资源简介

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第一章
勾股定理
探索勾股定理（第2课时）
课堂精要·梳理内容
1.勾股定理的验证方法有很多。其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计
算和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理。
2.图①、图②都能够验证勾股定理：在图①中，大正方形ABCD的面积既可以表示为（α+b)2,
也可以表示为4X26十，由同一图形的面积相等，可以列出等式(a十0：=4
2a6+c2,
化简可得a2+b=c2。在图②中，梯形EFGH的面积既可以表示为
,也可
以表示为
,根据
,可以列出等式
,化简
可得
图①
图②
课堂精练·发屣能力
基础巩固
1.如图，，b,c分别表示以直角三角形的三条边为边分别向外作的正方形的面积，下列关系
正确的是()。
A.a十b=c
B.a2+b2=c2
C.ab=c
D.a十b=c2
(第1题)
2.如图，阴影部分是正方形，其面积是()。
A.16
B.8
4
C.4
(第2题)
D.2
3.如图，点A,C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得BA
50m,BC=40m,则A,C两点之间的距离为()。
A.30m
B.40m
C.50m
D.60m
(第3题)
4.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花圃内走出了一
条“路”。他们仅仅少走了
步（假设2步为1m),却踩伤了花草。
“路
+-4m→
(第4题)】
(第5题)
5.如图，由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，若直角三角形的两条直角边长分别
为2,3，则大正方形的面积为
6.如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部
分的面积为
<3
(第6题)
(第7题)
7.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是
强化提高
8.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。若
AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到如图②所示
的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()。
图①
图②
(第8题)
A.72
B.52
C.80
D.76
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第一章勾段定理
9.如图，直线1上有三个正方形A,B,C,若正方形A,C的面积分别为5和11，则正方形B
的面积为()。
A.4
B.6
C.16
D.55
A
D
A
(第9题)
(第10题)
1O.如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰
好落在边BC上的点F处。若AE=5,BF=3,则CD的长为(
）。
A.7
B.8
C.9
D.10
11.如图，A地和B地之间有一座山，从A地到B地需要绕行C地。在
△ABC中，∠C=90°，AC=300m,BC=400m,若打通穿山隧道，建
成A,B两地的高铁，则AB=
m,一辆全长200m的动车
组，以350km/h的速度全部通过该隧道需要
s。
(第11题)
速安哭冲·要开东不
12.【数学应用】我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系
的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法。请你用等面积法来探
究下列问题：
(1)图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请你用它验证勾股定理；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AC=4,BC=3,求CD
的长度；
(3)尝试构造一个图形，使它能够解释(a十b)(a十2b)=a2+3ab+2b,并在图中标注出
a,b所表示的线段。
图①
图②
(第12题)
一3勾股定理及其验证方法
知识精讲
勾股定理的概念
直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边的平方。如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2 b2 c 2 。
如图 1 所示，在 △ABC 中，如果 ∠C ＝ 90° ，那么
AC 2 BC 2 AB2 。
勾股定理的验证方法
勾股定理的验证方法有很多种，下面介绍两种利用图形面积相等来证 图 1
明的方法。
第一种方法：如图 2，边长为 c 的正方形可以看作是由 4 个两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为 c 的正方形面积加上 4 个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式
c2 4 1 ab (a b)2 ，化简得c2 a2 b2 。
2
(
c c
) a
b
a
b
图 2 图 3
第二种方法：如图 3，这个直角梯形是由 2 个两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c 的直角三角形和一个直角边长为 c 的等腰直角三角形拼成的。因为 3 个直 角 三 角 形 的 面 积 之 和 等 于 梯 形 的 面 积 ， 所 以 可 以 列 出 等 式
1 c2 2 1 ab 1 (a b)2 ，化简得c2 a2 b2 。
2 2 2
考点分析
勾股定理及其验证方法主要考查利用勾股定理求三角形的第三边。题型多样，填空题、选择题、解答题均有可能出现，常与直角三角形、三角函数、四边形、圆等知识点综合进行考查。
名师点睛
