角三角形:由直角三角形中的 ,求出其余 的过程,叫做解直角三角形. 2.(教材再开发·人教九下P65例2改编) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 .
3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线 的叫做仰角,在水平线 的叫做俯角. 图1 图2 (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和 之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母 表示,即i= ;坡面与 的夹角叫做坡角,记作α.所以i= =tan α. (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(教材再开发·湘教九上P127T2改编)如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD的长度约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米
考点1　锐角三角函数的概念
【示范题1】(2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为( )
A.2 B.2 C. D.3
【答题关键指导】
1.求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决,可以通过相等的角转化或通过作辅助线构造直角三角形.
2.解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边.
(2025·云南)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sin A=( )
A. B. C. D.
考点2　特殊角的三角函数值
【示范题2】(2025·天津)tan 45 °-cos 45°的值等于( )
A.0 B.1 C.1- D.1-
【答题关键指导】
熟记特殊角的三角函数值的两种方法
1.按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,,,余弦的分子分别是,,1,正切分别是,1,.
2.特殊值法:(1)在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,,2.
(2)在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1,,再根据锐角三角函数的定义推导即可.
1.计算:2sin 60°+(3.14-π)0-+-1.
2.(2025·北京)计算:++-2sin 30°.
考点3　解直角三角形
【示范题3】在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC= .
【答题关键指导】
1.根据已知条件选择适当的边角关系是解题的关键.
2.有时需要作辅助线把斜三角形转化为直角三角形问题.
(1)解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据.
(2)遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则,提高解题的正确性.
(3)必要时画出图形帮助分析.
(2023·扬州)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是( )
A.1 B.2 C.6 D.8
考点4　解直角三角形的应用
【示范题4】(2025·广安)随着科技的发展,无人机在实际生活中应用广泛.如图,O,C是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点,在A点测得C点的俯角为30°,A,C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点,在B点测得C点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m).(点O,A,B,C在同一平面内,参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75,≈1.73)
【答题关键指导】
当图中有两个直角三角形时,两个直角三角形的公共边是解决问题的突破口.
(1)当公共边已知时,可直接利用公共边求其他未知的量.
(2)当公共边未知时,若公共边能在某个直角三角形中求出,则先求出此公共边;若公共边不能求出,则设公共边的长为x,从而列方程解决.
1.(2025·绥化)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是 .
2.(2024·盐城)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,在无人机垂直上升距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
1.(2025·广西)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=7,AC=3,则sin B=( )
A. B. C. D.
2.(2023·广西)如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱,则共需钢材约 m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
3.(2022·贺州)如图,在小明家附近有一座废旧的烟囱,为了乡村振兴,美化环境,政府计划把这片区域改造为公园.现决定用爆破的方式拆除该烟囱,为确定安全范围,需测量烟囱的高度AB,因为不能直接到达烟囱底部B处,测量人员用高为1.2 m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C,D两处地面上,分别测得烟囱顶部A的仰角∠B'C'A=60°,∠B'D'A=30°,同时量得CD为60 m.问烟囱AB的高度为多少米 (精确到0.1 m,参考数据:≈1.414,≈1.732)第十八讲　解直角三角形
知识要点 对点练习
1.特殊角的三角函数值 α30°45°60°sin α cos α tan α 1
1.(1)2sin 45°的值等于(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1 B. C. D.2 (2)在△ABC中,若+cos B-2=0,则∠C的度数是　90°　.
2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:　a2+b2=c2　. (2)两锐角之间的关系:　∠A+∠B=90°　. (3)边角之间的关系:sin A=cos B= 　,sin B=cos A= 　,tan A= 　,tan B= 　. (4)解直角三角形:由直角三角形中的　已知元素　,求出其余　未知元素　的过程,叫做解直角三角形. 2.(教材再开发·人教九下P65例2改编) 在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,则sin A的值为 　.
3.解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角:如图1,在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,视线在水平线　上方　的叫做仰角,在水平线　下方　的叫做俯角. 图1 图2 (2)坡度(坡比)和坡角:如图2,通常把坡面的铅直高度h和　水平宽度l　之比叫做坡度(或叫做坡比),用字母　i　表示,即i= 　;坡面与　水平面　的夹角叫做坡角,记作α.所以i= 　=tan α. (3)方向角:指北或指南的方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角. 3.(教材再开发·湘教九上P127T2改编)如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD的长度约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米
考点1　锐角三角函数的概念
【示范题1】(2024·达州)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为2,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为(B)
A.2 B.2 C. D.3
【答题关键指导】
1.求锐角三角函数值时必须把角转化到直角三角形中解决,可以通过相等的角转化或通过作辅助线构造直角三角形.
