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第二章 实数
2 平方根与立方根（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
（1）3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？
（2）平方等于 的数有几个？平方等于0.64的数呢？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）。
答：－3的平方也是9。
答：平方等于 的数有2个，平方等于0.64的数也有2个。
复习旧知，引入新知
【尝试·思考】
（1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？
（2）一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
形成概念，辨析概念
相同点：
平方根和算术平方根的相同点和不同点：
1. 只有非负数才有平方根和算术平方根。
2. 0的平方根是0，算术平方根也是0。
不同点：
个数不同。一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
形成概念，辨析概念
明晰概念
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 ，另一个是 ，他们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作 ，读作“正、负根号a”。
形成概念，辨析概念
例1 求下列各数的平方根：
（1）64；
（3）0.000 4；
（5）11。
（4） ；
（2） ；
尝试运用，巩固概念
解：因为(8)2=64，所以64的平方根是8，即 ；
解：因为()2= ，所以的平方根是，即 ；
尝试运用，巩固概念
例1 求下列各数的平方根：
（1）64；
（2） ；
解：因为(0.02)2=0.000 4，所以0.000 4的平方根是0.02，即=0.02；
解：因为(25)2=(-25)2 ，所以(-25)2的平方根为 ，即
；
解：11的平方根是 。
尝试运用，巩固概念
（3）0.000 4；
（4） ；
（5）11。
例2 求下列各式的值：
（1） ； （2） ； （3） 。
解：（1） ；
（2） ；
（3） 。
尝试运用，巩固概念
1. 求下列各数的平方根：
1.44，0，8， ，441，196， 。
解：平方根分别为： ，0， ， ， ， ， 。
尝试运用，巩固概念
随堂练习
2. 25的平方根 ， 的平方根是_____， 的平方根是____；
3. ＝___ ， ＝____， ＝____。
±5
5
±3
5
5
尝试运用，巩固概念
随堂练习
2. 下列说法不正确的是______。
A.0的平方根是0
B. 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正整数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1. 下列说法正确的是 _________。
① -3是 的平方根； ②25的平方根是5； ③ -36的平方根是-6；
④平方根等于0的数是0； ⑤6的算术平方根是8。
巩固练习
① ④
B
尝试运用，巩固概念
3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）。
A. a+1 B.
C. a2+1 D.
D
尝试运用，巩固概念
巩固练习
课堂小结，布置作业
运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法。若被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根。若被开方数是带分数，则先要把它化为假分数。
注意要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示a的平方根。
如：64的平方根不要写成 。
课堂小结
议一议
一个正数有几个平方根？它们是什么关系？
0的平方根有几个？
负数有平方根吗
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
0的平方根有一个，0的平方根是0。
负数没有平方根。
课堂小结，布置作业
课堂小结
知识总结
一个正数有两个平方根，0的平方根是0。
负数没有平方根。
方法总结
求一个数的平方根就是转化为寻找哪个数的平方等于这个数。
平方与开方的互化关系。
若 ，则x叫作a的平方根， 。
课堂小结，布置作业
课堂小结
布置作业
习题2.2 知识技能：第2，4, 5题。
问题解决：第19，20，21，22题。
课堂小结，布置作业
谢谢第二章 实数
2 平方根与立方根（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第2课时。平方根是对算术平方根的深化与拓展。学生已经掌握算术平方根的概念，并且具有强烈的好奇心和学习热情。但抽象意识不足，缺乏对现有知识的迁移应用意识，还缺乏对知识体系进行整合和建构的意识。因此，本节课的教学设计在对教学内容的深入理解和对学情的精准把握的基础上，从学生思维最近发展区类比学习新知，根据教学目标精心设计合理且有效的教学活动，使学生经历层次清晰的、完整的抽象过程，在学习活动中发现知识、形成技能、发展核心素养。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。能在具体的例子中抽象出概念，发展学生的抽象概括能力。学生还具备了乘方运算的基础，并能熟练计算任何一个非负数的平方根。
