资源简介

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第二章
实数
二次根式（第2课时）
课堂精要·梳理内容
1.逆用二次根式的乘除法法则，可得：
√ab=
(a≥0，b≥0)：
(a≥0，b>0)。
2.最简二次根式：一般地，被开方数不含
,也不含
的二次根式，
叫作最简二次根式。
3.
化简时，通常要求最终结果中分母不含有
,而且各个二次根式是
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.下列运算错误的是()。
A.√2X3=√6
B.√15÷√3=√5
C.√5十√3=√⑧
D.4√3-33=√3
2.下列二次根式是最简二次根式的是(
A.√11
B.√27
D./a
3.下列二次根式中，不能与√2合并的是(
A召
B.√0.2
C.√2
D.√32
4.下列计算正确的是()。
A.√(-2)7=-2
B.33-23=1
C.√2+√3=5
D.5-
5.已知a=√2一1，则代数式a2+2a+1的值是(
)
A.2√2
B.1+√2
C.√2-2
D.2
6.若最简二次根式√1一2a与2√7可以进行合并，则a的值是
7.化简下列各式：
(1)√/48=
；(2)3
八年级上研
(3)0.1=
(4)
8.化简：
1),16x
25
(2)√/16X2;
(3)45;
强化提高
9.下列说法错误的是()。
A.√a是二次根式
B.√I7是最简二次根式
C.√a2+b是非负数
D.√a2+16的最小值是4
10.若√12十√y=√27，则y的值为(
)。
A.8
B.15
C.3
D.2
11.若最简二次根式√2x一1与√4x一3能够合并，则x的值为()。
A.0.5
B.1
C.2
D.2.5
12.若y=√x-3十√3-x+1,则√x十y=
13.实数m在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简|m一1|十√m的结果为
0 m
1
(第13题)
14.计算：
(1)√50+√8；
-2
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第二章实数
-27
(3√+×6：
4-)×6.
课堂诞伸·提升秦养
15.【数学应用】爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二
次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的
a(a≥0)，
性质：√a2=a=
来进一步化简。
-a(a<0)
比如：√x2+2x+1=√(x+1)=|x+1|,
所以当x+1≥0，即x≥一1时，原式=x+1;当x+1<0,即x<-1时，原式=一x-1。
(1)仿照上面的例子，请你尝试化简，m一m+子。
(2)判断甲、乙两人在解决问题“若a=9,求a十√1一2a十a的值”时谁的答案正确，并说
明理由。
甲的答案：原式=a+√1-a)2=a+(1一a)=1;
乙的答案：原式=a十√(1-a)=a+(a-1)=2a-1=2×9-1=17。
(3)化简并求值：|x一1|+√4-4x十x2,其中x=√5。
一3(共13张PPT)
义务教育教科书 数学 八年级上册
第二章 实数
3 二次根式（第2课时）
1.计算： 。
2.计算的过程中，运用了哪些运算法则？
二次根式的乘法法则和除法法则 ：
（a≥0 ，b≥0）, （ a≥0 ，b＞0 ）。
回顾旧知
你会怎样计算 ？
问题：你认为哪种方法更简便？你能用数学符号来表示它吗？
它和上一节学习的二次根式的乘法法则有什么联系？
探究性质
二次根式的性质 ：
探究性质
（a≥0 ，b≥0）, （ a≥0 ，b＞0 ）。
将（a≥0 ，b≥0）, （ a≥0 ，b＞0 ）等号的左边与右边交换，就得到二次根式的性质。
例1 化简：（1） ；（2） ；（3） 。
问题1：观察（2）和（3）的化简结果，和（1）有什么不同？
问题2：化简结果中的二次根式还能开得尽方吗？
解：（1） ；
（2） ；
（3） 。
例题巩固
例1的化简结果，中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
揭示概念
例2 化简：（1） ；（2） ；（3） 。
解：（1） ；
（2） ；
（3） 。
揭示概念
（1）你是怎么发现 含有开得尽方的因数的？ 你是怎么判断 是
最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。
揭示概念
【思考·交流】
二次根式也可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。当然，如果运算结果中出现某些项，它们各自化简后的被开方数相同，那么应当将这些项合并。
解: （1） ；
例3 计算：（1） ；（2） ；（3） 。
（2） ；
（3） 。
练习提高
完成教科书第44页“随堂练习”。
练习提高
1.化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。
2.下列计算是否正确？
（1） ；（2） ；（3） 。
本节课主要内容：
（1）能够利用二次根式的性质将给定的二次根式化为最简二次根式。
（2）会进行二次根式的简单四则运算。
课堂小结
1.必做题：教科书习题2.3 第2，4~6，8题。
2.选做题：教科书习题2.3 第11题。
作业布置
谢谢二次根式的加减法
知识精讲
二次根式的加减法运算方法
先把所有的二次根式化成最简二次根式，再把化简后被开方数相同的项合并。
二次根式的加减运算规律
加减运算为同级运算，从左到右依次进行，有括号的先算括号里的。
考点分析
二次根式的加减法是中考中的常考点，主要考查能否找出题中隐含的被开方数相同的项，并将被开方数相同的项进行合并。题型主要涉及填空题、选择题和计算题。
名师点睛
二次根式的加减运算，关键在于判断各个二次根式是否能化简为被开方数相同的项，一定要先把所有的二次根式化成最简二次根式，再把其中被开方数相同的项进行合并。
(
3
)合并被开方数相同的项时，只把相同系数相加减，二次根式保持不变。如：
(
3
)2 5 3＝ 2 5
3＝ 3 。
易错易误点
注意二次根式只有经过化简，才能判断是否为被开方数相同的项。
典型例题
(
5
)例 1 与 有相同的被开方数的是（ ）。
(
10
) (
15
) (
20
) (
25
)A. B. C. D.
解析：要判断几个根式是否有相同的被开方数，要先将其化成最简二次根式后，再看被开方数是否相同。
(
10
) (
15
) (
5
) (
5
)， 都是最简二次根式，被开放数与 不同；而 25＝5 ，化简后
(
5
)不含 ； 20＝
4 5＝2 5 与 的被开方数相同。
答案：C
(
1
2
) (
18
)例 2 计算2 的结果是 。
(
9