利用勾股定理求直角三角形的第三边的长度时，应先明确哪条边是直角边，哪条边是斜边。
在式子a2 b2 c 2 中，a，b 代表直角三角形的两条直角边的长度，c 代表斜边的长度，它们之间的关系不能弄错。
遇到关于直角三角形中线段求值的问题时，首先要想到勾股定理。勾股定
理把直角三角形的“形”与三边关系的“数”结合起来，是数形结合思想方法的典型。
应用勾股定理解题时，只能是在同一个直角三角形中，才能求第三边的边长。
典型例题
例 1 在△ABC 中，∠A＝90°。
（1）若 b＝3，c＝4，则 a＝ ；
（2）若 a＝13，b＝5，则 c＝ 。
解析：（1）已知在△ABC 中，两条直角边长 b，c，由
a2 b2 c2 32 42 25 ，
得 a＝5；
（2）已知直角三角形的直角边长 b，斜边长 a，则
c2 a2 b2 132 52 144 ，
得 c＝12。
答案：（1）5 （2）12
例 2 在 Rt△ABC 中，AC＝3，AB＝4，求 BC 的长。
分析：本题没有说明哪个角是直角，所以需要分情况讨论。解答本题时，很容易认为∠A 是直角，而漏掉 AB 可能为斜边的情况。
解：在 Rt△ABC 中，
（1）当 BC 为斜边时， BC 2 AB2 AC 2 42 32 25 ，所以 BC＝5；
(
7
)（2）当 BC 为直角边时， BC2 AB2 AC2 42 32 7 ，所以 BC＝ 。
例 3 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面
积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图 4 或图 5
摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图 5 证明勾股定理的过程。
图 4 图 5
将两个全等的直角三角形按图 4 所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：
a2 b2 c 2 。
证明：连接 DB，过点 D 作 BC 边上的高 DF，则 DF＝EC＝b－a。
因为 S
＝S ＋S
＝ 1 b2 1 ab ，
四边形 ADCB
又因为 S 四边形 ADCB
△ACD
＝S△ADB
△ABC
＋S△DCB
2 2
＝ 1 c2 1 a(b a)
2 2
所以 1 b2 1 ab=
2 2
1 c2 1 a(b a) ，即a2 b2 c 2 。
2 2
请参照上述证法，利用图 5 完成下面的证明。
将两个全等的直角三角形按图 5 所示摆放，其中∠DAB＝90°。求证： a2 b2 c 2 。
证明：连接 。
因为 S 五边形 ACBED＝ ， 又因为 S 五边形 ACBED＝ ，所以 。
即a2 b2 c 2 。
答案：BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF（如图 6），则 BF＝b－a
S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝
1 ab+ 1 b2
1 ab
S ＋S ＋S
2 2 2
＝ 1 ab 1 c2 1 a(b a)
△ACB
△ABD
△BDE
2 2 2
1 ab+ 1 b2 1 ab ＝
1 ab 1 c2 1 a(b a)
2 2 2
2 2 2
图 6(共19张PPT)
义务教育教科书 数学 八年级上册
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第2课时）
在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图4，分别以直角三角形的三条边(a创设问题，引发回忆
图1
方法一：割正方形C，如图2。
方法二：补正方形C，如图3。
图2
图3
尝试·思考
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图4、图5。
尝试实践，证明定理
图4
图5
（1）将所有三角形的面积和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来。
活动内容
图4
图5
（2）图4、图5中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
图5
图4
方法一： 。
方法二： 。
方法一： 。
方法二： 。
（3）你能分别利用图4、图5验证勾股定理吗？
勾股定理的证明主要是通过在正方形中割出原直角三角形，再利用各部分面积之间的关系得以证明，或者用原直角三角形补出正方形，再用不同的方法计算面积公式。因此用面积法验证的关键是要找到一些特殊图形（如直角三角形、正方形、梯形），使其面积之和等于整个图形的面积，从而完成定理的证明。
尝试总结
勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽（3世纪初）在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图6称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图7）就取材于此图。
学生阅读：漫话勾股世界（教材第6-7页内容），并谈谈感受。
畅谈历史
图6
图7
例 在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s 的平均速度吗？
尝试应用，巩固定理
分析：你能根据题意画出图形吗？
东
西
图8
解：根据题意，可以画出图8，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C是直角。由勾股定理，可得
AB2=BC 2+AC 2，
也就是
5002=BC 2+4002。
所以 BC=300 m。
蓝方汽车10s行驶了300 m，那么它平均每秒行驶30010=30(m)。
因此，蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 m/s。
图9
从题目中提取已知量，并在上述的图形中用字母、数据表示出来。
根据图9的几何模型，解决实际问题。
思考·交流
