资源简介

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第二章
实数
认识实数（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1
和
统称有理数。
2.在解决实际问题的过程中，我们会发现存在这样一类数，它们既不是整数，也不是分
数，即除了
外，还存在一类不是有理数的数。比如当x2=6时，x既不是整
数，也不是
,所以x一定不是有理数。
3.估计无理数的大小要用“夹逼法”一用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近
似值。
昌芝然乐久头刀
基础巩固
1.在等式x2=3中，下列说法正确的是(
)。
A.x是整数
B.x是分数
C.x是有理数
D.x不是有理数
2.正方形的面积为10，则它的边长x(
A.是分数
B.是有限小数
C.是整数
D.不是有理数
3.下列正方形中，边长不是有理数的是(
)。
A,面积为64的正方形
B.面积为16的正方形
C.面积为1.44的正方形
D.面积为12的正方形
4.如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=5,由勾股定理，可知AC2=
,而52AC2
62(填“>”“<”或“=”)，AC的长是介于
整数
与
之间的一个数，而且这个数更接近整数
(第4题)
5.已知正数m满足m2=39,则m的整数部分为
6.如图，B,C是一个生活小区的两个路口，BC的长为2km,A处是一个花园，从A到B,C
两路口的距离都是2k,现要从花园到生活小区修一条最短的路，这条路的长可能是整
数吗？可能是分数吗？
(第6题)
7.如图，直角三角形两直角边的长分别是2,3，阴影部分是一个正方形，设正方形的边长
为a。
(1)阴影部分的面积为多少？
(2)a是有理数吗？
(第7题)
强化提高
8.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在(
）。
A.2和3之间
B.3和4之间
C.4和5之间
D.5和6之间
9.如图，网格中小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，四条边中长
度是有理数的有()。
D
(第9题)
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
10.大家知道，当x2=2(x>0)时，x的值不可能是有理数，而12分是1。根据以上内容，解答下面的问题：
(1)若x2=10,则x的整数部分m=；
(2)若y2=17,则y的整数部分n=
(3)若m,n分别是一个三角形的两条边的长，第三条边的长是5，则这个三角形是
三角形。
11.若一个边长为a的正方形的面积为30，则a的取值范围正确的是()。
A.5.0B.5.2C.5.5D.5.72-(共19张PPT)
第二章 实数
1 认识实数（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
回顾置疑
1
思考
（1）一个整数的平方一定是整数吗？
（2）一个分数的平方一定是分数吗？
（1）一个整数的平方一定是整数；
（2）一个分数的平方一定是分数。
课题引入
1. 图中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。设大正方形的边长为a，a满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求：不允许有多余部分，所得的正方形不允许有空缺）
由勾股定理可知a满足a2=2，它不是我们学过的数。
课题引入
2.（1）如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？它是我们学过的数吗？
由勾股定理可知b满足b2=5，它不是我们学过的数。
【尝试·思考】
在上面的两个问题中，数a，b确实存在，但都不是有理数。
它们到底是多少？它们到底是什么数？
课题引入
新知释疑
【思考·交流】
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
（1）如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
新知释疑
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
【思考·交流】
新知释疑
（3）小明将他的探索过程整理如下：
边长a 面积S
11.41.411.4141.414 2【思考·交流】
还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
新知释疑
（4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。
【思考·交流】
事实上，a=1.414 213 56 ，b=2.236 067 97 ，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。
新知释疑
知识巩固
1. 在正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形：
（1）面积为9，且正方形的顶点在格点上；
（2）面积为13，且正方形的顶点在格点上。
知识巩固
1. 在正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形：
（1）正方形面积为9。
（2）正方形面积为13。
知识巩固
2. 在正方形网格中分别画出以下四个三角形：
（1）三边长都是有理数；
（2）只有两边长是有理数；
（3）只有一边长是有理数；
（4）三边长都不是有理数。
A
E
K
C
D
B
F
H
G
J
I
如图：（1）△ABC三边长都是有理数；（2）△ADK只有两边长是有理数；（3）△EFH只有一边长是有理数；（4）△GIJ三边长都不是有理数。
知识巩固
3. 如图，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗
解：因为h2=22－12=3，所以h不可能是整数，也不可能是分数，因此h不可能是有理数。
知识巩固
4. 同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？
解：设正方形的边长为a，对角线长为x，
由勾股定理，可得x2=a2+a2=2a2。
若a为整数，要使x也为整数，则需2a2是一个整数的平方。
由于2a2=2·a2，其中2不是一个整数的平方，
所以2a2不是一个整数的平方。
因此，正方形的边长和对角线的长度不可能都是整数。
课堂小结
1. 通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？
2. 通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？
3. 通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？
4. 除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的吗？
布置作业
基础作业：习题2.1 问题解决第5题，第6题；
拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100，共有多少种情况？（注：面积相同的不同画法均视为同一种情况）
实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数学小论文“我对数系扩充的再认识”。
谢谢第二章 实数
1 认识实数（第1课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”的第一节第1课时。从整体课程内容看，属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，课标内容要求为：了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。会求实数的相反数和绝对值。能用有理数估计一个无理数的大致范围。
本节内容分2个课时，实数是继有理数之后，在中学阶段学习的数系的又一次扩充。引入无理数后，有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍然成立。相关学习活动涉及类比学习及归纳推理，为后续高中阶段学习从实数向复数的数系扩展再次积累活动经验。第1课时让学生感悟数系的扩充，辩证认识无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理，会根据要求画线段；借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是不是有理数。第2课时主要是让学生知道实数由有理数和无理数组成，并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的，结合勾股定理知识，在数轴上确定无理数的位置。
本节课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：数系随着现实生活及数学学习的需求不断扩充，这体现了新数产生的必要性。代数运算的核心是研究数的性质、运算法则及运算律，学生已经经历过一次数系扩充，即七年级在引入负数的学习中，将数的研究范围扩充到有理数。利用数轴探究有理数的运算法则中体现的分类讨论、从特殊到一般、数形结合等数学思想为实数的学习奠定了基础。在前一章“勾股定理”的学习中，学生已经掌握勾股数的概念，但在探究过程中发现，并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是。这为引入“新数”奠定了必要性，同时，勾股定理的学习也为学生提供了数形结合的思考方法。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些拼图操作、网格画线段和借助计算器估算的活动，也具备与同学合作交流的经验。在负数的引入、意义及有理数加法的学习中，充分结合生活实际，在理解意义的基础上获取新知；在经历“观察、比较、分析、归纳”的合作交流过程中，积累了用数学的眼光观察问题、用数学的思维分析问题、用数学的语言表达和解决问题的经验。尤其是第一章用等积法说明勾股定理，解决了一些简单的现实问题，感受到了数系扩充的必要性和作用，获得了认识实数所必需的一些数学活动经验。
三、教学目标
1.在有理数认识的基础上，结合图形判断正方形的边长是不是有理数，感受客观世界中无理数的存在；能用有理数估计一个无理数的大致范围。
2.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景，培养发现问题、提出问题的能力。同时，借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并利用计算器估算，培养估算能力，发展抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。
3.渗透数形结合、分类讨论、特殊与一般的思想，培养代数推理能力。
4.在拼图和网格纸中作出无理数表示线段长度的过程中，发展分析问题和解决问题的能力，积累从图形的特征思考数学问题的思维经验。
教学重点：对数系扩充合理性的理解，意识到确实存在某些数，既不是整数也不是分数，它们具有无限不循环的特征。
教学难点：认识到无理数既不是整数也不是分数，是无限不循环小数。
四、教学过程设计
【第一环节】回顾置疑
1.活动内容
思考：（1）一个整数的平方一定是整数吗？
（2）一个分数的平方一定是分数吗？
2.活动目的
进行必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理。
【第二环节】课题引入
1.活动内容
图1中是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法得到一个大的正方形。设大正方形的边长为a，a满足什么条件？它是我们学过的数吗？（要求：不允许有多余部分，所得的正方形不允许有空缺）
尝试·思考