学生的活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经积累了自主探究、合作学习的经验，具有一定的观察、分析、归纳、概括能力，具备了一定的合作与交流能力。这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情境引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。
三、教学目标
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；会求一个正数的平方根；了解平方根的性质。
2.经历动手操作、观察、猜想，培养学习的主动性，发展表达和运算能力。
3.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般及类比的观点，在小组活动中发展独立思考的能力。
4.通过主动参与，勇于面对困难并能够解决困难，发展合作交流意识。
教学重点：了解数的平方根的概念，会求一个正数的平方根，了解平方根的性质。
教学难点：会求一个正数的平方根。
四、教学过程设计
【第一环节】复习旧知，引入新知
1.活动内容
（1）3的平方是9，还有其他数的平方也是9吗？
（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根）。
2.活动目的
让学生形成“平方根”的概念。在列举一些具体数据的感性认识基础上，由平方运算反推出平方根的概念和定义，并让学生熟练地进行平方运算和平方根运算之间的互化，并明白它们之间的互逆关系。
3.注意事项
这里也可以借助上一课时中的例子，抛开实际情境，问z2=4，除了2以外，还有其他数的平方也是4吗？
【第二环节】形成概念，辨析概念
1.活动内容
尝试·思考
（1）平方根和算术平方根有哪些相同点和不同点？
（2）一个正数有几个平方根？0有几个平方根？负数呢？
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
相同点：
1.只有非负数才有平方根和算术平方根。
2.0的平方根是0，算术平方根也是0。
不同点：个数不同。一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。
明晰概念
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根，另一个是，他们互为相反数。这两个平方根合起来可以记作，读作“正、负根号a”。
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。
2.活动目的
“尝试·思考”辨析“平方根”与“算术平方根”概念的区别与联系，使之与上一课时紧密联系，同时也为明晰概念奠定了基础。
3.注意事项
这里从具体问题入手，遵循了从具体到抽象的过程，并和原有的概念进行了比较与辨析，帮助学生厘清算术平方根和平方根之间的关系。
【第三环节】尝试运用，巩固概念
1.活动内容
例题示范
例1 求下列各数的平方根：
（1）64；（2）；（3）0.000 4；（4）；（5）11。
解：（1）因为，所以64的平方根是，；
（2）因为，所以的平方根是，即；
（3）因为，所以的平方根是，即；
（4）因为，所以的平方根是，即；
（5）11的平方根是。
例2 求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）=；
（2）=；
（3）=8。
随堂练习
1.求下列各数的平方根：
1.44，0，8，，441，196，。
2.25的平方根是_____，的平方根是_____，的平方根是_____；
3._____，_____，=_______。
巩固练习
1.下列说法正确的是 _________。
① 3是的平方根
②25的平方根是5
③ 36的平方根是6
④平方根等于0的数是0
⑤6的算术平方根是8
2.下列说法不正确的是______。
A.0的平方根是0
B.的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正整数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3. 已知一个自然数的算术平方根是，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）。
A. +1 B.
C. +1 D.
2.活动目的
课本上的例题，要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达。能熟练地求出一个非负数的平方根，然后由题中的数探索出正数、0、负数的平方根的个数。围绕本节课的重点知识（平方根）做适当的练习，在不同的变式练习中加深对平方根意义的理解。
3.注意事项
通过对例题的详解，希望学生能准确地书写表达，规范平方根的书写格式，掌握正确的符号化语言。
【第四环节】课堂小结，布置作业
1.活动内容
课堂小结
引导学生总结本课时的知识、方法。
布置作业
习题2.2 知识技能：第2，4，5题。问题解决：第19，20，21，22题。
2.活动目的
让学生对所学的知识进行梳理，使之思路清晰。既巩固了有关知识，又培养了学生良好的数学学习习惯。
五、教学设计反思
1.情境教学，经历知识形成的过程
《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出，教学活动应引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测等方法分析问题和解决问题。本课时设计了一个课前热身环节，是在学生已有的乘方运算的基础上，让学生感受到新运算和平方运算是互逆运算。同时尊重教材，在求直角三角形斜边长的问题基础上，增加了两个实际问题。在解决实际问题中，创设信息化的学习环境，提升学生的探究热情，激发学生的想象力。本节课，我们要教的不仅仅是开平方运算，更要让学生经历从实际问题中抽象出来的过程，感悟数学思想方法，学会用数学的思维思考现实世界，这有助于培养学生数学学科核心素养。