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗 以图10为例（方格纸中每个小方格的边长均为1），说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。
通过几何画板及大数据分析可知，当较长边长的平方小于另外两边长的平方和时，三角形是锐角三角形；当较长边长的平方大于另外两边长的平方和时，三角形是钝角三角形。
引发讨论，深学拓展
图10
（1）分组计算正方形的面积，判断三条边长度的平方之间的关系，先猜想：三角形如果不是直角三角形，那么三条边长度的平方不满足勾股定理。
（2）利用方格纸任意画出锐角三角形和钝角三角形，再次计算正方形面积，发现结论：
当较长边长的平方小于另外两边长的平方和时，三角形是锐角三角形；
当较长边长的平方大于另外两边长的平方和时，三角形是钝角三角形。
（3）通过几何画板及大数据分析，进一步证实（2）中三角形的形状与三条边长度的平方之间的关系。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么
当a2+b2>c2时，三角形是锐角三角形；
当a2+b2自主训练，查缺补漏
1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
2. 飞机在空中水平飞行，飞机距离某建筑的竖直高度为4 km，过了20 s，飞机与该建筑的距离为5 km，求飞机每小时飞行多少千米？
解：如图，在RtABC中，AB=5 km，AC=4 km，由勾股定理，可得BC2=AB2 -AC2,
即 BC2=52 -42。
解得 BC2=9，即BC=3 km。
又因为 20 s= h，
所以 3÷=540（km）。
因此，飞机每小时飞行540 km。
4km
5km
A
B
C
（第2题）
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴进行交流。
整体思考，分层设计
验证勾股
定理及应用
拼图验证
首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理。
应用
拼出图形
写出图形面积的表达式
找出相等关系
步骤
恒等变形
导出勾股定理
思路
布置作业
1．基础作业：习题1.1 第3题。
2．拓展提升作业：习题1.1问题解决 第6，7题。
谢谢第一章 勾股定理
1 探索勾股定理（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”第一节的第2课时。勾股定理是几何领域中最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一。另外，勾股定理在其他自然科学和实际生产生活中也得到了广泛应用。在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”，感受从“合情推理”到“演绎推理”的学习过程，并领会丰富的数学思想和方法。勾股定理的特殊证明方法能进一步拓宽学生视野，提高学生思维的广阔性、严密性、灵活性，同时，勾股定理的发现、验证和应用过程蕴含着丰富的数学文化价值。本节课主要是在三角形内容教学过程中，利用“面积证明法”和“算两次”原理进行推理证明几何问题，是具有启迪与示范作用的关键教学点，能帮助学生渗透数学思想。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在小学已经学习了正方形的面积公式，在七年级下册又学习了整式的加、减、乘运算，以及乘法公式等内容，上节课也通过活动概括出了勾股定理的内容。
学生的活动经验基础：学生在七年级下册第一章“整式的乘除运算”的学习过程中，通过运用两种不同的方法计算几何图形的面积，验证整式乘法公式的合理性，初步体验以形助数的方法；上节课通过测量和数格子的方法发现直角三角形三边的关系——勾股定理，学生初步具备通过割、补、拼求面积的意识。
三、教学目标
1.通过割、补、拼的方法求正方形的面积，体验证明勾股定理的过程，掌握直角三角三边之间的数量关系，并能应用勾股定理解决简单的实际问题。
2.经历勾股定理的验证过程，进一步发展说理和简单推理的意识及能力，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想。
3.经历“回顾—证明—归纳—应用”的学习过程，培养探究能力和合作精神，体验获得成功的快乐，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识。
4.通过了解古今中外关于勾股定理的证明，进行爱国主义教育，感受数学文化，增强爱国情感。
教学重点：勾股定理的证明。
教学难点：勾股定理的证明及应用。
四、教学过程设计
【第一环节】创设问题，引发回忆
1.活动内容
在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。如图1，分别以直角三角形的三条边(a2.活动目的
本环节主要回顾上节课勾股定理的猜想过程，并在此基础上提出一个无网格背景的问题，引导学生借助拼图一般性地验证勾股定理。
3.注意事项
回顾如何得出勾股定理，关键在于对方法的回顾。
方法一：割正方形C，如图2。 方法二：补正方形C，如图3。
方法一：；
方法二：。
是不是所有的直角三角形三边之间都具备这些关系呢？我们把上面的图形去掉网格，你还能计算出正方形C的面积吗？如图4，你是如何做的？
可以通过这个问题，根据学生的研究进展情况适时转入下面的“尝试·思考”环节。
【第二环节（一）】尝试实践，证明定理
1.活动内容
尝试·思考
为了计算图1中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，分别得到图4、
图5。
（1）将所有三角形的面积和正方形的面积用含a，b，c的式子表示出来。
（2）图5、图6中正方形ABCD的面积分别是多少？你有哪些表示方式？
（3）你能分别利用图5、图6验证勾股定理吗？
2.活动目的
在此环节中，学生经历了操作、讨论、交流与展示的过程。教师在学生进行推理及小组交流的过程中适时进行点拨，展示典型的证明方法，让学生感受推理的严谨性，并发现不同解决方法之间的内在联系，感受利用几何图形辅助代数运算的推理过程。
3.注意事项
在这个活动中，以小明的名义引导学生运用割补法验证勾股定理，在实际教学中，可以根据课程的实际生成情况开展教学，即在第一环节回顾勾股定理是如何获得的过程中，可以根据学生的研究进展适时转入本环节。