（1）如图2，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？
（2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？它是我们学过的数吗？
2.活动目的
通过动手操作，初步感知客观存在的“无理数”实例，让学生深刻感受“数不够用了”。
3.注意事项
无理数的学习标志着学生的知识结构从有理数范畴拓展到实数范畴，是一次重要的数系扩充。由于学生对数的认识是从现实生活需求出发的，遵循“自然数—整数—有理数—实数”的脉络不断拓展和丰富。学生对有理数的认识是具象可感的，是可以“数出来”“量出来”的，但无理数是抽象的“想出来”的。以学生现有经验的有限性去认识无理数概念的“无限性”，存在理解上的困难。因此，对无理数的认识要从现实需求出发，让学生直观感知其客观存在性，让学生在实验操作中引发思考，通过思考感知问题中的a，b确实存在，但不是有理数。
【第三环节】新知释疑
1.活动内容
思考·交流
面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？
（1）如图3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由。
（2）边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……借助计算器进行探索。
（3）小明将他的探索过程整理如下：
边长a 面积S
11.41.411.4141.414 2还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？
（4）面积为5的正方形的边长b的值是多少？b可能是有限小数吗？与同伴进行交流。
2.活动目的
上一环节的“尝试·思考”让学生感知a，b确实存在，但不是有理数。本环节的“思考·交流”则意在让学生感受a，b的大小。如何感知？这里借助了计算器进行逼近和估计，在这一过程中，可以初步感受a，b的大小，同时也让学生感受到这样的逼近过程可以一直重复下去，进而感知无理数是无限不循环小数。
3.注意事项
（1）这里采用了“呈现小明的探究”方式进行问题研究，在实际授课中，教师可以让学生进行类似的操作，然后呈现学生的解答。
（2）活动最后，教师需要明晰：事实上，a=1.414 213 56 ，b=2.236 067 97 ，它们都不是有理数，都是无限不循环小数。
【第四环节】知识巩固
1.活动内容
（1）在图4的正方形网格中，分别画出满足以下条件的两个正方形：
①面积为9，且正方形的顶点在格点上；
②面积为13，且正方形的顶点在格点上。
（2）在图5的正方形网格中分别画出以下四个三角形：
①三边长都是有理数；
②只有两边长是有理数；
③只有一边长是有理数；
④三边长都不是有理数。
（3）如图6，等边三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是有理数吗
（4）同一个正方形的边长和对角线的长度可能都是整数吗？
2.活动目的
前面2个方格纸画图问题，增添知识的趣味性、关联性和层次性，让学生初步学会辨别有理数和无理数，进一步感受“新数”的存在，培养灵活运用知识的能力。后面2个问题，是对本节课开始问题的变式，加深对“新知”的理解。
3.注意事项
（1）问题（2）的答案不唯一。
（2）在解决问题（1）（2）的过程中，需将本章内容与勾股定理的内容进行联系。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）通过本课学习，你收获了哪些数学知识和能力？
（2）通过本课学习，你提升了哪些数学思维能力？
（3）通过本课学习，你掌握了哪些数学语言的表达方式？
（4）除了本课所认识的非有理数外，你还能找到其他的数吗？
2.活动目的
通过课堂小结，理清本节课的知识脉络，培养学生的核心素养。引导学生用数学眼光观察现实世界，主要表现为抽象能力和几何直观；帮助学生用数学思维思考现实世界，主要表现为运算能力和推理能力；实现用数学的语言表达现实世界，主要表现在应用意识。
3.注意事项
学生总结，教师补充，帮助学生逐步深化对无理数的认识和理解。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
基础作业：习题2.1第5、第6题；
拓展作业：利用网格纸设计格点正方形，正方形面积小于100，共有多少种情况？（注：面积相同的不同画法均视为同一种情况）
实践作业：查阅相关资料，进一步了解数学史上无理数的发现历程。完成数学小论文“我对数系扩充的再认识”。
2.活动目的
设计不同难度、不同类别的作业，加强对本课时学习内容的理解，为不同层次学生的发展提供有力支持。
五、教学反思
1.概念是学习新知识的基本内容，每个知识点都是从概念教学开始的。概念教学不是告知学生结果去记忆就行，而是要让学生体验知识的产生、发展和应用的过程。从认知的过程来讲，形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程，即由特殊到一般的总结和归纳；而巩固概念则是加深理解和灵活运用的过程，即从一般到特殊的应用过程。因此概念教学与应用是一个有机的整体、一个完美的闭环。
本节课借助寻找正方形边长这一“现实生活中的实例”，让学生通过估计、计算器进行探索、讨论等，引导学生用数学的眼光观察现实世界，体会数学学习的乐趣和无限逼近的数学思想，从而得到无理数的概念；在教学实施过程中，对基础较薄弱的学生，这一探索过程所需时间较长，可能会影响后面环节的进行，但感知过程是学生理解无理数这一抽象概念所必需的，绝对不能淡化。
2.保持以研究的态度看待教学，以谦虚的态度研究教学，紧跟时代要求丰富教学手段。基于数学课堂做研究，基于对数学、学生、教学的理解寻找切入点，在常态课中将信息技术与数学适当融合，将抽象的知识形象化，帮助学生加深对知识的理解，丰富体验，促进学生个性化发展。同时，引导学生回顾旧知、探索新知，形成一定的数学探究能力，进一步培养学生的分类和归纳思想，为今后的数学学习打下坚实基础。

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