2.树立整体观念，明确知识的来龙去脉
章建跃博士认为，数学是一个整体，思维是一个系统。课堂教学应注重整体性设计，提升学生的系统思维水平。“看似简单”的课，绝不是独立的，它一定是后续深入学习的起点。在本节课的概念建构时，引导学生对平方根的命名进行解读，引发学生思考，为后续学习立方根的命名作铺垫。小结环节采用类比学习，为后续概念课的学习提供范式，整体性的学习，有助于为学生建立前后一致、逻辑连贯的数学认知建构。
3.立意深远，关注学生的发展
本课的核心目标是育人。从情境中抽象出数学问题，让学生经历情境数学化的过程；从情境中建立方程模型，让学生感受数学模型的魅力；从探究概念的过程中，挖掘出背后隐藏的“生长点”和“延伸点”，提升了学生的思维力。本节课基于情境，始终围绕着发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程展开，不仅培养了学生的创新意识，还提高了学生的综合应用能力。
从平方根的概念、性质到应用可以看出，教材编写遵循“三会”的过程。学生建构新知的过程也遵循“三会”的过程，学生解决问题的过程也遵循“三会”的过程。因此，教师在教学设计时，应依据“观察—思考—表达”的基本流程和主要环节，为学生设计活动，注重培养学生的思维品质。将简单的课上出满满的数学味道，有效实现过程与结果的有机统一。<<<<<<<<
第二章
实数
平方根与立方根（第2课时）
课堂精要·梳理内容
1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数
就叫作
的平方根（也叫作二次方根）。
2.求一个数a的
的运算，叫作开平方，a叫作
3.一个正数有
个平方根；0只有一个平方根，是0本身；负数
平方根。
4.正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根va,另一个是一√a,它们互为
,这
两个平方根合起来可以记作
,读作
眼果费东公县能刀
基础巩固
1.4的平方根是(
)。
A.2
B.-2
C.±2
D.16
2.已知a的一个平方根是4，则a的另一个平方根是()。
A.-2
B.2
C.士2
D.-4
3.如果一个数的平方根是它本身，那么这个数是()。
A.0
B.1
C.±1
D.0,1
4.下列各式中，正确的是()。
A.√16=±4
B./16=-4
C.士√16=士4
D.√-16=-4
5.某个数的一个平方根是一5，则这个数是
6.若√x十2=2，则2x十5的平方根是
7.已知一个正数的两个平方根分别是3x一2和x一6，则这个数是
8.求下列各数的平方根：
1)81:21.96；(3)30；(2费
(5)(-1)；(6)15+8.
人年级上品
强化提高
9.√81的平方根是(
A.-3
B.±3
C.±9
D.-9
10.已知√/2a一4有意义，则a能取的最小整数为()。
A.0
B.-1
C.2
D.3
11.若m,n满足(m-3)2十√n-6=0,则√m十n的平方根是
12.观察下列各式：
高-隔-
27
3
V10…。
(1)按照上式所含的规律，根据你的理解填写：、
4一17
,即4一17
5
(2)猜想：5一26
(3)请用含有整数n(n≥2)的式子写出你发现的规律，并说明理由。
13.求下列各式中x的值：
(1)4x2-121=0;
(2)6(x+1)2-18=0;
一
<<<<<<<<
第二章实数
(3)(3x十2)2=16：
422x-1D=2。
课堂延伸·提升素养
14.计算下列题目：
√22=
W/2.57=
√W(-3)2=
√0=
新
请根据计算结果，回答下列问题：
(1)√a2一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请用自己的语言描述出来。
(2)利用你总结的规律，计算：
①√(2-√5)2
②若a>4,试化简√a2-6a十9+a-4。
(3)如图所示的是数p在数轴上的对应点的位置，化简√（一1）十√(p一2)。
02
(第14题)
-3一立方根
知识精讲
立方根的概念
一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即 x3＝a ，那么这个数 x 就叫作 a 的立方根（也叫作三次方根）。
立方根的表示方法
每个数 a 都有一个立方根，记作3 a ，读作“三次根号 a”。
开立方的概念
求一个数 a 的立方根的运算叫作开平方，a 叫作被开方数。开立方运算与立方运算互为逆运算。
例如：
因为 4 3 ＝ 64 ，
所以 3 64＝ 4 ，即－64 的立方根为 4 。
立方根的性质
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
（3）0 的立方根是 0；
(
3
a
)（4） 3 a 3 ＝a ， 3 a3＝a ， 3 a 。
考点分析
立方根是中考中的常考点，主要考查正确求解一个实数的立方根。题型主要涉及填空题、选择题和计算题。
名师点睛
任意实数都有立方根，立方根等于本身的数有 0， 1。
互为相反数的两个数，其立方根仍互为相反数。
平方根、算术平方根、立方根的类比学习。
实数 平方根 算术平方根 立方根
正数 a a a 3 a
0 0 0 0
负数 a 无 无 3 a
典型例题
例 1 64 的立方根是（ ）。
A.4 B. 4
解析：因为43＝64 ，
所以 64 的立方根是 4，即 3 64＝4 。
C.8 D. 8
(
3
8
)答案：A例 2
的算术平方根是（ ）。
(
2
) (
2
)A.2 B. 2 C. D.
解析：因为23＝8 ，
(
3
8
)所以 8 的立方根是 2，即 ＝2。
可得 2 的算术平方根是答案：C
。
(
2
) (


26

2
) (
3
27
3
) 1 0
例 3 计算：
。
解：原式 26 3 27 3 1
26 27 1
＝0。
3

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