在验证勾股定理的时候，让学生体会“算两次”的思想（如图5中的正方形ABCD的面积既可以用它的边长的平方计算，也可以用四个小直角三角形面积加中间小正方形的面积算），并揭示这种“算两次”的思想在列方程、列函数关系式、探索公式时经常使用。
【第二环节（二）】尝试实践，证明定理
1.活动内容
勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽（3世纪初）在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述：“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把图6称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案（如图7）就取材于此图。
2.活动目的
在得出勾股定理证明后，简要介绍 “赵爽弦图”，让学生了解我国古代数学家在研究勾股定理方面的贡献，感受中华优秀传统文化的魅力，增强民族自豪感，坚定文化自信。
3.注意事项
通过弦图的介绍，让学生进一步感受“算两次”的思想。也可以结合“阅读·思考”的内容，让学生感受勾股定理的无字证明方法。
【第三环节】尝试应用，巩固定理
1.活动内容
例 在一次军事演习中，红方侦查员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10 s，测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10 s的平均速度吗
2.活动目的
借助军事演习相关背景，抽象出直角三角形，分析题目中的数量关系，明确已知量和所求量，通过建立直角三角形的模型解决实际问题。在解决问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力，为学生提供进一步探索和学习数学建模的新途径和新视角。同时体现了数学来源于生活又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识。运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容。
3.注意事项
对于此类实际问题，可以关注问题解决的过程，关注问题的思考、解决方法。例如：
能否根据题目画出相应的几何图形（如图8）？能否从题目中提取已知量，并在上述的图形中用字母、数据表示出来（如图9）？能否根据图9所示的几何模型解决实际问题？
【第四环节】引发讨论，深学拓展
1.活动内容
思考·交流
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“最长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗？以图11为例（方格纸中每个小方格的边长均为1），说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。
2.活动目的
引导学生进一步探究锐角三角形、钝角三角形三边的关系。
3.注意事项
学生通过经历猜想、画图、计算正方形的面积等活动，得出了：如果用a，b和c分别表示某三角形三边的长度，若a2+b2c2，则该三角形不是直角三角形。还进一步得出：在锐角三角形中，三边的长度满足a2+b2>c2；在钝角三角形中，三边的长度满足a2+b2【第五环节】自主训练，查缺补漏
1.活动内容
如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本是5 000万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计是多少？
2. 飞机在空中水平飞行，飞机距离某建筑的竖直高度为4 km，过了20 s，飞机与该建筑的距离为5 km，求飞机每小时飞行多少千米？
2.活动目的
在本教学环节中，学生先独立思考，再合作交流。让学生进一步巩固勾股定理，体会勾股定理在解决问题中的作用。
【第六环节】整体思考，分层设计
1.活动内容
问题1：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
问题2：对这些内容你有什么体会？
布置作业
基础作业：习题1.1知识技能 第3题。
拓展提升作业：习题1.1 第6，7题。
2.活动目的
问题1、问题2鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动。
课后作业设计包括了两个层面：基础作业是为了巩固基础知识而设计；拓展提升作业是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过画辅助线构造直角三角形，进一步巩固勾股定理的应用。
四、教学反思
1.设计理念
依据“学生是学习的主体”这一理念，在证明勾股定理的整个过程中，本节课让学生经历“回顾旧知—尝试割补—证明定理—应用定理—拓展学习”的学习过程，引导学生通过自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习。教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点。
2.突出重点、突破难点的策略
学生已对勾股定理形成初步认识，并掌握了求图形面积的不同方法，但对任意直角三角形勾股定理的证明的意识和能力还比较弱，对于如何将图形与数量关系有机地结合还有一定的困难。因此，在教学中注意对上节课内容的回顾以及方法的引导是本节课的难点，这就需要教师由浅入深地设置问题。探究活动中，先以网格形式下用不同的方法求正方形的面积，通过计算面积，让学生尝试证明定理，再思考去网格背景后正方形的面积关系，然后把这种关系表示成边长之间的关系，这不仅有利于学生自然合理地发现定理，而且便于学生验证定理。同时，教师要揭示割补法的实质是图形经过割或补后求得，面积不变，这种方法也是今后证明面积问题的常用方法。
图1
图3
图2
图5
图4
图7
图6
图8
东
西
图9
图10
（第2题）
4km
5km
A
B
C
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