2.解题时要找准角的对边、邻边和所在直角三角形的斜边.
(2025·云南)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sin A=(D)
A. B. C. D.
考点2　特殊角的三角函数值
【示范题2】(2025·天津)tan 45 °-cos 45°的值等于(A)
A.0 B.1 C.1- D.1-
【答题关键指导】
熟记特殊角的三角函数值的两种方法
1.按值的变化:30°,45°,60°角的正余弦的分母都是2,正弦的分子分别是1,,,余弦的分子分别是,,1,正切分别是,1,.
2.特殊值法:(1)在直角三角形中,设30°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,,2.
(2)在直角三角形中,设45°角所对的直角边为1,那么三边长分别为1,1,,再根据锐角三角函数的定义推导即可.
1.计算:2sin 60°+(3.14-π)0-+-1.
【解析】2sin 60°+(3.14-π)0-+-1
=2×+1-3+2
=+1-3+2
=.
2.(2025·北京)计算:++-2sin 30°.
【解析】++-2sin 30°
=3+3+2-2×
=4+3.
考点3　解直角三角形
【示范题3】在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC=　3+3或3-3　.
【答题关键指导】
1.根据已知条件选择适当的边角关系是解题的关键.
2.有时需要作辅助线把斜三角形转化为直角三角形问题.
(1)解直角三角形时,要尽量用到已知条件的数据.
(2)遵守“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除”的原则,提高解题的正确性.
(3)必要时画出图形帮助分析.
(2023·扬州)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是(C)
A.1 B.2 C.6 D.8
考点4　解直角三角形的应用
【示范题4】(2025·广安)随着科技的发展,无人机在实际生活中应用广泛.如图,O,C是同一水平线上的两点,无人机从O点竖直上升到A点,在A点测得C点的俯角为30°,A,C两点的距离为24 m.无人机继续竖直上升到B点,在B点测得C点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(结果精确到0.1 m).(点O,A,B,C在同一平面内,参考数据:sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75,≈1.73)
【自主解答】如图:
由题意得:DB∥AE∥CO,
∴∠DBC=∠BCO=36.9°,∠EAC=∠ACO=30°,
在Rt△ACO中,AC=24 m,
∴AO=AC=12(m),
∴CO=AO=12(m),
在Rt△BCO中,BO=CO·tan 36.9°≈12×0.75=9(m),　
∴AB=BO-AO=9-12≈3.6(m),
∴无人机从A点到B点的上升高度AB约为3.6 m.
【答题关键指导】
当图中有两个直角三角形时,两个直角三角形的公共边是解决问题的突破口.
(1)当公共边已知时,可直接利用公共边求其他未知的量.
(2)当公共边未知时,若公共边能在某个直角三角形中求出,则先求出此公共边;若公共边不能求出,则设公共边的长为x,从而列方程解决.
1.(2025·绥化)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是　15 m　.
2.(2024·盐城)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,在无人机垂直上升距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为　17　m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
1.(2025·广西)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=7,AC=3,则sin B=(B)
A. B. C. D.
2.(2023·广西)如图,焊接一个钢架,包括底角为37°的等腰三角形外框和3 m高的支柱,则共需钢材约　21　 m(结果取整数).(参考数据:sin 37°≈0.60,
cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
3.(2022·贺州)如图,在小明家附近有一座废旧的烟囱,为了乡村振兴,美化环境,政府计划把这片区域改造为公园.现决定用爆破的方式拆除该烟囱,为确定安全范围,需测量烟囱的高度AB,因为不能直接到达烟囱底部B处,测量人员用高为1.2 m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C,D两处地面上,分别测得烟囱顶部A的仰角∠B'C'A=60°,∠B'D'A=30°,同时量得CD为60 m.问烟囱AB的高度为多少米 (精确到0.1 m,参考数据:≈1.414,≈1.732)
【解析】由题意得:BB'=DD'=CC'=1.2 m,D'C'=DC=60 m,
∵∠AC'B'是△AD'C'的一个外角,
∴∠D'AC'=∠AC'B'-∠AD'B'=30°,
∴∠AD'C'=∠D'AC'=30°,
∴D'C'=AC'=60 m,
在Rt△AC'B'中,∠AC'B'=60°,∴AB'=AC'·sin 60°=60×=30(m),
∴AB=AB'+BB'=30+1.2≈53.2(m),
答:烟囱AB的高度约为53.2 m.
跟踪诊断,请使用“校本作业”

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