2
) (
2
) (
2
)解析：应先将各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的项进行合并即可。
(
2
4
)原式＝ 2
(
2
)答案： 2
＝ 2
2 3
2
＝ 2 。
例 3 计算：

(
1
12
2
) (
1
3
) 3


2 。

分析：要先化为最简二次根式，再去括号，最后合并被开方数相同的项即可。
解：原式＝ 1 2
2

(
3
) (
3
) 3 2
3
(
3
) (
3
)＝
(
3
) (
3
)＝
2
(
2
)
(
2
)＝ 。第二章 实数
3 二次根式（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第三节的第2课时，本节内容共分为3个课时。基于第1课时学习了二次根式的乘法法则和除法法则，进而通过逆用二次根式的乘法法则和除法法则得出二次根式的性质，学习二次根式的化简。经历本节课的学习，学生对实数的运算将更全面地了解，同时进一步熟练掌握实数的运算，为今后的学习打下坚实基础。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：在前面的学习中，学生已经掌握了实数的概念、实数的运算法则；学会了利用公式（，），（，）进行简单的实数运算。本课时主要是通过逆用二次根式的乘法法则和除法法则得出二次根式的性质，并运用二次根式的性质将给定的二次根式化为最简二次根式。
学生活动经验基础：在小学阶段已经学习了乘法分配律，学生有了从左往右和从右往左使用乘法分配律的经验。在前面的学习中，学生已经积累了类比经验，可迁移至本课时的学习内容——化简二次根式。
三、教学目标
1.探索二次根式的性质，明确最简二次根式的概念。
2.掌握二次根式的性质，能将给定的二次根式化为最简二次根式。
3.会进行二次根式的简单四则运算。
4.经历通过合理推理探索数学结论的过程，加深对最简二次根式的理解，掌握并能灵活运用二次根式性质解决问题。
5.在运算的过程中，通过学生之间的合作与交流，进一步发展合作交流的能力和数学表达能力。
教学重点：探索二次根式的性质；能够利用二次根式的性质将给定的二次根式化为最简二次根式。
教学难点：将给定的二次根式化为最简二次根式。
四、教学过程设计
【第一环节】回顾旧知
1.活动内容
（1）计算：。
（2）计算的过程中，运用了哪些运算法则？
二次根式的乘法法则和除法法则：（，），（，）。
2.活动目的
通过回顾旧知，在巩固旧知的同时，为引出二次根式的性质做好铺垫。
3.注意事项
学生可能会有多种解答方法，教学时要给予充分交流时间，起到“一题多用”的效果。
【第二环节】探究性质
1.活动内容
上节课我们验证了＝20，＝20，那你会怎样计算？
2.活动目的
通过使用不同的方法计算，为介绍二次根式化简做准备和铺垫。
3.注意事项
教学中对于该问题，学生可能会有两种不同的方法。
解法1：；
解法2：。
引出提问：你认为哪种方法更简便？你能用数学符号来表示它吗？它和上一节学习的二次根式的乘法法则有什么联系？（进而得到，可以继续追问）a和b的限制条件会改变吗？除法呢？有什么性质？
进一步得到：我们把（，），（，）称为二次根式的性质。
【第三环节】例题巩固
1.活动内容
例1 化简：（1）；（2）；（3）。
2.活动目的
通过逆用二次根式的乘法法则和除法法则，巩固并掌握二次根式的性质。
3.注意事项
由于在讲解例1时，还没有建立最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，此时主要是借助二次根式的性质先分别开方，然后再进行乘除运算。
对于题（1），可引导学生发现81和64是完全平方数，于是运用二次根式的性质将其分别开方，然后再进行乘除运算。
对于题（2）（3），可引导学生发现25和9是完全平方数，但6和5不是，于是将25和9分别开方，而6和5仍旧保留根号形式。
【第四环节】揭示概念
1.活动内容
揭示最简二次根式概念：
例1的化简结果，中，被开方数中都不含分母，也不含能开得尽方的因数。一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。
化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。
例2 化简：（1）；（2）；（3）。
思考·交流
（1）你是怎么发现含有开得尽方的因数的？你是怎么判断是最简二次根式的？
（2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会？与同伴进行交流。
2.活动目的
揭示最简二次根式概念，为后续化简做好准备；例2进行实操练习；“思考·交流”基于实操的基础，反思解决问题的过程和方法。
3.注意事项
可以将例2全部完成，再进行“思考·交流”，也可以做完相应题目后进行反思。例如完成例2题（1）后，教师可以提问：你是怎么发现含有开得尽方的因数的？通过分析可能会得到结论：利用小学学过的“短除法分解质因数”的方法来把50进行分解。完成例2题（2）后，教师可以提问：你是怎么判断是最简二次根式的？通过分析可能会得到结论：首先根据最简二次根式的概念，被开方数不含有分母，这种运算也称为“分母有理化”，其次可利用小学学过的“短除法分解质因数”的方法把14进行分解，发现不含能开得尽方的因数，所以可以断定是最简二次根式。当然为引出二次根式也可以进行加减运算，在最后可以进一步提问：你觉得二次根式能否进行加减运算？
【第五环节】练习提高
1.活动内容
例3 计算：（1）；（2）；（3）。
随堂练习
（1）化简：①；②；③；④；⑤。
（2）下列计算是否正确？
①；②；③。
2.活动目的
通过例题和练习题，加深对化简二次根式、最简二次根式以及二次根式加减运算的理解和认识。
3.注意事项
对于“随堂练习”第2题，要组织学生给出判断理由，在辨析中进一步巩固有关运算法则。
【第六环节】课堂小结
1.活动内容
复习概括本节课主要内容：
（1）掌握并会运用性质：（，），（，）。
（2）会将二次根式化简成最简二次根式。
2.活动目的
进一步积累活动经验，完善学生对二次根式的认知结构。
3.注意事项
引导学生梳理本节课的知识和技能框架，以便培养学生素养。
【第七环节】作业布置
1.活动内容
（1）必做题：教科书习题2.3 第2，4～6，8题；
（2）选做题：教科书习题2.3 第11题。
2.活动目的
通过作业练习巩固并检测本节课所学内容；设置分层作业，为不同层次的学生提供不同的发展空间。
五、教学反思
1.设计理念
本节课基于上节课二次根式的乘法法则和除法法则的学习，让学生通过计算、归纳和总结得出二次根式的性质。例题的设计，先从能完全开方的二次根式的计算来巩固二次根式性质的运用，再到不能完全开方的二次根式的计算，进而得出最简二次根式的概念，接着从乘除运算扩展到加减运算，更好地巩固了如何灵活运用法则和性质来进行二次根式的化简。
2.教学建议
本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法。学生需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用，为今后的学习打下基础。

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